Глава III. §6. п.20 Возведение в степень произведения и степени (упражнения) — с. 108
449. (Для работы в парах.) На покраску куба затратили 40 г краски. Хватит ли 1 кг краски, чтобы покрасить куб, ребро которого в 3 раза больше?
1. Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.
2. Выполните самостоятельно вычисления.
3. Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.
Количество краски пропорционально площади поверхности куба. Площадь поверхности куба с ребром a равна 6a². Если ребро увеличить в 3 раза, площадь станет 6 · (3a)² = 9 · 6a², то есть увеличится в 3² = 9 раз.
Краски понадобится 40 · 9 = 360 г. Так как 360 г < 1 кг = 1000 г, краски хватит (и ещё останется 640 г).
Ответ: да, хватит.
Замечание: предположение «краски потребуется втрое больше (120 г)» неверно, так как каждая грань увеличивается и по длине, и по ширине.
Краски понадобится 40 · 9 = 360 г. Так как 360 г < 1 кг = 1000 г, краски хватит (и ещё останется 640 г).
Ответ: да, хватит.
Замечание: предположение «краски потребуется втрое больше (120 г)» неверно, так как каждая грань увеличивается и по длине, и по ширине.
450. (Для работы в парах.) Бассейн, имеющий форму куба, наполняется водой через трубу за 40 мин. Успеют ли за 5 ч наполнить водой через ту же трубу бассейн, имеющий форму куба, ребро которого вдвое больше?
1. Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.
2. Выполните самостоятельно вычисления.
3. Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.
Время наполнения пропорционально объёму. Если ребро увеличить вдвое, объём увеличится в 2³ = 8 раз.
Время наполнения: 40 · 8 = 320 мин = 5 ч 20 мин. Это больше 5 ч (5 ч = 300 мин).
Ответ: нет, не успеют (не хватит 20 мин).
Время наполнения: 40 · 8 = 320 мин = 5 ч 20 мин. Это больше 5 ч (5 ч = 300 мин).
Ответ: нет, не успеют (не хватит 20 мин).
451. Представьте в виде степени произведение: а) b³x³; б) a^7y^7; в) x²y²z²; г) (−a)³b³; д) 32a^5; е) 0,027m³.
Используем свойство a^n b^n = (ab)^n.
а) (bx)³.
б) (ay)^7.
в) (xyz)².
г) (−ab)³.
д) 32 = 2^5, поэтому 32a^5 = (2a)^5.
е) 0,027 = 0,3³, поэтому 0,027m³ = (0,3m)³.
а) (bx)³.
б) (ay)^7.
в) (xyz)².
г) (−ab)³.
д) 32 = 2^5, поэтому 32a^5 = (2a)^5.
е) 0,027 = 0,3³, поэтому 0,027m³ = (0,3m)³.
452. Найдите значение выражения: а) 2^4 · 5^4; б) 4³ · 25³; в) 0,25^15 · 4^15; г) (2/3)^7 · 1,5^7; д) (5/7)^10 · 1,4^9; е) 0,2^6 · 50^7.
Объединяем множители с одинаковыми показателями: a^n b^n = (ab)^n.
а) (2 · 5)^4 = 10^4 = 10 000.
б) (4 · 25)³ = 100³ = 1 000 000.
в) (0,25 · 4)^15 = 1^15 = 1.
г) 1,5 = 3/2: (2/3)^7 · (3/2)^7 = ((2/3) · (3/2))^7 = 1.
д) 1,4 = 7/5: (5/7)^10 · (7/5)^9 = (5/7) · (5/7)^9 · (7/5)^9 = (5/7) · 1 = 5/7.
е) 50^7 = 50^6 · 50: 0,2^6 · 50^6 · 50 = (0,2 · 50)^6 · 50 = 10^6 · 50 = 50 000 000.
а) (2 · 5)^4 = 10^4 = 10 000.
б) (4 · 25)³ = 100³ = 1 000 000.
в) (0,25 · 4)^15 = 1^15 = 1.
г) 1,5 = 3/2: (2/3)^7 · (3/2)^7 = ((2/3) · (3/2))^7 = 1.
