40. Решение уравнений (упражнения 5.95–5.133) — с. 94
5.119. Докажите, что при любом значении буквы значение выражения: 1) 6(8a − 3) − 8(6a + 5) равно −58; 2) 7(5c + 8) − 5(7c − 8) равно 96.
1) 6(8a − 3) − 8(6a + 5) = 48a − 18 − 48a − 40 = −58; буква сократилась, значение не зависит от a.
2) 7(5c + 8) − 5(7c − 8) = 35c + 56 − 35c + 40 = 96; значение не зависит от c.
2) 7(5c + 8) − 5(7c − 8) = 35c + 56 − 35c + 40 = 96; значение не зависит от c.
5.120. Выполните действия: 1) 45,09 : 1,5 − (2 1/3 · 4 1/2 − 2,5 · 2 1/2) : 4 1/4;
2. (5,05 : 1/40 − 2,8 · 5/7) · 0,3 + 1,6 · 0,1875.
1) 45,09 : 1,5 = 30,06. В скобках: 7/3 · 9/2 = 10,5; 2,5 · 2,5 = 6,25; 10,5 − 6,25 = 4,25. Дальше 4,25 : 4 1/4 = 1. Итого 30,06 − 1 = 29,06.
2) 5,05 : 1/40 = 202; 2,8 · 5/7 = 2; 202 − 2 = 200; 200 · 0,3 = 60; 1,6 · 0,1875 = 0,3. Итого 60 + 0,3 = 60,3.
2) 5,05 : 1/40 = 202; 2,8 · 5/7 = 2; 202 − 2 = 200; 200 · 0,3 = 60; 1,6 · 0,1875 = 0,3. Итого 60 + 0,3 = 60,3.
5.121. Старинная задача. — Скажи мне, учитель, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы? — Вот сколько, — ответил учитель. — Половина изучает математику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть ещё три женщины.
Пусть всего x учеников. Тогда x/2 + x/4 + x/7 + 3 = x.
Части, названные учителем, составляют 1/2 + 1/4 + 1/7 = 25/28, значит, три женщины — это 1 − 25/28 = 3/28 всех учеников.
x = 3 : 3/28 = 28.
Проверка: 14 + 7 + 4 + 3 = 28.
Ответ: 28 учеников.
Части, названные учителем, составляют 1/2 + 1/4 + 1/7 = 25/28, значит, три женщины — это 1 − 25/28 = 3/28 всех учеников.
x = 3 : 3/28 = 28.
Проверка: 14 + 7 + 4 + 3 = 28.
Ответ: 28 учеников.
5.122. Найдите корень уравнения и выполните проверку: а) −30(x − 21) = −180; б) (15 − 9x) · 4 = 204; в) 9/4 x − 5/14 = 1/7; г) (3,6 − 0,2x) · 4,9 = 9,8; д) (7x − 3,4) · 9 = 13,5; е) 1/3 x + 5/6 x = 3,5.
а) x − 21 = 6; x = 27. Проверка: −30 · 6 = −180.
б) 15 − 9x = 51; −9x = 36; x = −4. Проверка: (15 + 36) · 4 = 204.
в) 9/4 x = 1/7 + 5/14 = 1/2; x = 2/9. Проверка: 9/4 · 2/9 = 1/2; 1/2 − 5/14 = 1/7.
г) 3,6 − 0,2x = 2; 0,2x = 1,6; x = 8. Проверка: (3,6 − 1,6) · 4,9 = 9,8.
д) 7x − 3,4 = 1,5; 7x = 4,9; x = 0,7. Проверка: (4,9 − 3,4) · 9 = 13,5.
е) 7/6 x = 3,5; x = 3. Проверка: 1 + 2,5 = 3,5.
б) 15 − 9x = 51; −9x = 36; x = −4. Проверка: (15 + 36) · 4 = 204.
в) 9/4 x = 1/7 + 5/14 = 1/2; x = 2/9. Проверка: 9/4 · 2/9 = 1/2; 1/2 − 5/14 = 1/7.
г) 3,6 − 0,2x = 2; 0,2x = 1,6; x = 8. Проверка: (3,6 − 1,6) · 4,9 = 9,8.
д) 7x − 3,4 = 1,5; 7x = 4,9; x = 0,7. Проверка: (4,9 − 3,4) · 9 = 13,5.
е) 7/6 x = 3,5; x = 3. Проверка: 1 + 2,5 = 3,5.
5.123. Решите уравнение: а) −36x + 660 = −3x; б) 9z = −350 + 4z; в) −8x + 83 = 3x − 49; г) 43 − 7z = 27 − 9z; д) 41 + 23y = 341 + 13y; е) 21x − 34 = 12x − 16.
а) −33x = −660; x = 20.
б) 5z = −350; z = −70.
в) −11x = −132; x = 12.
