Глава IV. Дополнительные упражнения. К параграфу 10 (окончание) — с. 164
810. Докажите, что: а) a(x + 6) + x(x − 3a) = 9 при x = 2a − 3; б) x(x − 3a) + a(a + x) + 4 = 13 при x = a + 3.
а) Упростим: a(x + 6) + x(x − 3a) = ax + 6a + x² − 3ax = x² − 2ax + 6a. Подставим x = 2a − 3: (2a − 3)² − 2a(2a − 3) + 6a = (2a − 3)(2a − 3 − 2a) + 6a = −3(2a − 3) + 6a = −6a + 9 + 6a = 9.
б) x(x − 3a) + a(a + x) + 4 = x² − 3ax + a² + ax + 4 = x² − 2ax + a² + 4 = (x − a)² + 4. При x = a + 3 получаем x − a = 3, значит, (x − a)² + 4 = 9 + 4 = 13.
б) x(x − 3a) + a(a + x) + 4 = x² − 3ax + a² + ax + 4 = x² − 2ax + a² + 4 = (x − a)² + 4. При x = a + 3 получаем x − a = 3, значит, (x − a)² + 4 = 9 + 4 = 13.
811. Докажите тождество: а) (y^4 + y³)(y² − y) = y^4(y + 1)(y − 1); б) (a² + 3a)(a² + 3a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3); в) (a² + ab + b²)(a² − ab + b²) = a^4 + a²b² + b^4; г) (c^4 − c² + 1)(c^4 + c² + 1) = c^8 + c^4 + 1.
а) Левая часть: y³(y + 1)·y(y − 1) = y^4(y + 1)(y − 1).
б) a² + 3a = a(a + 3), a² + 3a + 2 = (a + 1)(a + 2) (так как (a + 1)(a + 2) = a² + 3a + 2). Поэтому левая часть равна a(a + 3)(a + 1)(a + 2), что совпадает с правой частью.
в) Левая часть: (a² + b² + ab)(a² + b² − ab) = (a² + b²)² − a²b² = a^4 + 2a²b² + b^4 − a²b² = a^4 + a²b² + b^4.
г) (c^4 + 1 − c²)(c^4 + 1 + c²) = (c^4 + 1)² − c^4 = c^8 + 2c^4 + 1 − c^4 = c^8 + c^4 + 1.
б) a² + 3a = a(a + 3), a² + 3a + 2 = (a + 1)(a + 2) (так как (a + 1)(a + 2) = a² + 3a + 2). Поэтому левая часть равна a(a + 3)(a + 1)(a + 2), что совпадает с правой частью.
в) Левая часть: (a² + b² + ab)(a² + b² − ab) = (a² + b²)² − a²b² = a^4 + 2a²b² + b^4 − a²b² = a^4 + a²b² + b^4.
г) (c^4 + 1 − c²)(c^4 + 1 + c²) = (c^4 + 1)² − c^4 = c^8 + 2c^4 + 1 − c^4 = c^8 + c^4 + 1.
812. При каком значении a произведение (x³ + 4x² − 17x + 41)(x + a) тождественно равно многочлену, не содержащему x³?
Раскроем скобки; члены с x³ получаются так: x³·a и 4x²·x. (x³ + 4x² − 17x + 41)(x + a) = x^4 + ax³ + 4x³ + 4ax² − 17x² − 17ax + 41x + 41a. Коэффициент при x³ равен a + 4. Он равен нулю при a = −4.
Ответ: a = −4.
Ответ: a = −4.
813. Докажите, что если b + c = 10, то (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc. Воспользовавшись этой формулой, вычислите: а) 23·27; б) 42·48; в) 59·51; г) 84·86.
(10a + b)(10a + c) = 100a² + 10ac + 10ab + bc = 100a² + 10a(b + c) + bc. Так как b + c = 10, получаем 100a² + 100a + bc = 100a(a + 1) + bc.
а) 23·27: a = 2, b = 3, c = 7 (b + c = 10): 100·2·3 + 3·7 = 600 + 21 = 621.
б) 42·48: a = 4, b = 2, c = 8: 100·4·5 + 16 = 2016.
в) 59·51: a = 5, b = 9, c = 1: 100·5·6 + 9 = 3009.
г) 84·86: a = 8, b = 4, c = 6: 100·8·9 + 24 = 7224.
а) 23·27: a = 2, b = 3, c = 7 (b + c = 10): 100·2·3 + 3·7 = 600 + 21 = 621.
б) 42·48: a = 4, b = 2, c = 8: 100·4·5 + 16 = 2016.
в) 59·51: a = 5, b = 9, c = 1: 100·5·6 + 9 = 3009.
г) 84·86: a = 8, b = 4, c = 6: 100·8·9 + 24 = 7224.
814. Докажите, что: а) если ab + c² = 0, то (a + c)(b + c) + (a − c)(b − c) = 0; б) если a + b = 9, то (a + 1)(b + 1) − (a − 1)(b − 1) = 18.
а) (a + c)(b + c) + (a − c)(b − c) = ab + ac + bc + c² + ab − ac − bc + c² = 2ab + 2c² = 2(ab + c²) = 0.
б) (a + 1)(b + 1) − (a − 1)(b − 1) = ab + a + b + 1 − ab + a + b − 1 = 2a + 2b = 2(a + b) = 18.
б) (a + 1)(b + 1) − (a − 1)(b − 1) = ab + a + b + 1 − ab + a + b − 1 = 2a + 2b = 2(a + b) = 18.