Глава III. §6. Контрольные вопросы и задания — с. 110
1. Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них основание и показатель степени.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен a: a^n = a · a · … · a (n раз). Степенью числа a с показателем 1 считают само число a: a^1 = a. Число a называют основанием степени, число n — показателем степени.
Примеры. 3^4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81: основание 3, показатель 4. (−2)³ = (−2)(−2)(−2) = −8: основание −2, показатель 3. 0,5² = 0,25: основание 0,5, показатель 2.
Примеры. 3^4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81: основание 3, показатель 4. (−2)³ = (−2)(−2)(−2) = −8: основание −2, показатель 3. 0,5² = 0,25: основание 0,5, показатель 2.
2. Сформулируйте и докажите основное свойство степени.
Основное свойство степени: при любом a и натуральных m и n верно a^m · a^n = a^(m+n). То есть при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
Доказательство. По определению степени a^m · a^n = (a · a · … · a) · (a · a · … · a), где в первой скобке m множителей, во второй n множителей. Всего получается m + n множителей, каждый из которых равен a, поэтому произведение равно a^(m+n).
Доказательство. По определению степени a^m · a^n = (a · a · … · a) · (a · a · … · a), где в первой скобке m множителей, во второй n множителей. Всего получается m + n множителей, каждый из которых равен a, поэтому произведение равно a^(m+n).
3. Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени произведение 12 · 12³ · 12^6.
Правило: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели складывают: a^m · a^n = a^(m+n).
Представим произведение в виде степени, учитывая, что 12 = 12^1: 12 · 12³ · 12^6 = 12^(1+3+6) = 12^10.
Ответ: 12^10.
Представим произведение в виде степени, учитывая, что 12 = 12^1: 12 · 12³ · 12^6 = 12^(1+3+6) = 12^10.
Ответ: 12^10.
4. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени частное 5,7^6 : 5,7³.
Правило: при делении степеней с одинаковыми основаниями (основание не равно нулю) основание оставляют тем же, а из показателя делимого вычитают показатель делителя: a^m : a^n = a^(m−n), где m > n.
5,7^6 : 5,7³ = 5,7^(6−3) = 5,7³.
Ответ: 5,7³.
5,7^6 : 5,7³ = 5,7^(6−3) = 5,7³.
Ответ: 5,7³.
5. Дайте определение степени числа с нулевым показателем.
Степень любого числа a, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице: a^0 = 1 при a ≠ 0. Выражение 0^0 не имеет смысла.
Например, 7^0 = 1, (−2,5)^0 = 1. Это определение согласуется с правилом деления степеней: a^n : a^n = a^(n−n) = a^0, а частное одинаковых чисел равно 1.
Например, 7^0 = 1, (−2,5)^0 = 1. Это определение согласуется с правилом деления степеней: a^n : a^n = a^(n−n) = a^0, а частное одинаковых чисел равно 1.
6. Сформулируйте правило возведения в степень произведения, правило возведения в степень степени. Представьте в виде степени выражение: (5ab)^4; (a³)^6; y^4 · (y²)^6.
Правило возведения произведения в степень: чтобы возвести в степень произведение, надо возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить: (ab)^n = a^n · b^n.
Правило возведения степени в степень: при возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают: (a^m)^n = a^(mn).
Применим правила.
(5ab)^4 = 5^4 · a^4 · b^4 = 625a^4b^4.
(a³)^6 = a^(3·6) = a^18.
y^4 · (y²)^6 = y^4 · y^12 = y^(4+12) = y^16.
Правило возведения степени в степень: при возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают: (a^m)^n = a^(mn).
Применим правила.
(5ab)^4 = 5^4 · a^4 · b^4 = 625a^4b^4.
(a³)^6 = a^(3·6) = a^18.
y^4 · (y²)^6 = y^4 · y^12 = y^(4+12) = y^16.