г) 2z = −16; z = −8.
д) 10y = 300; y = 30.
е) 9x = 18; x = 2.
б) 5z = −350; z = −70.
в) −11x = −132; x = 12.
г) 2z = −16; z = −8.
д) 10y = 300; y = 30.
е) 9x = 18; x = 2.
5.124. Решите уравнение: а) −5(−y + 9) = y + 10; б) m − 17 = (m + 4)(−9); в) 17 − 4(m + 11) = 43; г) −7(4x + 2) − 3 = −17; д) −4,8y + 7,2 = 3(2,4y + 4,8); е) −5(0,6y − 1,8) = −2y + 8,5.
а) 5y − 45 = y + 10; 4y = 55; y = 13,75.
б) m − 17 = −9m − 36; 10m = −19; m = −1,9.
в) 17 − 4m − 44 = 43; −4m = 70; m = −17,5.
г) −28x − 14 − 3 = −17; −28x = 0; x = 0.
д) −4,8y + 7,2 = 7,2y + 14,4; −12y = 7,2; y = −0,6.
е) −3y + 9 = −2y + 8,5; −y = −0,5; y = 0,5.
б) m − 17 = −9m − 36; 10m = −19; m = −1,9.
в) 17 − 4m − 44 = 43; −4m = 70; m = −17,5.
г) −28x − 14 − 3 = −17; −28x = 0; x = 0.
д) −4,8y + 7,2 = 7,2y + 14,4; −12y = 7,2; y = −0,6.
е) −3y + 9 = −2y + 8,5; −y = −0,5; y = 0,5.
5.125. Если от большего числа отнять 38, а к меньшему прибавить 94, то получатся равные результаты. Найдите эти числа, если одно число меньше другого в 6,5 раза.
Пусть меньшее число x, тогда большее 6,5x. 6,5x − 38 = x + 94; 5,5x = 132; x = 24; большее 156.
Проверка: 156 − 38 = 118 и 24 + 94 = 118.
Ответ: 24 и 156.
Проверка: 156 − 38 = 118 и 24 + 94 = 118.
Ответ: 24 и 156.
5.126. Используя рисунок 5.4, найдите, сколько граммов сока выпили Ваня и Света, если они отпили половину сока из банки. Пустая банка в 3 раза легче банки с соком. [Рисунок 5.4: весы в равновесии; на левой чашке две банки с соком и гиря 1 (кг); на правой чашке пустая банка и гири 2 (кг) и 500 (г).]
Пусть полная банка весит F г, тогда пустая F/3 г, а сока в банке F − F/3 = 2F/3 г.
Весы в равновесии: 2F + 1000 = F/3 + 2000 + 500; 5/3 F = 1500; F = 900 г.
Сока в банке 2/3 · 900 = 600 г; половина — 300 г.
Проверка: 1800 + 1000 = 2800 и 300 + 2500 = 2800.
Ответ: 300 г сока.
Оговорка: гири на рисунке прочитаны как 1 кг, 2 кг и 500 г.
Весы в равновесии: 2F + 1000 = F/3 + 2000 + 500; 5/3 F = 1500; F = 900 г.
Сока в банке 2/3 · 900 = 600 г; половина — 300 г.
Проверка: 1800 + 1000 = 2800 и 300 + 2500 = 2800.
Ответ: 300 г сока.
Оговорка: гири на рисунке прочитаны как 1 кг, 2 кг и 500 г.
5.127. Было куплено одинаковое количество научно-познавательных и научно-фантастических книг. Часть научно-познавательных книг отправили в школьную библиотеку. В 1,2 раза меньшее число научно-фантастических книг отдали для вручения победителям викторины. После этого для подарков шестиклассникам научно-познавательных книг осталось 30, а научно-фантастических — 40 книг. Сколько книг было: а) куплено; б) отправлено в школьную библиотеку; в) отдано для вручения победителям викторины?
Пусть куплено по n книг каждого вида. В библиотеку отправили n − 30 познавательных, победителям отдали n − 40 фантастических.
По условию n − 30 = 1,2(n − 40); n − 30 = 1,2n − 48; 0,2n = 18; n = 90.
Библиотеке: 90 − 30 = 60; победителям: 90 − 40 = 50. Проверка: 60 : 50 = 1,2.
Ответ: а) куплено по 90 книг каждого вида (всего 180); б) в библиотеку 60 книг; в) победителям 50 книг.
По условию n − 30 = 1,2(n − 40); n − 30 = 1,2n − 48; 0,2n = 18; n = 90.
Библиотеке: 90 − 30 = 60; победителям: 90 − 40 = 50. Проверка: 60 : 50 = 1,2.
Ответ: а) куплено по 90 книг каждого вида (всего 180); б) в библиотеку 60 книг; в) победителям 50 книг.