Глава III. §6. п.20 (окончание). Упражнения для повторения — с. 109
460. Выражение a^12 представьте в виде степени несколькими способами.
Показатель 12 можно получить умножением или сложением:
a^12 = (a²)^6 = (a³)^4 = (a^4)³ = (a^6)².
а также a^12 = a^5 · a^7 = a^6 · a^6 = a^4 · a^8 = a³ · a^9.
a^12 = (a²)^6 = (a³)^4 = (a^4)³ = (a^6)².
а также a^12 = a^5 · a^7 = a^6 · a^6 = a^4 · a^8 = a³ · a^9.
461. Известно, что a² = m. Найдите a^6.
a^6 = (a²)³ = m³.
Ответ: m³.
Ответ: m³.
462. Упростите выражение: а) x³ · (x²)^5; б) (a³)² · a^5; в) (a²)³ · (a^4)²; г) (x²)^5 · (x^5)²; д) (m²m³)^4; е) (x^4x)².
а) x³ · x^10 = x^13.
б) a^6 · a^5 = a^11.
в) a^6 · a^8 = a^14.
г) x^10 · x^10 = x^20.
д) (m^5)^4 = m^20.
е) (x^5)² = x^10.
б) a^6 · a^5 = a^11.
в) a^6 · a^8 = a^14.
г) x^10 · x^10 = x^20.
д) (m^5)^4 = m^20.
е) (x^5)² = x^10.
463. Запишите в виде степени с основанием a выражение: а) (a²)^4; б) a³ · (a³)²; в) (a^5)² · (a²)²; г) (a³)³ · (a³)³; д) (a³a³)²; е) (aa^6)³.
а) a^8.
б) a³ · a^6 = a^9.
в) a^10 · a^4 = a^14.
г) a^9 · a^9 = a^18.
д) (a^6)² = a^12.
е) (a^7)³ = a^21.
б) a³ · a^6 = a^9.
в) a^10 · a^4 = a^14.
г) a^9 · a^9 = a^18.
д) (a^6)² = a^12.
е) (a^7)³ = a^21.
464. Упростите выражение: а) x^5 · (x²)³; б) (x³)^4 · x^8; в) (x^4)² · (x^5)³; г) (x²)³ · (x³)^5; д) (x³)² · (x^4)^5; е) (x^7)³ · (x³)^4.
а) x^5 · x^6 = x^11.
б) x^12 · x^8 = x^20.
в) x^8 · x^15 = x^23.
г) x^6 · x^15 = x^21.
д) x^6 · x^20 = x^26.
е) x^21 · x^12 = x^33.
б) x^12 · x^8 = x^20.
в) x^8 · x^15 = x^23.
г) x^6 · x^15 = x^21.
д) x^6 · x^20 = x^26.
е) x^21 · x^12 = x^33.
465. Найдите значение выражения: а) 2^5 · (2³)^4/2^13; б) (5^8)² · 5^7/5^22; в) (2^5)²/(2^6 · 4); г) 3^7 · 27/(3^4)³; д) (5²)^4 · 25/5^9; е) (7³)³ · 7²/(7^5)²; ж) 3^11 · 27/((3^4)³ · 9); з) (11²)³/(11² · 11³).
Приводим числитель и знаменатель к степеням одного основания.
а) 2^5 · 2^12 = 2^17; 2^17 : 2^13 = 2^4 = 16.
б) 5^16 · 5^7 = 5^23; 5^23 : 5^22 = 5.
в) (2^5)² = 2^10; 2^6 · 4 = 2^6 · 2² = 2^8; 2^10 : 2^8 = 2² = 4.
г) 3^7 · 3³ = 3^10; (3^4)³ = 3^12; 3^10 : 3^12 = 1/3² = 1/9.
д) (5²)^4 = 5^8; 5^8 · 5² = 5^10; 5^10 : 5^9 = 5.
е) (7³)³ = 7^9; 7^9 · 7² = 7^11; (7^5)² = 7^10; 7^11 : 7^10 = 7.
ж) 3^11 · 3³ = 3^14; (3^4)³ · 9 = 3^12 · 3² = 3^14; частное равно 1.
з) (11²)³ = 11^6; 11² · 11³ = 11^5; 11^6 : 11^5 = 11.
Ответ: а) 16; б) 5; в) 4; г) 1/9; д) 5; е) 7; ж) 1; з) 11.
Оговорка: показатели в пунктах д), е), ж), з) плохо читаются на скане, приняты такими, как указано выше.
а) 2^5 · 2^12 = 2^17; 2^17 : 2^13 = 2^4 = 16.
б) 5^16 · 5^7 = 5^23; 5^23 : 5^22 = 5.
в) (2^5)² = 2^10; 2^6 · 4 = 2^6 · 2² = 2^8; 2^10 : 2^8 = 2² = 4.
г) 3^7 · 3³ = 3^10; (3^4)³ = 3^12; 3^10 : 3^12 = 1/3² = 1/9.
д) (5²)^4 = 5^8; 5^8 · 5² = 5^10; 5^10 : 5^9 = 5.
е) (7³)³ = 7^9; 7^9 · 7² = 7^11; (7^5)² = 7^10; 7^11 : 7^10 = 7.
ж) 3^11 · 3³ = 3^14; (3^4)³ · 9 = 3^12 · 3² = 3^14; частное равно 1.
з) (11²)³ = 11^6; 11² · 11³ = 11^5; 11^6 : 11^5 = 11.
Ответ: а) 16; б) 5; в) 4; г) 1/9; д) 5; е) 7; ж) 1; з) 11.