д) 1,4 = 7/5: (5/7)^10 · (7/5)^9 = (5/7) · (5/7)^9 · (7/5)^9 = (5/7) · 1 = 5/7.
е) 50^7 = 50^6 · 50: 0,2^6 · 50^6 · 50 = (0,2 · 50)^6 · 50 = 10^6 · 50 = 50 000 000.
453. Выполните возведение в степень: а) (x³)²; б) (x²)³; в) (a^5)^4; г) (a^6)³; д) (y²)^5; е) (y^7)²; ж) (b³)³; з) (b^5)².
При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают: (a^m)^n = a^(mn).
а) x^6.
б) x^6.
в) a^20.
г) a^18.
д) y^10.
е) y^14.
ж) b^9.
з) b^10.
а) x^6.
б) x^6.
в) a^20.
г) a^18.
д) y^10.
е) y^14.
ж) b^9.
з) b^10.
454. Запишите в виде степени с основанием x выражение: а) (x^6)^4; б) x^6x^4; в) x²x²; г) (x²)²; д) x²x³x^4; е) ((x²)³)^4.
а) x^(6·4) = x^24.
б) x^(6+4) = x^10.
в) x^(2+2) = x^4.
г) x^(2·2) = x^4.
д) x^(2+3+4) = x^9.
е) ((x²)³)^4 = (x^6)^4 = x^24.
б) x^(6+4) = x^10.
в) x^(2+2) = x^4.
г) x^(2·2) = x^4.
д) x^(2+3+4) = x^9.
е) ((x²)³)^4 = (x^6)^4 = x^24.
455. Представьте в виде степени с основанием a выражение: а) (a^5)²; б) a^5a²; в) (a^4)³; г) a³a^4; д) a^5a^5; е) (a^5)^5.
а) a^10.
б) a^7.
в) a^12.
г) a^7.
д) a^10.
е) a^25.
б) a^7.
в) a^12.
г) a^7.
д) a^10.
е) a^25.
456. Представьте в виде степени с основанием a: а) a^na³; б) aa^m; в) a²a^m; г) (a²)^m; д) (a^n)³; е) (a³)^n.
а) a^(n+3).
б) a^(1+m) = a^(m+1).
в) a^(2+m) = a^(m+2).
г) a^(2m).
д) a^(3n).
е) a^(3n).
б) a^(1+m) = a^(m+1).
в) a^(2+m) = a^(m+2).
г) a^(2m).
д) a^(3n).
е) a^(3n).
457. Представьте в виде степени с основанием 5 число: а) 25^4; б) 125³; в) 625².
Сначала записываем основание как степень пятёрки.
а) 25 = 5², 25^4 = (5²)^4 = 5^8.
б) 125 = 5³, 125³ = (5³)³ = 5^9.
в) 625 = 5^4, 625² = (5^4)² = 5^8.
а) 25 = 5², 25^4 = (5²)^4 = 5^8.
б) 125 = 5³, 125³ = (5³)³ = 5^9.
в) 625 = 5^4, 625² = (5^4)² = 5^8.
458. Представьте число 2^20 в виде степени с основанием: а) 2²; б) 2^4; в) 2^5; г) 2^10.
Показатель 20 раскладываем на множитель, равный показателю основания.
а) 2^20 = (2²)^10.
б) 2^20 = (2^4)^5.
в) 2^20 = (2^5)^4.
г) 2^20 = (2^10)².
а) 2^20 = (2²)^10.
б) 2^20 = (2^4)^5.
в) 2^20 = (2^5)^4.
г) 2^20 = (2^10)².
459. Запишите число 2^60 в виде степени с основанием: а) 4; б) 8; в) 16; г) 32.
а) 4 = 2², 2^60 = (2²)^30 = 4^30.
б) 8 = 2³, 2^60 = (2³)^20 = 8^20.
в) 16 = 2^4, 2^60 = (2^4)^15 = 16^15.
г) 32 = 2^5, 2^60 = (2^5)^12 = 32^12.
б) 8 = 2³, 2^60 = (2³)^20 = 8^20.
в) 16 = 2^4, 2^60 = (2^4)^15 = 16^15.
г) 32 = 2^5, 2^60 = (2^5)^12 = 32^12.