Глава III. §6. п.19 (окончание). Упражнения для повторения. п.20 Возведение в степень произведения и степени — с. 105
434. Упростите выражение: а) x^n · x³; б) a² · a^m; в) x · x^n; г) y^n : y^4; д) c^9 : c^m; е) k^n : k.
а) x^(n+3).
б) a^(2+m) = a^(m+2).
в) x^1 · x^n = x^(n+1).
г) y^(n−4).
д) c^(9−m).
е) k^(n−1).
б) a^(2+m) = a^(m+2).
в) x^1 · x^n = x^(n+1).
г) y^(n−4).
д) c^(9−m).
е) k^(n−1).
435. Найдите значение выражения: а) 3x⁰ при x = 2,6; б) −2,5y⁰ при y = −1 2/3; в) 10a²b⁰ при a = −3, b = −8; г) 27a⁰c³ при a = 2/3, c = −1/3.
Степень любого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равна 1.
а) 3x⁰ = 3 · 1 = 3.
б) −2,5y⁰ = −2,5 · 1 = −2,5.
в) 10a²b⁰ = 10 · (−3)² · 1 = 10 · 9 = 90.
г) 27a⁰c³ = 27 · 1 · (−1/3)³ = 27 · (−1/27) = −1.
а) 3x⁰ = 3 · 1 = 3.
б) −2,5y⁰ = −2,5 · 1 = −2,5.
в) 10a²b⁰ = 10 · (−3)² · 1 = 10 · 9 = 90.
г) 27a⁰c³ = 27 · 1 · (−1/3)³ = 27 · (−1/27) = −1.
436. Выполните действия: а) b^4b⁰; б) c^5 : c⁰; в) a^4a⁰; г) x³ : x⁰.
Так как a⁰ = 1 при a ≠ 0, умножение и деление на нулевую степень значение не меняет.
а) b^4 · b⁰ = b^(4+0) = b^4.
б) c^5 : c⁰ = c^5.
в) a^4 · a⁰ = a^4.
г) x³ : x⁰ = x³.
а) b^4 · b⁰ = b^(4+0) = b^4.
б) c^5 : c⁰ = c^5.
в) a^4 · a⁰ = a^4.
г) x³ : x⁰ = x³.
437. Представьте в виде квадрата или куба число: а) 9; б) −27; в) 6,25; г) 0,064; д) −3 3/8; е) 5 4/9.
а) 9 = 3² (или (−3)²).
б) −27 = (−3)³.
в) 6,25 = 2,5².
г) 0,064 = 0,4³.
д) −3 3/8 = −27/8 = (−3/2)³ = (−1 1/2)³.
е) 5 4/9 = 49/9 = (7/3)² = (2 1/3)².
б) −27 = (−3)³.
в) 6,25 = 2,5².
г) 0,064 = 0,4³.
д) −3 3/8 = −27/8 = (−3/2)³ = (−1 1/2)³.
е) 5 4/9 = 49/9 = (7/3)² = (2 1/3)².
438. Постройте график функции, заданной формулой y = x − 3. Найдите по графику значения функции при x = 4 и x = 6.
Графиком функции y = x − 3 является прямая. Находим две точки: при x = 0 получаем y = −3; при x = 3 получаем y = 0. Отмечаем точки (0; −3) и (3; 0) и проводим через них прямую.
Чтобы найти значение функции при x = 4, из точки x = 4 на оси x проводим перпендикуляр до графика и по горизонтали переходим к оси y: получаем y = 1. Аналогично при x = 6 получаем y = 3.
Проверка по формуле: 4 − 3 = 1; 6 − 3 = 3.
Ответ: 1 и 3.
Чтобы найти значение функции при x = 4, из точки x = 4 на оси x проводим перпендикуляр до графика и по горизонтали переходим к оси y: получаем y = 1. Аналогично при x = 6 получаем y = 3.
Проверка по формуле: 4 − 3 = 1; 6 − 3 = 3.
Ответ: 1 и 3.
439. Двигаясь со скоростью 70 км/ч, автомобиль за t ч прошёл расстояние s км. Задайте формулой зависимость s от t. Пользуясь этой формулой, найдите путь, который автомобиль прошёл за время от 3 ч 30 мин до 5 ч.
Путь равен скорости, умноженной на время: s = 70t.
К моменту t = 3 ч 30 мин = 3,5 ч автомобиль прошёл 70 · 3,5 = 245 км. К моменту t = 5 ч — 70 · 5 = 350 км.
За время от 3 ч 30 мин до 5 ч пройден путь 350 − 245 = 105 км (или 70 · 1,5 = 105 км).
Ответ: s = 70t; 105 км.
К моменту t = 3 ч 30 мин = 3,5 ч автомобиль прошёл 70 · 3,5 = 245 км. К моменту t = 5 ч — 70 · 5 = 350 км.
За время от 3 ч 30 мин до 5 ч пройден путь 350 − 245 = 105 км (или 70 · 1,5 = 105 км).
Ответ: s = 70t; 105 км.
440. Пусть a — произвольное число. Сравните с нулём значение выражения: а) 6a²; б) −a²; в) a² + 4; г) (a + 4)²; д) −a² − 5.
Квадрат любого числа неотрицателен: a² ≥ 0.
а) 6a² ≥ 0.
б) −a² ≤ 0.
в) a² + 4 ≥ 4, поэтому a² + 4 > 0.
г) (a + 4)² — квадрат числа, (a + 4)² ≥ 0 (равно нулю при a = −4).
д) −a² ≤ 0, значит, −a² − 5 ≤ −5, поэтому −a² − 5 < 0.
а) 6a² ≥ 0.
б) −a² ≤ 0.
в) a² + 4 ≥ 4, поэтому a² + 4 > 0.
г) (a + 4)² — квадрат числа, (a + 4)² ≥ 0 (равно нулю при a = −4).
д) −a² ≤ 0, значит, −a² − 5 ≤ −5, поэтому −a² − 5 < 0.
441. Принадлежит ли графику функции, заданной формулой y = x³ − 3x², точка A(7; 196); точка B(−5; −200)?
Подставляем координаты точек в формулу.
A(7; 196): x = 7, y = 7³ − 3 · 7² = 343 − 147 = 196. Совпадает с ординатой точки A, значит, A принадлежит графику.
B(−5; −200): x = −5, y = (−5)³ − 3 · (−5)² = −125 − 75 = −200. Совпадает, значит, B принадлежит графику.
Ответ: обе точки принадлежат графику.
A(7; 196): x = 7, y = 7³ − 3 · 7² = 343 − 147 = 196. Совпадает с ординатой точки A, значит, A принадлежит графику.
B(−5; −200): x = −5, y = (−5)³ − 3 · (−5)² = −125 − 75 = −200. Совпадает, значит, B принадлежит графику.
Ответ: обе точки принадлежат графику.
442. Кусок гранита объёмом 40 см³ имеет массу 108 г. Какова масса куска гранита, объём которого на 35 см³ больше?
Масса 1 см³ гранита: 108 : 40 = 2,7 г.
Объём второго куска: 40 + 35 = 75 см³. Его масса: 75 · 2,7 = 202,5 г.
Ответ: 202,5 г.
Объём второго куска: 40 + 35 = 75 см³. Его масса: 75 · 2,7 = 202,5 г.
Ответ: 202,5 г.