39. Подобные слагаемые (упражнения 5.57–5.94) — с. 87
5.64. Вычислите значение выражения: а) 3y − 3b + 7y − 5b + 7b при y = −0,24, b = 0,04; б) −6,3m + 8 − 3,2m − 5 при m = −2; m = −1/8; m = −0,4.
а) Упрощаем: 10y − b = 10 · (−0,24) − 0,04 = −2,4 − 0,04 = −2,44.
б) Упрощаем: −9,5m + 3.
При m = −2: 19 + 3 = 22.
При m = −1/8: 1,1875 + 3 = 4 3/16.
При m = −0,4: 3,8 + 3 = 6,8.
б) Упрощаем: −9,5m + 3.
При m = −2: 19 + 3 = 22.
При m = −1/8: 1,1875 + 3 = 4 3/16.
При m = −0,4: 3,8 + 3 = 6,8.
5.65. Решите уравнение: а) 7(3x + 6) − (20x + 4) = 0; б) −6(4x − 3) + (7 − 6x) = 0; в) −5(3y + 3) + 2(7y − 6) = 0; г) 6(5 − 4x) + 5(5x + 5) = 9.
а) 21x + 42 − 20x − 4 = 0; x + 38 = 0; x = −38.
б) −24x + 18 + 7 − 6x = 0; −30x = −25; x = 5/6.
в) −15y − 15 + 14y − 12 = 0; −y − 27 = 0; y = −27.
г) 30 − 24x + 25x + 25 = 9; x + 55 = 9; x = −46.
б) −24x + 18 + 7 − 6x = 0; −30x = −25; x = 5/6.
в) −15y − 15 + 14y − 12 = 0; −y − 27 = 0; y = −27.
г) 30 − 24x + 25x + 25 = 9; x + 55 = 9; x = −46.
5.66. Две бригады работали на уборке урожая картофеля. Первая бригада собрала картофель с 5 га, а вторая — с 6 га. При этом вторая бригада собирала с каждого гектара на 4 т меньше, чем первая. Сколько тонн с гектара собирала каждая бригада, если обе бригады вместе собрали 240 т картофеля?
Пусть первая бригада собирала x т с гектара, тогда вторая — (x − 4) т.
5x + 6(x − 4) = 240; 11x = 264; x = 24.
Вторая: 24 − 4 = 20. Проверка: 5 · 24 + 6 · 20 = 120 + 120 = 240.
Ответ: 24 т с гектара и 20 т с гектара.
5x + 6(x − 4) = 240; 11x = 264; x = 24.
Вторая: 24 − 4 = 20. Проверка: 5 · 24 + 6 · 20 = 120 + 120 = 240.
Ответ: 24 т с гектара и 20 т с гектара.
5.67. От пристани отошёл первый теплоход, который двигался со скоростью 22 км/ч. Через 2 ч ему навстречу от другой пристани отчалил второй теплоход, скорость которого 26 км/ч. Через какое время после выхода первого теплохода они встретятся, если расстояние между пристанями 204 км?
За 2 ч первый теплоход прошёл 22 · 2 = 44 км, между теплоходами осталось 204 − 44 = 160 км.
Скорость сближения 22 + 26 = 48 км/ч; до встречи после выхода второго пройдёт 160 : 48 = 10/3 ч = 3 1/3 ч.
От выхода первого теплохода: 2 + 3 1/3 = 5 1/3 ч.
Ответ: через 5 1/3 ч (5 ч 20 мин).
Скорость сближения 22 + 26 = 48 км/ч; до встречи после выхода второго пройдёт 160 : 48 = 10/3 ч = 3 1/3 ч.
От выхода первого теплохода: 2 + 3 1/3 = 5 1/3 ч.
Ответ: через 5 1/3 ч (5 ч 20 мин).
5.68. Вычислите. [Цепочки: а) −2,8 − 3,2; : 1,2; · 1,6; + 8,5; б) 1,4 − 8,2; : 3,4; · 0,5; + 0,8; в) 0,8 − 7; − 1,9; : 3; · 0,2; г) −10 + 1,8; : 0,41; + 5,4; · 0,5.]
Действия выполняются последовательно сверху вниз.
а) −6; −5; −8; 0,5. Ответ 0,5.
б) −6,8; −2; −1; −0,2. Ответ −0,2.
в) −6,2; −8,1; −2,7; −0,54. Ответ −0,54.
г) −8,2; −20; −14,6; −7,3. Ответ −7,3.
а) −6; −5; −8; 0,5. Ответ 0,5.
б) −6,8; −2; −1; −0,2. Ответ −0,2.
в) −6,2; −8,1; −2,7; −0,54. Ответ −0,54.
г) −8,2; −20; −14,6; −7,3. Ответ −7,3.
5.69. а) Найдите сумму сотни слагаемых, равных −1. б) Найдите произведение сотни множителей, равных −1.
