Глава V. §11. п.32 Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений — с. 170
832. Представьте выражение в виде многочлена: а) 18a + (a − 9)²; б) (5x − 1)² − 25x²; в) 4x² − (2x − 3)²; г) (a + 2b)² − 4b².
а) 18a + a² − 18a + 81 = a² + 81.
б) 25x² − 10x + 1 − 25x² = 1 − 10x.
в) 4x² − (4x² − 12x + 9) = 12x − 9.
г) a² + 4ab + 4b² − 4b² = a² + 4ab.
б) 25x² − 10x + 1 − 25x² = 1 − 10x.
в) 4x² − (4x² − 12x + 9) = 12x − 9.
г) a² + 4ab + 4b² − 4b² = a² + 4ab.
833. Упростите выражение: а) (x − 3)² + x(x + 9); б) (2a + 5)² − 5(4a + 5); в) 9b(b − 1) − (3b + 2)²; г) (b − 4)² + (b − 1)(2 − b); д) (a + 3)(5 − a) − (a − 1)²; е) (5 + 2y)(y − 3) − (5 − 2y)².
а) x² − 6x + 9 + x² + 9x = 2x² + 3x + 9.
б) 4a² + 20a + 25 − 20a − 25 = 4a².
в) 9b² − 9b − (9b² + 12b + 4) = −21b − 4.
г) b² − 8b + 16 + (2b − b² − 2 + b) = b² − 8b + 16 − b² + 3b − 2 = −5b + 14.
д) (5a − a² + 15 − 3a) − (a² − 2a + 1) = −a² + 2a + 15 − a² + 2a − 1 = −2a² + 4a + 14.
е) (5y − 15 + 2y² − 6y) − (25 − 20y + 4y²) = 2y² − y − 15 − 25 + 20y − 4y² = −2y² + 19y − 40.
б) 4a² + 20a + 25 − 20a − 25 = 4a².
в) 9b² − 9b − (9b² + 12b + 4) = −21b − 4.
г) b² − 8b + 16 + (2b − b² − 2 + b) = b² − 8b + 16 − b² + 3b − 2 = −5b + 14.
д) (5a − a² + 15 − 3a) − (a² − 2a + 1) = −a² + 2a + 15 − a² + 2a − 1 = −2a² + 4a + 14.
е) (5y − 15 + 2y² − 6y) − (25 − 20y + 4y²) = 2y² − y − 15 − 25 + 20y − 4y² = −2y² + 19y − 40.
834. Упростите выражение и найдите его значение: а) (x − 10)² − x(x + 80) при x = 0,97; б) (2x + 9)² − x(4x + 31) при x = −16,2; в) (2x + 0,5)² − (2x − 0,5)² при x = −3,5; г) (0,1x − 8)² + (0,1x + 8)² при x = −10.
а) x² − 20x + 100 − x² − 80x = 100 − 100x. При x = 0,97: 100 − 97 = 3.
б) 4x² + 36x + 81 − 4x² − 31x = 5x + 81. При x = −16,2: 5·(−16,2) + 81 = −81 + 81 = 0.
в) 4x² + 2x + 0,25 − (4x² − 2x + 0,25) = 4x. При x = −3,5: 4·(−3,5) = −14.
г) 0,01x² − 1,6x + 64 + 0,01x² + 1,6x + 64 = 0,02x² + 128. При x = −10: 0,02·100 + 128 = 130.
б) 4x² + 36x + 81 − 4x² − 31x = 5x + 81. При x = −16,2: 5·(−16,2) + 81 = −81 + 81 = 0.
в) 4x² + 2x + 0,25 − (4x² − 2x + 0,25) = 4x. При x = −3,5: 4·(−3,5) = −14.
г) 0,01x² − 1,6x + 64 + 0,01x² + 1,6x + 64 = 0,02x² + 128. При x = −10: 0,02·100 + 128 = 130.
835. Решите уравнение: а) (x − 6)² − x(x + 8) = 2; б) 9x(x + 6) − (3x + 1)² = 1; в) y(y − 1) − (y − 5)² = 2; г) 16y(2 − y) + (4y − 5)² = 0.
а) x² − 12x + 36 − x² − 8x = 2; −20x = −34; x = 1,7.
б) 9x² + 54x − 9x² − 6x − 1 = 1; 48x = 2; x = 1/24.
в) y² − y − y² + 10y − 25 = 2; 9y = 27; y = 3.
г) 32y − 16y² + 16y² − 40y + 25 = 0; −8y = −25; y = 3,125.
Ответ: а) 1,7; б) 1/24; в) 3; г) 3,125.
б) 9x² + 54x − 9x² − 6x − 1 = 1; 48x = 2; x = 1/24.
в) y² − y − y² + 10y − 25 = 2; 9y = 27; y = 3.
г) 32y − 16y² + 16y² − 40y + 25 = 0; −8y = −25; y = 3,125.
Ответ: а) 1,7; б) 1/24; в) 3; г) 3,125.
836. Найдите корень уравнения: а) (x − 5)² − x² = 3; б) (2y + 1)² − 4y² = 5; в) 9x² − 1 − (3x − 2)² = 0; г) x + (5x + 2)² = 25(1 + x²).
а) x² − 10x + 25 − x² = 3; −10x = −22; x = 2,2.
б) 4y² + 4y + 1 − 4y² = 5; 4y = 4; y = 1.
в) 9x² − 1 − 9x² + 12x − 4 = 0; 12x = 5; x = 5/12.
г) x + 25x² + 20x + 4 = 25 + 25x²; 21x = 21; x = 1.
Ответ: а) 2,2; б) 1; в) 5/12; г) 1.
