38. Коэффициент (упражнения 5.33–5.56) — с. 83
5.39. Выполните вычисления по схеме справа. [Рисунок: а) в центре «· x»; стрелки входят в центр от чисел −6; 1/3; 3; −1/2; 1 и выходят к числам 2; 0; −1; −1/6; 1/2. б) в центре «+ x»; стрелки входят от чисел 1/2; −1/2; 0; −2 1/4; −3/4 и выходят к числам −1/2; −1; 2; 1/4; 0,5.]
Схема показывает действие с числом x в центре: к числам, от которых стрелки идут в центр, применяется действие (в а) умножение на x, в б) сложение с x), а на концах исходящих стрелок стоят результаты.
Оговорка: так же, как в упражнении 5.16, по скану не удаётся однозначно сопоставить входящие и исходящие числа (в а) среди результатов есть 0, а среди исходных чисел нуля нет), поэтому единственное числовое значение x здесь установить нельзя. Для проверки: в а) x = (результат) : (число), в б) x = (результат) − (число); для правильно подобранных пар получается одно и то же x.
Оговорка: так же, как в упражнении 5.16, по скану не удаётся однозначно сопоставить входящие и исходящие числа (в а) среди результатов есть 0, а среди исходных чисел нуля нет), поэтому единственное числовое значение x здесь установить нельзя. Для проверки: в а) x = (результат) : (число), в б) x = (результат) − (число); для правильно подобранных пар получается одно и то же x.
5.40. Каким числом: положительным, отрицательным или нулём — будет сумма чисел m и n при: а) m > 0, n > 0; б) m < 0, n < 0; в) m = 0, n = 0; г) m = 0, n < 0; д) m < 0, n = 0; е) m > 0, n < 0?
а) Положительным (сумма положительных).
б) Отрицательным (сумма отрицательных).
в) Нулём.
г) Отрицательным (0 + n = n < 0).
д) Отрицательным (m + 0 = m < 0).
е) Заранее сказать нельзя: знак суммы совпадает со знаком слагаемого с большим модулем; при |m| > |n| сумма положительна, при |m| < |n| отрицательна, при |m| = |n| равна нулю. Например, 5 + (−3) = 2, 3 + (−5) = −2, 4 + (−4) = 0.
б) Отрицательным (сумма отрицательных).
в) Нулём.
г) Отрицательным (0 + n = n < 0).
д) Отрицательным (m + 0 = m < 0).
е) Заранее сказать нельзя: знак суммы совпадает со знаком слагаемого с большим модулем; при |m| > |n| сумма положительна, при |m| < |n| отрицательна, при |m| = |n| равна нулю. Например, 5 + (−3) = 2, 3 + (−5) = −2, 4 + (−4) = 0.
5.41. Какой знак имеет произведение mn (рис. 5.1)? [Рисунок 5.1: четыре числовые прямые. а) расположены слева направо m, 0, n. б) m, −4, −2, n. в) n, 1, 3, m. г) −4, n, m, 4.]
Определяем знаки чисел по их положению относительно нуля.
а) m < 0 (слева от 0), n > 0: произведение отрицательно, mn < 0.
б) m < −4, значит, m < 0; n стоит правее −2, но левее нуля (его место близко к −1), значит, n < 0. Произведение положительно, mn > 0.
в) n стоит левее 1, и ближе к нулю, чем к 1, но с левой стороны от нуля, n < 0; m > 3, m > 0. Произведение отрицательно, mn < 0.
г) −4 < n < m < 4: по рисунку n левее середины между −4 и 4 (n < 0), а m правее (m > 0). Произведение отрицательно, mn < 0.
Оговорка: знаки n в б), в), г) определены по положению точек на рисунке относительно нуля (нуль на рисунке не отмечен).
а) m < 0 (слева от 0), n > 0: произведение отрицательно, mn < 0.
б) m < −4, значит, m < 0; n стоит правее −2, но левее нуля (его место близко к −1), значит, n < 0. Произведение положительно, mn > 0.
в) n стоит левее 1, и ближе к нулю, чем к 1, но с левой стороны от нуля, n < 0; m > 3, m > 0. Произведение отрицательно, mn < 0.
г) −4 < n < m < 4: по рисунку n левее середины между −4 и 4 (n < 0), а m правее (m > 0). Произведение отрицательно, mn < 0.
Оговорка: знаки n в б), в), г) определены по положению точек на рисунке относительно нуля (нуль на рисунке не отмечен).
5.42. Вычислите произведение целых чисел: а) которые меньше −2, но больше −5; б) которые меньше 17, но больше −5; в) модуль которых меньше 85; г) модуль которых больше 4 и меньше 7,8.
а) Целые числа: −4 и −3. Произведение (−4) · (−3) = 12.
б) Целые числа от −4 до 16; среди них есть 0, значит, произведение равно 0.
в) Целые числа от −84 до 84; среди них есть 0, произведение равно 0.
