Глава V. §11. п.33 Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности — с. 172
849. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена: а) x² + 2xy + y²; б) p² − 2pq + q²; в) a² + 12a + 36; г) 64 + 16b + b²; д) 1 − 2z + z²; е) n² + 4n + 4.
а) (x + y)².
б) (p − q)².
в) a² + 2·a·6 + 6² = (a + 6)².
г) 8² + 2·8·b + b² = (8 + b)².
д) 1² − 2·1·z + z² = (1 − z)².
е) n² + 2·n·2 + 2² = (n + 2)².
б) (p − q)².
в) a² + 2·a·6 + 6² = (a + 6)².
г) 8² + 2·8·b + b² = (8 + b)².
д) 1² − 2·1·z + z² = (1 − z)².
е) n² + 2·n·2 + 2² = (n + 2)².
850. Представьте трёхчлен в виде произведения двух одинаковых множителей: а) 4x² + 12x + 9; б) 25b² + 10b + 1; в) 9x² − 24xy + 16y²; г) (1/4)m² + 4n² − 2mn; д) 10xy + 0,25x² + 100y²; е) 9a² − ab + (1/36)b².
а) (2x)² + 2·2x·3 + 3² = (2x + 3)(2x + 3).
б) (5b)² + 2·5b·1 + 1² = (5b + 1)(5b + 1).
в) (3x)² − 2·3x·4y + (4y)² = (3x − 4y)(3x − 4y).
г) ((1/2)m)² − 2·(1/2)m·2n + (2n)² = ((1/2)m − 2n)((1/2)m − 2n).
д) 0,25x² + 10xy + 100y² = (0,5x)² + 2·0,5x·10y + (10y)² = (0,5x + 10y)(0,5x + 10y).
е) (3a)² − 2·3a·(1/6)b + ((1/6)b)² = (3a − (1/6)b)(3a − (1/6)b).
б) (5b)² + 2·5b·1 + 1² = (5b + 1)(5b + 1).
в) (3x)² − 2·3x·4y + (4y)² = (3x − 4y)(3x − 4y).
г) ((1/2)m)² − 2·(1/2)m·2n + (2n)² = ((1/2)m − 2n)((1/2)m − 2n).
д) 0,25x² + 10xy + 100y² = (0,5x)² + 2·0,5x·10y + (10y)² = (0,5x + 10y)(0,5x + 10y).
е) (3a)² − 2·3a·(1/6)b + ((1/6)b)² = (3a − (1/6)b)(3a − (1/6)b).
851. Преобразуйте трёхчлен в квадрат двучлена: а) 81a² − 18ab + b²; б) 1 + y² − 2y; в) 8ab + b² + 16a²; г) 100x² + y² + 20xy; д) b² + 4a² − 4ab; е) 28xy + 49x² + 4y².
а) (9a)² − 2·9a·b + b² = (9a − b)².
б) y² − 2y + 1 = (y − 1)².
в) 16a² + 8ab + b² = (4a + b)².
г) (10x)² + 2·10x·y + y² = (10x + y)².
д) 4a² − 4ab + b² = (2a − b)².
е) 49x² + 28xy + 4y² = (7x + 2y)².
б) y² − 2y + 1 = (y − 1)².
в) 16a² + 8ab + b² = (4a + b)².
г) (10x)² + 2·10x·y + y² = (10x + y)².
д) 4a² − 4ab + b² = (2a − b)².
е) 49x² + 28xy + 4y² = (7x + 2y)².
852. Поставьте вместо знака такой одночлен, чтобы трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена: а) + 56a + 49; б) 36 − 12x + ; в) 25a² + + (1/4)b²; г) 0,01b² + * + 100c².
а) 49 = 7², поэтому 56a = 2·x·7, откуда x = 4a и * = (4a)² = 16a². Проверка: 2·4a·7 = 56a. Получаем (4a + 7)².
б) 36 − 12x + = 6² − 2·6·x + x²; = x²; получаем (6 − x)².
в) 25a² = (5a)², (1/4)b² = ((1/2)b)²; * = ±2·5a·(1/2)b = ±5ab; получаем (5a ± (1/2)b)².
г) 0,01b² = (0,1b)², 100c² = (10c)²; * = ±2·0,1b·10c = ±2bc; получаем (0,1b ± 10c)².
б) 36 − 12x + = 6² − 2·6·x + x²; = x²; получаем (6 − x)².
в) 25a² = (5a)², (1/4)b² = ((1/2)b)²; * = ±2·5a·(1/2)b = ±5ab; получаем (5a ± (1/2)b)².
г) 0,01b² = (0,1b)², 100c² = (10c)²; * = ±2·0,1b·10c = ±2bc; получаем (0,1b ± 10c)².
853. Впишите вместо знака недостающие одночлены так, чтобы получилось тождество: а) ( + 2a)² = + 12ab + ; б) (3x + )² = + * + 49y².
а) Удвоенное произведение 12ab = 2··2a, откуда = 3b. Тогда (3b + 2a)² = 9b² + 12ab + 4a².
б) Квадрат второго члена равен 49y², значит, второй член 7y. Тогда (3x + 7y)² = 9x² + 42xy + 49y².
Оговорка: в пункте б) подходит и 3x − 7y, тогда получится 9x² − 42xy + 49y².
б) Квадрат второго члена равен 49y², значит, второй член 7y. Тогда (3x + 7y)² = 9x² + 42xy + 49y².
Оговорка: в пункте б) подходит и 3x − 7y, тогда получится 9x² − 42xy + 49y².
854. Замените знак таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена: а) b² + 20b + ; б) + 14b + 49; в) 16x² + 24xy + ; г) * − 42pq + 49q².
а) b² + 2·b·10 + 10²; * = 100; (b + 10)².
б) 2·b·7 = 14b, значит * = b²; (b + 7)².
в) 16x² = (4x)², 24xy = 2·4x·3y, значит * = 9y²; (4x + 3y)².
г) 49q² = (7q)², 42pq = 2·3p·7q, значит * = 9p²; (3p − 7q)².
б) 2·b·7 = 14b, значит * = b²; (b + 7)².
в) 16x² = (4x)², 24xy = 2·4x·3y, значит * = 9y²; (4x + 3y)².
г) 49q² = (7q)², 42pq = 2·3p·7q, значит * = 9p²; (3p − 7q)².
855. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена: а) −1 + 4a − 4a²; б) −42a + 9a² + 49; в) 24ab − 16a² − 9b²; г) −44ax + 121a² + 4x²; д) 4cd − 25c² − 0,16d²; е) −0,49x² − 1,4xy − y².
а) −(4a² − 4a + 1) = −(2a − 1)².
б) 9a² − 42a + 49 = (3a − 7)².
в) −(16a² − 24ab + 9b²) = −(4a − 3b)².
г) 121a² − 44ax + 4x² = (11a − 2x)².
д) −(25c² − 4cd + 0,16d²) = −(5c − 0,4d)².
е) −(0,49x² + 1,4xy + y²) = −(0,7x + y)².
б) 9a² − 42a + 49 = (3a − 7)².
в) −(16a² − 24ab + 9b²) = −(4a − 3b)².
г) 121a² − 44ax + 4x² = (11a − 2x)².
д) −(25c² − 4cd + 0,16d²) = −(5c − 0,4d)².
е) −(0,49x² + 1,4xy + y²) = −(0,7x + y)².