Оговорка: показатели в пунктах д), е), ж), з) плохо читаются на скане, приняты такими, как указано выше.
466. Известно, что a < 0 и b > 0. Сравните с нулём значение выражения: а) ab²; б) a³b; в) a²b; г) ab³; д) −ab³; е) a² + b²; ж) (a + b)²; з) (a − b)².
Знаки: a < 0, b > 0; поэтому a² > 0, b² > 0, b³ > 0, a³ < 0.
а) ab²: a < 0, b² > 0, произведение отрицательно: ab² < 0.
б) a³b: a³ < 0, b > 0, a³b < 0.
в) a²b: a² > 0, b > 0, a²b > 0.
г) ab³: a < 0, b³ > 0, ab³ < 0.
д) −ab³: так как ab³ < 0, то −ab³ > 0.
е) a² + b² > 0 как сумма положительных чисел.
ж) (a + b)² ≥ 0: это квадрат; значение равно 0 при a = −b и положительно при a ≠ −b, поэтому (a + b)² ≥ 0.
з) a − b < 0, значит, a − b ≠ 0 и (a − b)² > 0.
а) ab²: a < 0, b² > 0, произведение отрицательно: ab² < 0.
б) a³b: a³ < 0, b > 0, a³b < 0.
в) a²b: a² > 0, b > 0, a²b > 0.
г) ab³: a < 0, b³ > 0, ab³ < 0.
д) −ab³: так как ab³ < 0, то −ab³ > 0.
е) a² + b² > 0 как сумма положительных чисел.
ж) (a + b)² ≥ 0: это квадрат; значение равно 0 при a = −b и положительно при a ≠ −b, поэтому (a + b)² ≥ 0.
з) a − b < 0, значит, a − b ≠ 0 и (a − b)² > 0.
467. Какой цифрой может оканчиваться: а) квадрат натурального числа; б) четвёртая степень натурального числа?
Последняя цифра степени зависит только от последней цифры основания.
а) Последние цифры чисел 0, 1, ..., 9 при возведении в квадрат дают: 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Квадрат может оканчиваться цифрами 0, 1, 4, 5, 6, 9.
б) Возводим в квадрат последние цифры квадратов: 0² → 0; 1² → 1; 4² = 16 → 6; 9² = 81 → 1; 6² = 36 → 6; 5² = 25 → 5. Четвёртая степень может оканчиваться цифрами 0, 1, 5, 6.
Ответ: а) 0, 1, 4, 5, 6, 9; б) 0, 1, 5, 6.
а) Последние цифры чисел 0, 1, ..., 9 при возведении в квадрат дают: 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Квадрат может оканчиваться цифрами 0, 1, 4, 5, 6, 9.
б) Возводим в квадрат последние цифры квадратов: 0² → 0; 1² → 1; 4² = 16 → 6; 9² = 81 → 1; 6² = 36 → 6; 5² = 25 → 5. Четвёртая степень может оканчиваться цифрами 0, 1, 5, 6.
Ответ: а) 0, 1, 4, 5, 6, 9; б) 0, 1, 5, 6.
468. Известно, что график функции y = kx + 5,4 проходит через точку A(3,7; −2). Найдите значение коэффициента k.
Координаты точки A удовлетворяют уравнению: −2 = k · 3,7 + 5,4.
Отсюда 3,7k = −2 − 5,4 = −7,4, k = −7,4 : 3,7 = −2.
Ответ: k = −2.
Отсюда 3,7k = −2 − 5,4 = −7,4, k = −7,4 : 3,7 = −2.
Ответ: k = −2.
469. На рисунке 74 построен график некоторой функции. Используя график, найдите: а) значение y при x, равном −2; −1; 2; б) значения x, при которых y равен −0,5; 2. [рисунок 74: график некоторой функции на координатной сетке; на оси x отмечены −2, −1, 0, 1, на оси y отмечены 1, 2]
Читаем значения по графику.
а) При x = −2 график проходит через точку с ординатой 1; при x = −1 — через наивысшую точку с ординатой 2,5; при x = 2 — через точку с ординатой 2. Значит, y(−2) = 1, y(−1) = 2,5, y(2) = 2.
б) y = 2: прямая y = 2 пересекает график в трёх точках: x = −1,5, x = −0,5 и x = 2.
y = −0,5: график опускается до значения, близкого к −0,5, в окрестности x ≈ 0,5; прямая y = −0,5 касается нижней точки графика (примерно x = 0,5).
Ответ: а) 1; 2,5; 2; б) y = 2 при x = −1,5; −0,5; 2; y = −0,5 при x ≈ 0,5.
Оговорка: значения определены по клеткам рисунка (единица на каждой оси равна четырём клеткам), поэтому ответ приближённый; значение −0,5 достигается вблизи наименьшей точки графика.
а) При x = −2 график проходит через точку с ординатой 1; при x = −1 — через наивысшую точку с ординатой 2,5; при x = 2 — через точку с ординатой 2. Значит, y(−2) = 1, y(−1) = 2,5, y(2) = 2.
б) y = 2: прямая y = 2 пересекает график в трёх точках: x = −1,5, x = −0,5 и x = 2.
y = −0,5: график опускается до значения, близкого к −0,5, в окрестности x ≈ 0,5; прямая y = −0,5 касается нижней точки графика (примерно x = 0,5).
Ответ: а) 1; 2,5; 2; б) y = 2 при x = −1,5; −0,5; 2; y = −0,5 при x ≈ 0,5.
Оговорка: значения определены по клеткам рисунка (единица на каждой оси равна четырём клеткам), поэтому ответ приближённый; значение −0,5 достигается вблизи наименьшей точки графика.