б) 4y² + 4y + 1 − 4y² = 5; 4y = 4; y = 1.
в) 9x² − 1 − 9x² + 12x − 4 = 0; 12x = 5; x = 5/12.
г) x + 25x² + 20x + 4 = 25 + 25x²; 21x = 21; x = 1.
Ответ: а) 2,2; б) 1; в) 5/12; г) 1.
837. Представьте в виде многочлена выражение: а) 7(4a − 1)²; б) −3(5y − x)²; в) −10((1/2)b + 2)²; г) 3(a − 1)² + 8a; д) 9c² − 4 + 6(c − 2)²; е) 10ab − 4(2a − b)² + 6b².
а) 7(16a² − 8a + 1) = 112a² − 56a + 7.
б) −3(25y² − 10xy + x²) = −75y² + 30xy − 3x².
в) −10((1/4)b² + 2b + 4) = −2,5b² − 20b − 40.
г) 3(a² − 2a + 1) + 8a = 3a² − 6a + 3 + 8a = 3a² + 2a + 3.
д) 9c² − 4 + 6(c² − 4c + 4) = 9c² − 4 + 6c² − 24c + 24 = 15c² − 24c + 20.
е) 10ab − 4(4a² − 4ab + b²) + 6b² = 10ab − 16a² + 16ab − 4b² + 6b² = −16a² + 26ab + 2b².
б) −3(25y² − 10xy + x²) = −75y² + 30xy − 3x².
в) −10((1/4)b² + 2b + 4) = −2,5b² − 20b − 40.
г) 3(a² − 2a + 1) + 8a = 3a² − 6a + 3 + 8a = 3a² + 2a + 3.
д) 9c² − 4 + 6(c² − 4c + 4) = 9c² − 4 + 6c² − 24c + 24 = 15c² − 24c + 20.
е) 10ab − 4(4a² − 4ab + b²) + 6b² = 10ab − 16a² + 16ab − 4b² + 6b² = −16a² + 26ab + 2b².
838. Преобразуйте в многочлен выражение: а) 5(3a + 7)²; б) −6(4 − b)²; в) −3(2 − x)² − 10x; г) 12a² − 4(1 − 2a)² + 8.
а) 5(9a² + 42a + 49) = 45a² + 210a + 245.
б) −6(16 − 8b + b²) = −96 + 48b − 6b².
в) −3(4 − 4x + x²) − 10x = −12 + 12x − 3x² − 10x = −3x² + 2x − 12.
г) 12a² − 4(1 − 4a + 4a²) + 8 = 12a² − 4 + 16a − 16a² + 8 = −4a² + 16a + 4.
б) −6(16 − 8b + b²) = −96 + 48b − 6b².
в) −3(4 − 4x + x²) − 10x = −12 + 12x − 3x² − 10x = −3x² + 2x − 12.
г) 12a² − 4(1 − 4a + 4a²) + 8 = 12a² − 4 + 16a − 16a² + 8 = −4a² + 16a + 4.
839. Представьте выражение в виде многочлена: а) a(a + 9b)²; б) 6x(x² + 5x)²; в) (a + 2)(a − 1)²; г) (x − 4)(x + 2)².
а) a(a² + 18ab + 81b²) = a³ + 18a²b + 81ab².
б) 6x(x⁴ + 10x³ + 25x²) = 6x⁵ + 60x⁴ + 150x³.
в) (a + 2)(a² − 2a + 1) = a³ − 2a² + a + 2a² − 4a + 2 = a³ − 3a + 2.
г) (x − 4)(x² + 4x + 4) = x³ + 4x² + 4x − 4x² − 16x − 16 = x³ − 12x − 16.
б) 6x(x⁴ + 10x³ + 25x²) = 6x⁵ + 60x⁴ + 150x³.
в) (a + 2)(a² − 2a + 1) = a³ − 2a² + a + 2a² − 4a + 2 = a³ − 3a + 2.
г) (x − 4)(x² + 4x + 4) = x³ + 4x² + 4x − 4x² − 16x − 16 = x³ − 12x − 16.
840. Докажите тождество: а) (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²); б) (a + b)² − (a − b)² = 4ab; в) a² + b² = (a + b)² − 2ab; г) (a + b)² − 2b(a + b) = a² − b².
а) (a² + 2ab + b²) + (a² − 2ab + b²) = 2a² + 2b² = 2(a² + b²).
б) (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = 4ab.
в) (a + b)² − 2ab = a² + 2ab + b² − 2ab = a² + b².
г) (a + b)² − 2b(a + b) = (a + b)(a + b − 2b) = (a + b)(a − b) = a² − b².
Во всех случаях левая часть тождественно равна правой.
б) (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = 4ab.
в) (a + b)² − 2ab = a² + 2ab + b² − 2ab = a² + b².
г) (a + b)² − 2b(a + b) = (a + b)(a + b − 2b) = (a + b)(a − b) = a² − b².
Во всех случаях левая часть тождественно равна правой.
841. Докажите тождество Диофанта (III в.): (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad − bc)².
Левая часть: (a² + b²)(c² + d²) = a²c² + a²d² + b²c² + b²d².
Правая часть: (ac + bd)² + (ad − bc)² = a²c² + 2abcd + b²d² + a²d² − 2abcd + b²c² = a²c² + a²d² + b²c² + b²d².
Обе части равны, тождество доказано.
Правая часть: (ac + bd)² + (ad − bc)² = a²c² + 2abcd + b²d² + a²d² − 2abcd + b²c² = a²c² + a²d² + b²c² + b²d².
Обе части равны, тождество доказано.