г) Модуль 5, 6 или 7, то есть числа −7, −6, −5, 5, 6, 7. Произведение: (−5)(−6)(−7) · 5 · 6 · 7 = −210 · 210 = −44 100.
б) Целые числа от −4 до 16; среди них есть 0, значит, произведение равно 0.
в) Целые числа от −84 до 84; среди них есть 0, произведение равно 0.
г) Модуль 5, 6 или 7, то есть числа −7, −6, −5, 5, 6, 7. Произведение: (−5)(−6)(−7) · 5 · 6 · 7 = −210 · 210 = −44 100.
5.43. Найдите целые решения неравенства: а) |z| > 3; б) |z − 2| > 6; в) |z| < 5; г) |z| < 7,3; д) |z| > 4 1/5. Выпишите из них наименьшее целое положительное и наибольшее целое отрицательное решения неравенства.
а) |z| > 3: z ≥ 4 или z ≤ −4. Наименьшее целое положительное 4; наибольшее целое отрицательное −4.
б) |z − 2| > 6: z − 2 > 6 или z − 2 < −6, то есть z > 8 или z < −4. Наименьшее целое положительное 9; наибольшее целое отрицательное −5.
в) |z| < 5: −4 ≤ z ≤ 4. Наименьшее целое положительное 1; наибольшее целое отрицательное −1.
г) |z| < 7,3: −7 ≤ z ≤ 7. Наименьшее целое положительное 1; наибольшее целое отрицательное −1.
д) |z| > 4 1/5: z ≥ 5 или z ≤ −5. Наименьшее целое положительное 5; наибольшее целое отрицательное −5.
б) |z − 2| > 6: z − 2 > 6 или z − 2 < −6, то есть z > 8 или z < −4. Наименьшее целое положительное 9; наибольшее целое отрицательное −5.
в) |z| < 5: −4 ≤ z ≤ 4. Наименьшее целое положительное 1; наибольшее целое отрицательное −1.
г) |z| < 7,3: −7 ≤ z ≤ 7. Наименьшее целое положительное 1; наибольшее целое отрицательное −1.
д) |z| > 4 1/5: z ≥ 5 или z ≤ −5. Наименьшее целое положительное 5; наибольшее целое отрицательное −5.
5.44. Выполните действия: а) −1 + 9/11; б) 5/7 − 3; в) −3 − 2,75; г) 1 − 11/17; д) −3 − 2/5; е) −6 − 4 4/9; ж) (7,8 − 4) − (7,8 + 9); з) (5/7 − 2,4) − (−3,6 + 5/7).
а) −11/11 + 9/11 = −2/11.
б) 5/7 − 21/7 = −16/7 = −2 2/7.
в) −5,75.
г) 17/17 − 11/17 = 6/17.
д) −3 2/5.
е) −10 4/9.
ж) 7,8 − 4 − 7,8 − 9 = −13.
з) 5/7 − 2,4 + 3,6 − 5/7 = 1,2.
б) 5/7 − 21/7 = −16/7 = −2 2/7.
в) −5,75.
г) 17/17 − 11/17 = 6/17.
д) −3 2/5.
е) −10 4/9.
ж) 7,8 − 4 − 7,8 − 9 = −13.
з) 5/7 − 2,4 + 3,6 − 5/7 = 1,2.
5.45. Найдите значение выражения: а) (n + s + y) − (n + y − 21,4) при s = −18,6; б) −(a + n) + (z + a) − (z − 0,26) при n = −4,26.
а) Раскрываем скобки: n + s + y − n − y + 21,4 = s + 21,4 = −18,6 + 21,4 = 2,8.
б) −a − n + z + a − z + 0,26 = −n + 0,26 = 4,26 + 0,26 = 4,52.
б) −a − n + z + a − z + 0,26 = −n + 0,26 = 4,26 + 0,26 = 4,52.
5.46. а) Изобразите на координатной прямой промежутки, которые задаются условиями 7 ≤ x ≤ 11, 7 < x < 11, 7 < x ≤ 11, 7 ≤ x < 11. Как ещё можно обозначить эти промежутки? б) Какие целые числа принадлежат промежуткам [−5; 1], (−11,7; −9], [12,3; 14), (−0,5; 1)?
Запишите наибольшее целое число, принадлежащее каждому из промежутков.
а) Закрашенная точка означает, что число входит в промежуток, пустая — не входит (рисунок). Обозначения промежутков: [7; 11], (7; 11), (7; 11], [7; 11).
б) [−5; 1]: −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1; наибольшее 1.
(−11,7; −9]: −11, −10, −9; наибольшее −9.
[12,3; 14): 13; наибольшее 13.
(−0,5; 1): 0; наибольшее 0.
б) [−5; 1]: −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1; наибольшее 1.
(−11,7; −9]: −11, −10, −9; наибольшее −9.
[12,3; 14): 13; наибольшее 13.
(−0,5; 1): 0; наибольшее 0.