Глава V. §12. п.34 Умножение разности двух выражений на их сумму — с. 177
881. Найдите наибольшее значение выражения: а) (7 − 6x)(7 + 6x); б) (4 − (1/3)b)((1/3)b + 4); в) ((1/3) − 2y)((1/3) + 2y); г) (4a + 1(1/7))(1(1/7) − 4a).
Преобразуем произведение в разность квадратов; вычитаемое неотрицательно, поэтому наибольшее значение достигается, когда оно равно нулю.
а) 49 − 36x² ≤ 49. Наибольшее значение 49 при x = 0.
б) 16 − (1/9)b² ≤ 16. Наибольшее значение 16 при b = 0.
в) 1/9 − 4y² ≤ 1/9. Наибольшее значение 1/9 при y = 0.
г) 1(1/7) = 8/7. (8/7)² − 16a² = 64/49 − 16a² ≤ 64/49. Наибольшее значение 64/49 = 1(15/49) при a = 0.
а) 49 − 36x² ≤ 49. Наибольшее значение 49 при x = 0.
б) 16 − (1/9)b² ≤ 16. Наибольшее значение 16 при b = 0.
в) 1/9 − 4y² ≤ 1/9. Наибольшее значение 1/9 при y = 0.
г) 1(1/7) = 8/7. (8/7)² − 16a² = 64/49 − 16a² ≤ 64/49. Наибольшее значение 64/49 = 1(15/49) при a = 0.
882. Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если такое значение существует: а) (5a − 0,2)(0,2 + 5a); б) (12 − 7y)(7y + 12); в) (13a − 0,3)(0,3 + 13a); г) (10 − 9m)(9m + 10).
а) 25a² − 0,04 ≥ −0,04. Наименьшее значение −0,04 при a = 0; наибольшего нет, так как 25a² неограниченно растёт.
б) 144 − 49y² ≤ 144. Наибольшее значение 144 при y = 0; наименьшего нет.
в) 169a² − 0,09 ≥ −0,09. Наименьшее значение −0,09 при a = 0; наибольшего нет.
г) 100 − 81m² ≤ 100. Наибольшее значение 100 при m = 0; наименьшего нет.
б) 144 − 49y² ≤ 144. Наибольшее значение 144 при y = 0; наименьшего нет.
в) 169a² − 0,09 ≥ −0,09. Наименьшее значение −0,09 при a = 0; наибольшего нет.
г) 100 − 81m² ≤ 100. Наибольшее значение 100 при m = 0; наименьшего нет.
883. Представьте в виде многочлена: а) 2(x − 3)(x + 3); б) y(y + 4)(y − 4); в) 5x(x + 2)(x − 2); г) −3a(a + 5)(5 − a); д) (0,5x − 7)(7 + 0,5x)(−4x); е) −5y(−3y − 4)(3y − 4).
а) 2(x² − 9) = 2x² − 18.
б) y(y² − 16) = y³ − 16y.
в) 5x(x² − 4) = 5x³ − 20x.
г) −3a(25 − a²) = −75a + 3a³ = 3a³ − 75a.
д) (0,25x² − 49)(−4x) = −x³ + 196x.
е) (−3y − 4)(3y − 4) = −(3y + 4)(3y − 4) = −(9y² − 16) = 16 − 9y². Тогда −5y(16 − 9y²) = −80y + 45y³ = 45y³ − 80y.
б) y(y² − 16) = y³ − 16y.
в) 5x(x² − 4) = 5x³ − 20x.
г) −3a(25 − a²) = −75a + 3a³ = 3a³ − 75a.
д) (0,25x² − 49)(−4x) = −x³ + 196x.
е) (−3y − 4)(3y − 4) = −(3y + 4)(3y − 4) = −(9y² − 16) = 16 − 9y². Тогда −5y(16 − 9y²) = −80y + 45y³ = 45y³ − 80y.
884. Представьте выражение в виде многочлена: а) (b + a)(b − a)²; б) (x + y)²(y − x); в) (a − 4)(a + 4)²; г) (3p + 1)²(1 − 3p).
