Глава III. §6. п.18 Определение степени с натуральным показателем — с. 100
407. Окно в старинном особняке имеет форму прямоугольника, завершающегося полукругом (рис. 72). Составьте формулу для вычисления его площади S (в квадратных сантиметрах), если известно, что основание прямоугольника равно a см, высота прямоугольника в полтора раза больше основания. Найдите площадь окна, если a = 80. (Указание. Площадь круга равна πr², где r — радиус круга, π ≈ 3,14.) [рисунок 72: фотография окна, верхняя часть которого — полукруг]
Высота прямоугольника 1,5a см, площадь прямоугольника a · 1,5a = 1,5a² см².
Диаметр полукруга равен основанию прямоугольника a, поэтому радиус a/2. Площадь полукруга: (1/2) · π · (a/2)² = πa²/8.
Получаем S = 1,5a² + πa²/8.
При a = 80: 1,5 · 6400 = 9600; π · 6400/8 = 800π ≈ 800 · 3,14 = 2512. S ≈ 9600 + 2512 = 12 112 см².
Ответ: S = 1,5a² + πa²/8; ≈ 12 112 см².
Диаметр полукруга равен основанию прямоугольника a, поэтому радиус a/2. Площадь полукруга: (1/2) · π · (a/2)² = πa²/8.
Получаем S = 1,5a² + πa²/8.
При a = 80: 1,5 · 6400 = 9600; π · 6400/8 = 800π ≈ 800 · 3,14 = 2512. S ≈ 9600 + 2512 = 12 112 см².
Ответ: S = 1,5a² + πa²/8; ≈ 12 112 см².
408. Составьте формулу для вычисления площади кольца, изображённого на рисунке 73. Найдите площадь кольца, если R = 6,4 см, r = 3,6 см. [рисунок 73: кольцо между двумя окружностями с общим центром O, внешний радиус R, внутренний радиус r]
Площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов: S = πR² − πr² = π(R² − r²).
При R = 6,4 и r = 3,6: R² − r² = (R − r)(R + r) = 2,8 · 10 = 28. Тогда S = 28π ≈ 28 · 3,14 = 87,92 см².
Ответ: S = π(R² − r²); ≈ 87,92 см².
При R = 6,4 и r = 3,6: R² − r² = (R − r)(R + r) = 2,8 · 10 = 28. Тогда S = 28π ≈ 28 · 3,14 = 87,92 см².
Ответ: S = π(R² − r²); ≈ 87,92 см².
409. (Задача-исследование.) Найдите всевозможные значения a, где a — натуральное число, при которых число 90 является наименьшим общим кратным чисел 15 и a.
1. Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15.
2. Обсудите, какие множители должны входить в разложение числа a.
3. Сделайте вывод о значениях числа a.
1) 90 = 2 · 3² · 5; 15 = 3 · 5.
2) НОК(15, a) = 90. НОК содержит каждый простой множитель в наибольшей из его степеней, встречающихся в разложениях. В 15 нет множителя 2 и множитель 3 только в первой степени, а в 90 есть 2 и 3². Значит, в разложение a обязательно должны входить 2 и 3². Кроме того, a — делитель числа 90, поэтому других простых множителей или больших степеней в a быть не может. Множитель 5 можно включать, а можно не включать (он уже есть в 15).
3) Возможны два варианта: a = 2 · 3² = 18 и a = 2 · 3² · 5 = 90.
Проверка: НОК(15, 18) = 90 и НОК(15, 90) = 90.
Ответ: a = 18 или a = 90.
2) НОК(15, a) = 90. НОК содержит каждый простой множитель в наибольшей из его степеней, встречающихся в разложениях. В 15 нет множителя 2 и множитель 3 только в первой степени, а в 90 есть 2 и 3². Значит, в разложение a обязательно должны входить 2 и 3². Кроме того, a — делитель числа 90, поэтому других простых множителей или больших степеней в a быть не может. Множитель 5 можно включать, а можно не включать (он уже есть в 15).
