40. Решение уравнений (упражнения 5.95–5.133) — с. 92
5.98. Решите уравнение, умножив обе части уравнения на одно и то же число: а) 7/8 x + 4 = 3/4 x + 6; б) 1/3 x + 5/6 x + 3 = 3/4 x − 2; в) 1/3 x + 1/9 x + 10 = x; г) 0,3x + 8,1 = 0,8x − 2,9.
а) Умножим на 8: 7x + 32 = 6x + 48; x = 16.
б) Умножим на 12: 4x + 10x + 36 = 9x − 24; 5x = −60; x = −12.
в) Умножим на 9: 3x + x + 90 = 9x; 5x = 90; x = 18.
г) Умножим на 10: 3x + 81 = 8x − 29; 5x = 110; x = 22.
б) Умножим на 12: 4x + 10x + 36 = 9x − 24; 5x = −60; x = −12.
в) Умножим на 9: 3x + x + 90 = 9x; 5x = 90; x = 18.
г) Умножим на 10: 3x + 81 = 8x − 29; 5x = 110; x = 22.
5.99. Найдите корень уравнения и выполните проверку: а) −50 · (−9x + 3) = −15 000; б) (−30x − 60) · 2 = 120; в) −4 · (3 − 21x) = −12; г) 3,1 · (15 − 5y) = −93.
а) −9x + 3 = 300; −9x = 297; x = −33. Проверка: −50 · (297 + 3) = −15 000.
б) −30x − 60 = 60; −30x = 120; x = −4. Проверка: (120 − 60) · 2 = 120.
в) 3 − 21x = 3; x = 0. Проверка: −4 · 3 = −12.
г) 15 − 5y = −30; −5y = −45; y = 9. Проверка: 3,1 · (15 − 45) = 3,1 · (−30) = −93.
б) −30x − 60 = 60; −30x = 120; x = −4. Проверка: (120 − 60) · 2 = 120.
в) 3 − 21x = 3; x = 0. Проверка: −4 · 3 = −12.
г) 15 − 5y = −30; −5y = −45; y = 9. Проверка: 3,1 · (15 − 45) = 3,1 · (−30) = −93.
5.100. Решите уравнение: а) 0,7x + 4 = 0,3x; б) −0,2x − 18 = 0,7x; в) 2x − 3 1/3 = 5/6 x + 2 1/2; г) 8,3 − 8n = −6n − 31,7; д) 3/4 x − 1 1/4 = 1 3/8 x + 12,5; е) 5,5 − 7z = 5,8 − 10z; ж) 4,6x = 7,2x; з) −23x = 17x; и) 17x + 34 = 0.
а) 0,4x = −4; x = −10.
б) −0,9x = 18; x = −20.
в) (2 − 5/6)x = 2 1/2 + 3 1/3; 7/6 x = 35/6; x = 5.
г) 8,3 + 31,7 = 8n − 6n; 40 = 2n; n = 20.
д) (3/4 − 11/8)x = 12,5 + 1 1/4; −5/8 x = 13,75; x = −22.
е) −7z + 10z = 5,8 − 5,5; 3z = 0,3; z = 0,1.
ж) −2,6x = 0; x = 0.
з) 40x = 0; x = 0.
и) 17x = −34; x = −2.
б) −0,9x = 18; x = −20.
в) (2 − 5/6)x = 2 1/2 + 3 1/3; 7/6 x = 35/6; x = 5.
г) 8,3 + 31,7 = 8n − 6n; 40 = 2n; n = 20.
д) (3/4 − 11/8)x = 12,5 + 1 1/4; −5/8 x = 13,75; x = −22.
е) −7z + 10z = 5,8 − 5,5; 3z = 0,3; z = 0,1.
ж) −2,6x = 0; x = 0.
з) 40x = 0; x = 0.
и) 17x = −34; x = −2.
5.101. Найдите x из пропорции: а) (x − 4)/8 = 7/4; б) 5/(3x + 2) = 2,5/27,5; в) (x + 6)/4 = (2x − 15)/7; г) 0,3/(x + 5) = 0,8/(x − 9).
Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
а) 4(x − 4) = 56; x − 4 = 14; x = 18.
б) 2,5(3x + 2) = 5 · 27,5; 3x + 2 = 55; 3x = 53; x = 17 2/3.
в) 7(x + 6) = 4(2x − 15); 7x + 42 = 8x − 60; x = 102.
г) 0,3(x − 9) = 0,8(x + 5); 0,3x − 2,7 = 0,8x + 4; −0,5x = 6,7; x = −13,4.
а) 4(x − 4) = 56; x − 4 = 14; x = 18.
б) 2,5(3x + 2) = 5 · 27,5; 3x + 2 = 55; 3x = 53; x = 17 2/3.
в) 7(x + 6) = 4(2x − 15); 7x + 42 = 8x − 60; x = 102.