а) (b + a)(b − a)(b − a) = (b² − a²)(b − a) = b³ − ab² − a²b + a³ = a³ − a²b − ab² + b³.
б) (x + y)(x + y)(y − x) = (x + y)(y² − x²) = xy² − x³ + y³ − x²y = −x³ − x²y + xy² + y³.
в) (a − 4)(a + 4)(a + 4) = (a² − 16)(a + 4) = a³ + 4a² − 16a − 64.
г) (3p + 1)(3p + 1)(1 − 3p) = (3p + 1)(1 − 9p²) = 3p − 27p³ + 1 − 9p² = −27p³ − 9p² + 3p + 1.
б) (x + y)(x + y)(y − x) = (x + y)(y² − x²) = xy² − x³ + y³ − x²y = −x³ − x²y + xy² + y³.
в) (a − 4)(a + 4)(a + 4) = (a² − 16)(a + 4) = a³ + 4a² − 16a − 64.
г) (3p + 1)(3p + 1)(1 − 3p) = (3p + 1)(1 − 9p²) = 3p − 27p³ + 1 − 9p² = −27p³ − 9p² + 3p + 1.
885. Выполните умножение: а) (b − 2)(b + 2)(b² + 4); б) (3 − y)(3 + y)(9 + y²); в) (a² + 1)(a + 1)(a − 1); г) (c⁴ + 1)(c² + 1)(c² − 1); д) (x − 3)²(x + 3)²; е) (y + 4)²(y − 4)²; ж) (a − 5)²(5 + a)²; з) (c + 4)²(4 − c)².
а) (b² − 4)(b² + 4) = b⁴ − 16.
б) (9 − y²)(9 + y²) = 81 − y⁴.
в) (a² + 1)(a² − 1) = a⁴ − 1.
г) (c⁴ + 1)(c⁴ − 1) = c⁸ − 1.
д) ((x − 3)(x + 3))² = (x² − 9)² = x⁴ − 18x² + 81.
е) ((y + 4)(y − 4))² = (y² − 16)² = y⁴ − 32y² + 256.
ж) ((a − 5)(a + 5))² = (a² − 25)² = a⁴ − 50a² + 625.
з) ((c + 4)(4 − c))² = (16 − c²)² = 256 − 32c² + c⁴.
б) (9 − y²)(9 + y²) = 81 − y⁴.
в) (a² + 1)(a² − 1) = a⁴ − 1.
г) (c⁴ + 1)(c⁴ − 1) = c⁸ − 1.
д) ((x − 3)(x + 3))² = (x² − 9)² = x⁴ − 18x² + 81.
е) ((y + 4)(y − 4))² = (y² − 16)² = y⁴ − 32y² + 256.
ж) ((a − 5)(a + 5))² = (a² − 25)² = a⁴ − 50a² + 625.
з) ((c + 4)(4 − c))² = (16 − c²)² = 256 − 32c² + c⁴.
886. Упростите выражение: а) (0,8x + 15)(0,8x − 15) + 0,36x²; б) 5b² + (3 − 2b)(3 + 2b); в) 2x² − (x + 1)(x − 1); г) (3a − 1)(3a + 1) − 17a²; д) 100x² − (5x − 4)(4 + 5x); е) 22c² + (−3c − 7)(3c − 7).
а) 0,64x² − 225 + 0,36x² = x² − 225.
б) 5b² + 9 − 4b² = b² + 9.
в) 2x² − (x² − 1) = x² + 1.
г) 9a² − 1 − 17a² = −8a² − 1.
д) 100x² − (25x² − 16) = 75x² + 16.
е) (−3c − 7)(3c − 7) = −(3c + 7)(3c − 7) = −(9c² − 49) = −9c² + 49. Тогда 22c² − 9c² + 49 = 13c² + 49.
б) 5b² + 9 − 4b² = b² + 9.
в) 2x² − (x² − 1) = x² + 1.
г) 9a² − 1 − 17a² = −8a² − 1.
