Глава III. §6. п.19 Умножение и деление степеней (упражнения) — с. 104
422. Представьте выражение x^6 в виде произведения двух степеней с основанием x всеми возможными способами.
Показатель 6 нужно записать в виде суммы двух натуральных чисел: 6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 = 4 + 2 = 5 + 1.
Поэтому x^6 = x · x^5 = x² · x^4 = x³ · x³ = x^4 · x² = x^5 · x.
Без учёта порядка множителей получаем три способа: x · x^5, x² · x^4, x³ · x³.
Поэтому x^6 = x · x^5 = x² · x^4 = x³ · x³ = x^4 · x² = x^5 · x.
Без учёта порядка множителей получаем три способа: x · x^5, x² · x^4, x³ · x³.
423. Представьте в виде степени произведение: а) x²x^5x^4; б) y³y²y; в) mm³m²m^5; г) p^4p³pp; д) 10² · 10³ · 10^5; е) 3^4 · 3² · 3³ · 3.
Показатели складываем.
а) x^(2+5+4) = x^11.
б) y^(3+2+1) = y^6.
в) m^(1+3+2+5) = m^11.
г) p^(4+3+1+1) = p^9.
д) 10^(2+3+5) = 10^10.
е) 3^(4+2+3+1) = 3^10.
а) x^(2+5+4) = x^11.
б) y^(3+2+1) = y^6.
в) m^(1+3+2+5) = m^11.
г) p^(4+3+1+1) = p^9.
д) 10^(2+3+5) = 10^10.
е) 3^(4+2+3+1) = 3^10.
424. Запишите в виде степени выражение: а) m³m²m^8; б) a^4a³a²; в) xx^4x^4x; г) n^5nn³n^6; д) 7^8 · 7 · 7^4; е) 5 · 5² · 5³ · 5^5.
а) m^(3+2+8) = m^13.
б) a^(4+3+2) = a^9.
в) x^(1+4+4+1) = x^10.
г) n^(5+1+3+6) = n^15.
д) 7^(8+1+4) = 7^13.
е) 5^(1+2+3+5) = 5^11.
Оговорка: в пункте г) множители прочитаны по скану как n^5, n, n³, n^6.
б) a^(4+3+2) = a^9.
в) x^(1+4+4+1) = x^10.
г) n^(5+1+3+6) = n^15.
д) 7^(8+1+4) = 7^13.
е) 5^(1+2+3+5) = 5^11.
Оговорка: в пункте г) множители прочитаны по скану как n^5, n, n³, n^6.
425. Представьте в виде степени: а) 5^8 · 25; б) 3^12 · 27; в) 6^15 · 36; г) 2^9 · 32; д) 0,4^5 · 0,16; е) 0,001 · 0,1^4.
Представим второй множитель степенью того же основания.
а) 25 = 5², 5^8 · 5² = 5^10.
б) 27 = 3³, 3^12 · 3³ = 3^15.
в) 36 = 6², 6^15 · 6² = 6^17.
г) 32 = 2^5, 2^9 · 2^5 = 2^14.
д) 0,16 = 0,4², 0,4^5 · 0,4² = 0,4^7.
е) 0,001 = 0,1³, 0,1³ · 0,1^4 = 0,1^7.
а) 25 = 5², 5^8 · 5² = 5^10.
б) 27 = 3³, 3^12 · 3³ = 3^15.
в) 36 = 6², 6^15 · 6² = 6^17.
г) 32 = 2^5, 2^9 · 2^5 = 2^14.
д) 0,16 = 0,4², 0,4^5 · 0,4² = 0,4^7.
е) 0,001 = 0,1³, 0,1³ · 0,1^4 = 0,1^7.
426. Представив в виде степени выражение, найдите его значение по таблице степеней числа 2: а) 2^4 · 2; б) 2^6 · 4; в) 8 · 2^7; г) 16 · 32.
а) 2^4 · 2 = 2^5 = 32.
б) 4 = 2², 2^6 · 2² = 2^8 = 256.
в) 8 = 2³, 2³ · 2^7 = 2^10 = 1024.
г) 16 = 2^4, 32 = 2^5, 2^4 · 2^5 = 2^9 = 512.
б) 4 = 2², 2^6 · 2² = 2^8 = 256.
в) 8 = 2³, 2³ · 2^7 = 2^10 = 1024.
г) 16 = 2^4, 32 = 2^5, 2^4 · 2^5 = 2^9 = 512.
427. По таблице степеней числа 3 найдите значение выражения, представив его в виде степени с основанием 3: а) 3² · 3^5; б) 81 · 3^6; в) 9 · 2187; г) 27 · 243.
Степени тройки: 3² = 9; 3³ = 27; 3^4 = 81; 3^5 = 243; 3^6 = 729; 3^7 = 2187; 3^8 = 6561; 3^9 = 19 683; 3^10 = 59 049.
