37. Раскрытие скобок (упражнения 5.1–5.32) — с. 80
5.20. Какой знак неравенства надо поставить вместо знака вопроса, чтобы выражение a · c ? 0 было верным при: а) a > 0, c > 0; б) a > 0, c < 0; в) a < 0, c < 0; г) a > 0, c = 0; д) a = 0, c < 0; е) a = 0, c = 0?
а) Произведение положительных чисел положительно: a · c > 0.
б) Числа разных знаков: a · c < 0.
в) Числа одного знака (оба отрицательны): a · c > 0.
г) c = 0: a · c = 0.
д) a = 0: a · c = 0.
е) a · c = 0.
В пунктах г), д), е) вместо знака вопроса ставим знак равенства «=».
б) Числа разных знаков: a · c < 0.
в) Числа одного знака (оба отрицательны): a · c > 0.
г) c = 0: a · c = 0.
д) a = 0: a · c = 0.
е) a · c = 0.
В пунктах г), д), е) вместо знака вопроса ставим знак равенства «=».
5.21. Решите с помощью графа задачу: «У Коли, Пети, Миши и Володи мячи разных цветов (красный, синий, белый, голубой). На вопрос «У кого какой мяч?» три мальчика ответили:
1. «У Миши синий мяч, у Володи белый»;
2. «У Миши красный мяч, у Пети синий»;
3. «У Коли синий мяч, у Володи голубой». В каждом ответе только одна часть правда. Какого цвета мяч у каждого мальчика?»
Рассуждаем так. Пусть в ответе 1) верно «Миша — синий»; тогда в 2) неверно «Миша — красный», значит, верно «Петя — синий», но синий мяч уже у Миши — противоречие. Значит, в ответе 1) верно «Володя — белый» (а Миша не синий).
Тогда в 3) неверно «Володя — голубой», значит, верно «Коля — синий». Тогда Петя не синий, поэтому в 2) верна первая часть: «Миша — красный». Остаётся голубой мяч — он у Пети.
Ответ: у Коли синий мяч, у Пети голубой, у Миши красный, у Володи белый. Проверка: в каждом ответе верна ровно одна часть.
Тогда в 3) неверно «Володя — голубой», значит, верно «Коля — синий». Тогда Петя не синий, поэтому в 2) верна первая часть: «Миша — красный». Остаётся голубой мяч — он у Пети.
Ответ: у Коли синий мяч, у Пети голубой, у Миши красный, у Володи белый. Проверка: в каждом ответе верна ровно одна часть.
5.22. Вычислите наиболее удобным способом: а) 48 − 9 + 23 − 48 + 9 − 23; б) 5/6 + 0,7 − 5/6 + 0,3; в) −4/5 · 9/11 · 1 1/4; г) −7/8 · (−4,8) · 1 1/7 · (−10); д) 4/9 · 7/8 + 4/9 · (−1/8); е) (1/3 + 5/8) · (−24).
а) Противоположные числа сокращаются: 0.
б) 5/6 и −5/6 сокращаются; 0,7 + 0,3 = 1.
в) −4/5 · 5/4 = −1; −1 · 9/11 = −9/11.
г) −7/8 · 8/7 = −1 (1 1/7 = 8/7); −1 · (−4,8) · (−10) = −48.
д) 4/9 · (7/8 − 1/8) = 4/9 · 3/4 = 1/3.
е) 1/3 · (−24) + 5/8 · (−24) = −8 − 15 = −23.
б) 5/6 и −5/6 сокращаются; 0,7 + 0,3 = 1.
в) −4/5 · 5/4 = −1; −1 · 9/11 = −9/11.
г) −7/8 · 8/7 = −1 (1 1/7 = 8/7); −1 · (−4,8) · (−10) = −48.
д) 4/9 · (7/8 − 1/8) = 4/9 · 3/4 = 1/3.
е) 1/3 · (−24) + 5/8 · (−24) = −8 − 15 = −23.
5.23. Представьте в виде: а) десятичных дробей числа: 2/5; 4 1/2; 3/4; 5 7/20; 1 5/8; б) обыкновенных дробей числа: 2,4; 4,5; 0,25; 2,55; 6,625.
а) 2/5 = 0,4; 4 1/2 = 4,5; 3/4 = 0,75; 5 7/20 = 5,35; 1 5/8 = 1,625.
б) 2,4 = 2 4/10 = 2 2/5 = 12/5; 4,5 = 4 1/2 = 9/2; 0,25 = 1/4; 2,55 = 2 11/20 = 51/20; 6,625 = 6 5/8 = 53/8.
б) 2,4 = 2 4/10 = 2 2/5 = 12/5; 4,5 = 4 1/2 = 9/2; 0,25 = 1/4; 2,55 = 2 11/20 = 51/20; 6,625 = 6 5/8 = 53/8.
5.24. Найдите x из пропорции: 1) 2,5x : 14 = 1/7 : 30; 2) 36 : 35 = 1/5 x : 1/12.
1) Произведение крайних членов равно произведению средних: 2,5x · 30 = 14 · 1/7 = 2; 75x = 2; x = 2/75.
2) 36 · 1/12 = 35 · 1/5 x; 3 = 7x; x = 3/7.