д) 100x² − (25x² − 16) = 75x² + 16.
е) (−3c − 7)(3c − 7) = −(3c + 7)(3c − 7) = −(9c² − 49) = −9c² + 49. Тогда 22c² − 9c² + 49 = 13c² + 49.
887. Упростите: а) (x − y)(x + y)(x² + y²); б) (2a + b)(4a² + b²)(2a − b); в) (c³ + b)(c³ − b)(c⁶ + b²); г) (3m − 2)(3m + 2) + 4; д) 25n² − (7 + 5n)(7 − 5n); е) 6x² − (x − 0,5)(x + 0,5).
а) (x² − y²)(x² + y²) = x⁴ − y⁴.
б) (2a + b)(2a − b)(4a² + b²) = (4a² − b²)(4a² + b²) = 16a⁴ − b⁴.
в) (c⁶ − b²)(c⁶ + b²) = c¹² − b⁴.
г) 9m² − 4 + 4 = 9m².
д) 25n² − (49 − 25n²) = 50n² − 49.
е) 6x² − (x² − 0,25) = 5x² + 0,25.
б) (2a + b)(2a − b)(4a² + b²) = (4a² − b²)(4a² + b²) = 16a⁴ − b⁴.
в) (c⁶ − b²)(c⁶ + b²) = c¹² − b⁴.
г) 9m² − 4 + 4 = 9m².
д) 25n² − (49 − 25n²) = 50n² − 49.
е) 6x² − (x² − 0,25) = 5x² + 0,25.
888. Докажите, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.
Пусть n — целое число; предыдущее число n − 1, последующее n + 1. Их произведение (n − 1)(n + 1) = n² − 1.
Разность n² − (n² − 1) = 1, то есть квадрат числа n на единицу больше этого произведения.
Разность n² − (n² − 1) = 1, то есть квадрат числа n на единицу больше этого произведения.
889. Упростите выражение: а) (x − 2)(x + 2) − x(x + 5); б) m(m − 4) + (3 − m)(3 + m); в) (4x − a)(4x + a) + 2x(x − a); г) 2a(a + b) − (2a + b)(2a − b); д) (5a − 3c)(5a + 3c) − (7c − a)(7c + a); е) (4b + 10c)(10c − 4b) + (−5c + 2b)(5c + 2b); ж) (3x − 4y)² − (3x − 4y)(3x + 4y); з) (2a + 6b)(6b − 2a) − (2a + 6b)².
а) x² − 4 − x² − 5x = −5x − 4.
б) m² − 4m + 9 − m² = 9 − 4m.
в) 16x² − a² + 2x² − 2ax = 18x² − 2ax − a².
г) 2a² + 2ab − (4a² − b²) = −2a² + 2ab + b².
д) 25a² − 9c² − (49c² − a²) = 26a² − 58c².
е) (10c − 4b)(10c + 4b) = 100c² − 16b²; (2b − 5c)(2b + 5c) = 4b² − 25c². Сумма: 100c² − 16b² + 4b² − 25c² = 75c² − 12b².
ж) 9x² − 24xy + 16y² − (9x² − 16y²) = −24xy + 32y².
з) (36b² − 4a²) − (4a² + 24ab + 36b²) = −8a² − 24ab.
б) m² − 4m + 9 − m² = 9 − 4m.
в) 16x² − a² + 2x² − 2ax = 18x² − 2ax − a².
г) 2a² + 2ab − (4a² − b²) = −2a² + 2ab + b².
д) 25a² − 9c² − (49c² − a²) = 26a² − 58c².
е) (10c − 4b)(10c + 4b) = 100c² − 16b²; (2b − 5c)(2b + 5c) = 4b² − 25c². Сумма: 100c² − 16b² + 4b² − 25c² = 75c² − 12b².
ж) 9x² − 24xy + 16y² − (9x² − 16y²) = −24xy + 32y².
з) (36b² − 4a²) − (4a² + 24ab + 36b²) = −8a² − 24ab.