3) Возможны два варианта: a = 2 · 3² = 18 и a = 2 · 3² · 5 = 90.
Проверка: НОК(15, 18) = 90 и НОК(15, 90) = 90.
Ответ: a = 18 или a = 90.
410. Представьте произведение в виде степени с основанием a: а) a³a; б) a^4a²; в) a³a^6; г) a^20a^12.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.
а) a³ · a¹ = a^4.
б) a^(4+2) = a^6.
в) a^(3+6) = a^9.
г) a^(20+12) = a^32.
а) a³ · a¹ = a^4.
б) a^(4+2) = a^6.
в) a^(3+6) = a^9.
г) a^(20+12) = a^32.
411. Объясните, почему при любых значениях переменной x значения выражений 4x² и (x − 8)² являются неотрицательными числами.
Квадрат любого числа неотрицателен: t² ≥ 0 при любом t.
Выражение (x − 8)² — квадрат числа x − 8, поэтому (x − 8)² ≥ 0 при любом x.
Выражение 4x² — произведение положительного числа 4 и неотрицательного числа x², значит, 4x² ≥ 0 при любом x.
Выражение (x − 8)² — квадрат числа x − 8, поэтому (x − 8)² ≥ 0 при любом x.
Выражение 4x² — произведение положительного числа 4 и неотрицательного числа x², значит, 4x² ≥ 0 при любом x.
412. (Для работы в парах.) Даны выражения: a² + 1, −a^4, 3 + (5 − a)², −a − a³, −a² + 8, 3a + 4, a^4 + a² + 8, −a^6 − 4a^8 − 1, −7a − 4, −a^8 − 9. Какие из этих выражений принимают: а) только положительные значения; б) только отрицательные значения?
1. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2. Проверьте друг у друга, верно ли выполнено задание.
3. Исправьте ошибки, если они допущены.
а) Только положительные значения принимают выражения: a² + 1 (так как a² ≥ 0, то a² + 1 ≥ 1 > 0); 3 + (5 − a)² (так как (5 − a)² ≥ 0, значение не меньше 3); a^4 + a² + 8 (a^4 ≥ 0 и a² ≥ 0, значение не меньше 8).
б) Только отрицательные значения принимают выражения: −a^6 − 4a^8 − 1 (a^6 ≥ 0 и a^8 ≥ 0, значение не больше −1); −a^8 − 9 (значение не больше −9).
Остальные выражения принимают значения разных знаков или нуль: −a^4 при a = 0 равно 0, при a = 1 равно −1; −a − a³ = −a(1 + a²) при a = 1 отрицательно, при a = −1 положительно; −a² + 8 при a = 0 равно 8, при a = 3 равно −1; 3a + 4 и −7a − 4 при разных a меняют знак.
Ответ: а) a² + 1, 3 + (5 − a)², a^4 + a² + 8; б) −a^6 − 4a^8 − 1, −a^8 − 9.
Оговорка: выражение −a^6 − 4a^8 − 1 прочитано по скану именно так.
б) Только отрицательные значения принимают выражения: −a^6 − 4a^8 − 1 (a^6 ≥ 0 и a^8 ≥ 0, значение не больше −1); −a^8 − 9 (значение не больше −9).
Остальные выражения принимают значения разных знаков или нуль: −a^4 при a = 0 равно 0, при a = 1 равно −1; −a − a³ = −a(1 + a²) при a = 1 отрицательно, при a = −1 положительно; −a² + 8 при a = 0 равно 8, при a = 3 равно −1; 3a + 4 и −7a − 4 при разных a меняют знак.
Ответ: а) a² + 1, 3 + (5 − a)², a^4 + a² + 8; б) −a^6 − 4a^8 − 1, −a^8 − 9.
Оговорка: выражение −a^6 − 4a^8 − 1 прочитано по скану именно так.