г) 0,3(x − 9) = 0,8(x + 5); 0,3x − 2,7 = 0,8x + 4; −0,5x = 6,7; x = −13,4.
5.102. В первом составе на железнодорожной станции было в 3 раза больше вагонов, чем во втором. Чтобы вагонов в составах стало поровну, от первого состава отцепили 17 вагонов и прицепили их ко второму составу. Сколько вагонов было в каждом составе?
Пусть во втором составе x вагонов, тогда в первом 3x.
3x − 17 = x + 17; 2x = 34; x = 17.
Во втором 17 вагонов, в первом 51. Проверка: 51 − 17 = 34 и 17 + 17 = 34.
Ответ: 51 и 17 вагонов.
3x − 17 = x + 17; 2x = 34; x = 17.
Во втором 17 вагонов, в первом 51. Проверка: 51 − 17 = 34 и 17 + 17 = 34.
Ответ: 51 и 17 вагонов.
5.103. На футбол в первой кассе продали 96 билетов, а во вторую привезли ещё 24 билета, и в обеих кассах билетов стало поровну. Сколько билетов было в каждой кассе первоначально, если в первой кассе билетов было в 3 раза больше, чем во второй?
Пусть во второй кассе было x билетов, тогда в первой 3x.
3x − 96 = x + 24; 2x = 120; x = 60.
Во второй 60 билетов, в первой 180. Проверка: 180 − 96 = 84 и 60 + 24 = 84.
Ответ: 180 и 60 билетов.
3x − 96 = x + 24; 2x = 120; x = 60.
Во второй 60 билетов, в первой 180. Проверка: 180 − 96 = 84 и 60 + 24 = 84.
Ответ: 180 и 60 билетов.
5.104. Семья ехала от дома до дачи 1 ч 30 мин. Если бы скорость машины была больше на 10 км/ч, то поездка заняла бы 1 ч 15 мин. Чему равна скорость машины и расстояние до дачи?
Пусть скорость машины v км/ч. Расстояние одно и то же: 1,5v = 1,25(v + 10).
1,5v = 1,25v + 12,5; 0,25v = 12,5; v = 50.
Расстояние 50 · 1,5 = 75 км. Проверка: 60 · 1,25 = 75.
Ответ: 50 км/ч и 75 км.
1,5v = 1,25v + 12,5; 0,25v = 12,5; v = 50.
Расстояние 50 · 1,5 = 75 км. Проверка: 60 · 1,25 = 75.
Ответ: 50 км/ч и 75 км.
5.105. На одной полке в 1,5 раза больше книг, чем на другой. Со второй полки переставили на первую 5 книг, и на второй стало в 2 раза меньше книг, чем на первой. Сколько книг было на каждой полке первоначально?
Пусть на второй полке было x книг, тогда на первой 1,5x. После перестановки на второй x − 5, на первой 1,5x + 5.
2(x − 5) = 1,5x + 5; 0,5x = 15; x = 30.
Первоначально на второй полке 30 книг, на первой 45. Проверка: 25 · 2 = 50 = 45 + 5.
Оговорка: «одна полка» понята как первая (та, на которую переставляли книги); при другом чтении ответ нецелый.
Ответ: 45 и 30 книг.
2(x − 5) = 1,5x + 5; 0,5x = 15; x = 30.
Первоначально на второй полке 30 книг, на первой 45. Проверка: 25 · 2 = 50 = 45 + 5.
Оговорка: «одна полка» понята как первая (та, на которую переставляли книги); при другом чтении ответ нецелый.
Ответ: 45 и 30 книг.
5.106. Туристы отправились в трёхдневный поход. В первый день они прошли 5/11 всего пути, во второй день — 2/3 оставшегося пути, а в третий день — последние 10 км. Найдите длину туристического маршрута.
После первого дня осталось 1 − 5/11 = 6/11 пути. Во второй день прошли 2/3 · 6/11 = 4/11 пути. На третий день остались 6/11 − 4/11 = 2/11 пути, это 10 км.
Весь путь: 10 : 2/11 = 55 км.
Ответ: 55 км.
Весь путь: 10 : 2/11 = 55 км.
Ответ: 55 км.
5.107. Краску перелили из бочки в 3 бидона. В первый бидон вошло 3/10 всей краски, во второй — 1/2 всей краски. Сколько краски было в бочке, если в третьем бидоне — на 6 л меньше краски, чем в первом?
В третий бидон вошло 1 − 3/10 − 1/2 = 1/5 краски. Разность между первым и третьим: 3/10 − 1/5 = 1/10 всей краски — это 6 л.
Всего: 6 : 1/10 = 60 л. Проверка: 18 л, 30 л, 12 л; 18 − 12 = 6.
Ответ: 60 л.
Всего: 6 : 1/10 = 60 л. Проверка: 18 л, 30 л, 12 л; 18 − 12 = 6.
Ответ: 60 л.