а) 3² · 3^5 = 3^7 = 2187.
б) 81 · 3^6 = 3^4 · 3^6 = 3^10 = 59 049.
в) 9 · 2187 = 3² · 3^7 = 3^9 = 19 683.
г) 27 · 243 = 3³ · 3^5 = 3^8 = 6561.
а) 3² · 3^5 = 3^7 = 2187.
б) 81 · 3^6 = 3^4 · 3^6 = 3^10 = 59 049.
в) 9 · 2187 = 3² · 3^7 = 3^9 = 19 683.
г) 27 · 243 = 3³ · 3^5 = 3^8 = 6561.
428. Представьте выражение в виде степени с основанием c: а) (c^4)²; б) (c²)^4.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: (c^m)^n = c^(mn).
а) (c^4)² = c^8.
б) (c²)^4 = c^8.
а) (c^4)² = c^8.
б) (c²)^4 = c^8.
429. Представьте в виде степени частное: а) x^5 : x³; б) y^10 : y^7; в) a^21 : a; г) b^19 : b^18; д) c^12 : c³; е) p^20 : p^10; ж) 3^8 : 3^5; з) 0,7^9 : 0,7^4.
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитают: a^m : a^n = a^(m−n).
а) x².
б) y³.
в) a^20.
г) b^1 = b.
д) c^9.
е) p^10.
ж) 3³.
з) 0,7^5.
а) x².
б) y³.
в) a^20.
г) b^1 = b.
д) c^9.
е) p^10.
ж) 3³.
з) 0,7^5.
430. Выполните деление: а) p^10 : p^6; б) a^8 : a^4; в) x^15 : x^4; г) y^9 : y; д) 10^16 : 10^12; е) 2,3^16 : 2,3^7.
а) p^4.
б) a^4.
в) x^11.
г) y^8.
д) 10^4.
е) 2,3^9.
б) a^4.
в) x^11.
г) y^8.
д) 10^4.
е) 2,3^9.
431. Найдите значение выражения: а) 5^6 : 5^4; б) 10^15 : 10^12; в) 0,5^10 : 0,5^7; г) (1 1/3)^8 : (1 1/3)^6; д) 2,73^13 : 2,73^12; е) (−2/3)^7 : (−2/3)^4.
а) 5² = 25.
б) 10³ = 1000.
в) 0,5³ = 0,125.
г) (1 1/3)² = (4/3)² = 16/9 = 1 7/9.
д) 2,73^1 = 2,73.
е) (−2/3)³ = −8/27.
б) 10³ = 1000.
в) 0,5³ = 0,125.
г) (1 1/3)² = (4/3)² = 16/9 = 1 7/9.
д) 2,73^1 = 2,73.
е) (−2/3)³ = −8/27.
432. Найдите значение дроби: а) 8^6/8^4; б) 0,8^7/0,8^4; в) (−0,3)^5/(−0,3)³; г) (1 1/2)^4/(1 1/2)²; д) (−2 1/3)^6/(−2 1/3)³.
Делим степени с одинаковыми основаниями: показатели вычитаем.
а) 8² = 64.
б) 0,8³ = 0,512.
в) (−0,3)² = 0,09.
г) (1 1/2)² = (3/2)² = 9/4 = 2 1/4.
д) (−2 1/3)³ = (−7/3)³ = −343/27 = −12 19/27.
а) 8² = 64.
б) 0,8³ = 0,512.
в) (−0,3)² = 0,09.
г) (1 1/2)² = (3/2)² = 9/4 = 2 1/4.
д) (−2 1/3)³ = (−7/3)³ = −343/27 = −12 19/27.
433. Вычислите: а) 7^9 · 7^5/7^12; б) 3^15/(3^5 · 3^6); в) 5^16 · 5^4/5^18; г) 0,6^12/(0,6^4 · 0,6^5).
Упрощаем, используя свойства степеней.
а) 7^9 · 7^5 = 7^14; 7^14 : 7^12 = 7² = 49.
б) 3^5 · 3^6 = 3^11; 3^15 : 3^11 = 3^4 = 81.
в) 5^16 · 5^4 = 5^20; 5^20 : 5^18 = 5² = 25.
г) 0,6^4 · 0,6^5 = 0,6^9; 0,6^12 : 0,6^9 = 0,6³ = 0,216.
а) 7^9 · 7^5 = 7^14; 7^14 : 7^12 = 7² = 49.
б) 3^5 · 3^6 = 3^11; 3^15 : 3^11 = 3^4 = 81.
в) 5^16 · 5^4 = 5^20; 5^20 : 5^18 = 5² = 25.
г) 0,6^4 · 0,6^5 = 0,6^9; 0,6^12 : 0,6^9 = 0,6³ = 0,216.