а) (−1) · 100 = −100.
б) Чётное число отрицательных множителей даёт положительное произведение: (−1)¹⁰⁰ = 1.
б) Чётное число отрицательных множителей даёт положительное произведение: (−1)¹⁰⁰ = 1.
5.70. Вычислите значение выражения 1 − 3 + 5 − 7 + 9 − 11 + … + 97 − 99.
Слагаемые — нечётные числа от 1 до 99, их 50. Объединим в 25 пар: (1 − 3) + (5 − 7) + … + (97 − 99); каждая пара равна −2.
Сумма: 25 · (−2) = −50.
Сумма: 25 · (−2) = −50.
5.71. Найдите корень уравнения: а) y + 7 = 0; б) x + 4 = x − 3; в) a + a + a + a = 4a; г) (x − 5)(x + 6) = 0.
а) y = −7.
б) x + 4 = x − 3 приводит к 4 = −3, что неверно: корней нет.
в) a + a + a + a = 4a при любом a: корень — любое число.
г) Произведение равно нулю, когда один из множителей нуль: x = 5 или x = −6.
б) x + 4 = x − 3 приводит к 4 = −3, что неверно: корней нет.
в) a + a + a + a = 4a при любом a: корень — любое число.
г) Произведение равно нулю, когда один из множителей нуль: x = 5 или x = −6.
5.72. Найдите произведение: а) 0,25 · 5/7 · 4 · 1/5; б) 4,5 · 14 · 1/9 · 1/7; в) 2,2 · 1 4/9 · 5 · 9/11; г) 7/8 · 1 2/4 · 1 1/7 · 4.
Переставляем множители удобным образом.
а) (0,25 · 4) · (5/7 · 1/5) = 1 · 1/7 = 1/7.
б) (4,5 · 1/9) · (14 · 1/7) = 0,5 · 2 = 1.
в) (2,2 · 5) · 13/9 · 9/11 = 11 · 13/9 · 9/11 = 13.
г) (7/8 · 8/7) · 3/2 · 4 = 6.
а) (0,25 · 4) · (5/7 · 1/5) = 1 · 1/7 = 1/7.
б) (4,5 · 1/9) · (14 · 1/7) = 0,5 · 2 = 1.
в) (2,2 · 5) · 13/9 · 9/11 = 11 · 13/9 · 9/11 = 13.
г) (7/8 · 8/7) · 3/2 · 4 = 6.
5.73. Запишите коэффициент выражения: а) −5m; б) 4/7 nm; в) ab; г) −cd; д) −a · (−c); е) −4/7 a · 7/8 b; ж) 0,25b · 4a; з) −4x · (−0,3y).
а) −5.
б) 4/7.
в) 1.
г) −1.
д) −a · (−c) = ac; коэффициент 1.
е) −4/7 · 7/8 = −1/2; коэффициент −1/2.
ж) 0,25 · 4 = 1; коэффициент 1.
з) −4 · (−0,3) = 1,2; коэффициент 1,2.
б) 4/7.
в) 1.
г) −1.
д) −a · (−c) = ac; коэффициент 1.
е) −4/7 · 7/8 = −1/2; коэффициент −1/2.
ж) 0,25 · 4 = 1; коэффициент 1.
з) −4 · (−0,3) = 1,2; коэффициент 1,2.
5.74. Какому промежутку не принадлежит число −1,78: [−3; −1], (−1,79; 1), (−1,79; −1,78], [−12,3; −1,78)?
Число −1,78 лежит в [−3; −1] (−3 < −1,78 < −1), в (−1,79; 1) (−1,79 < −1,78 < 1) и в (−1,79; −1,78] (правый конец включён).
В промежутке [−12,3; −1,78) правый конец −1,78 не входит (скобка круглая).
Ответ: [−12,3; −1,78).
В промежутке [−12,3; −1,78) правый конец −1,78 не входит (скобка круглая).
Ответ: [−12,3; −1,78).
5.75. Расстояние между Москвой и Владимиром 180 км. Найдите масштаб карты, у которой это расстояние имеет длину 3,2 см.
180 км = 18 000 000 см. Масштаб: 3,2 : 18 000 000 = 1 : 5 625 000 (18 000 000 : 3,2 = 5 625 000).
Ответ: 1 : 5 625 000.
Ответ: 1 : 5 625 000.
5.76. Масштаб карты равен 1 : 10 000. Чему равна длина отрезка на карте, изображающего расстояние 41 км?
41 км = 4 100 000 см; 4 100 000 : 10 000 = 410 см.
Ответ: 410 см = 4,1 м.
Ответ: 410 см = 4,1 м.
5.77. Масштаб карты равен 1 : 10 000 000. Чему равно расстояние от Новосибирска до Красноярска, если на карте оно равно 6,3 см?
6,3 · 10 000 000 = 63 000 000 см = 630 км.
Ответ: 630 км.
Ответ: 630 км.