2) 36 · 1/12 = 35 · 1/5 x; 3 = 7x; x = 3/7.
5.25. Решите уравнение:
1. (13,4 − y) · 4,3 − 20,05 = 78,05 + 6,7y;
2. (16,2 − x) · 3,2 − 50,08 = −8,12 − 5,1x.
1) Раскрываем скобки: 57,62 − 4,3y − 20,05 = 78,05 + 6,7y; 37,57 − 4,3y = 78,05 + 6,7y; −11y = 40,48; y = −3,68.
2) 51,84 − 3,2x − 50,08 = −8,12 − 5,1x; 1,76 − 3,2x = −8,12 − 5,1x; 1,9x = −9,88; x = −5,2.
Проверка (2): (16,2 + 5,2) · 3,2 − 50,08 = 68,48 − 50,08 = 18,4; −8,12 + 26,52 = 18,4.
2) 51,84 − 3,2x − 50,08 = −8,12 − 5,1x; 1,76 − 3,2x = −8,12 − 5,1x; 1,9x = −9,88; x = −5,2.
Проверка (2): (16,2 + 5,2) · 3,2 − 50,08 = 68,48 − 50,08 = 18,4; −8,12 + 26,52 = 18,4.
5.26. Раскройте скобки и вычислите: а) 7,646 − (6,9 − 2,054); б) 4,17 + (9,182 − 4,17); в) 4/9 + (1/9 − 2/3); г) (3 5/8 + 2 2/13) − (2 7/8 + 1 2/13); д) −(3,69 − 6 2/13) − (1,31 − 8 11/13); е) −(5/8 + 2,43) − (−5,93 − 1/4).
а) 7,646 − 6,9 + 2,054 = 9,7 − 6,9 = 2,8.
б) 4,17 + 9,182 − 4,17 = 9,182.
в) 4/9 + 1/9 − 2/3 = 5/9 − 6/9 = −1/9.
г) 3 5/8 + 2 2/13 − 2 7/8 − 1 2/13 = (3 5/8 − 2 7/8) + (2 2/13 − 1 2/13) = 6/8 + 1 = 1 3/4.
д) −3,69 + 6 2/13 − 1,31 + 8 11/13 = −5 + 15 = 10.
е) −5/8 − 2,43 + 5,93 + 1/4 = 3,5 − 3/8 = 3 1/8.
б) 4,17 + 9,182 − 4,17 = 9,182.
в) 4/9 + 1/9 − 2/3 = 5/9 − 6/9 = −1/9.
г) 3 5/8 + 2 2/13 − 2 7/8 − 1 2/13 = (3 5/8 − 2 7/8) + (2 2/13 − 1 2/13) = 6/8 + 1 = 1 3/4.
д) −3,69 + 6 2/13 − 1,31 + 8 11/13 = −5 + 15 = 10.
е) −5/8 − 2,43 + 5,93 + 1/4 = 3,5 − 3/8 = 3 1/8.
5.27. Запишите в виде алгебраической суммы: а) 0,4 − (a − 5,5); б) n − (17,3 + n); в) 4,8 − (a − 11,3); г) 10 − (9 5/6 − z); д) x − (y + x); е) (a − c) − (a + c).
а) 0,4 − a + 5,5 = 5,9 − a.
б) n − 17,3 − n = −17,3.
в) 4,8 − a + 11,3 = 16,1 − a.
г) 10 − 9 5/6 + z = 1/6 + z.
д) x − y − x = −y.
е) a − c − a − c = −2c.
б) n − 17,3 − n = −17,3.
в) 4,8 − a + 11,3 = 16,1 − a.
г) 10 − 9 5/6 + z = 1/6 + z.
д) x − y − x = −y.
е) a − c − a − c = −2c.
5.28. Найдите корень уравнения: а) 7,2 − (z − 6,1) = 6,3; б) −2,9 + (y − 5,3) = −3,4; в) 4,4 − (a − 5,6) = 100; г) −8/9 − (n − 1) = 7/18; д) 1 5/9 − (s + 4/9) = 2/3; е) −5 4/7 + (−5/14 + z) = 3 1/7.
а) 7,2 − z + 6,1 = 6,3; 13,3 − z = 6,3; z = 7.
б) −2,9 + y − 5,3 = −3,4; y − 8,2 = −3,4; y = 4,8.
в) 4,4 − a + 5,6 = 100; 10 − a = 100; a = −90.
г) −8/9 − n + 1 = 7/18; 1/9 − n = 7/18; n = 2/18 − 7/18 = −5/18.
д) 1 5/9 − s − 4/9 = 2/3; 1 1/9 − s = 2/3; s = 1 1/9 − 2/3 = 4/9.
е) −5 4/7 − 5/14 + z = 3 1/7; z = 3 1/7 + 5 4/7 + 5/14 = 8 5/7 + 5/14 = 9 1/14.
б) −2,9 + y − 5,3 = −3,4; y − 8,2 = −3,4; y = 4,8.
в) 4,4 − a + 5,6 = 100; 10 − a = 100; a = −90.
г) −8/9 − n + 1 = 7/18; 1/9 − n = 7/18; n = 2/18 − 7/18 = −5/18.
д) 1 5/9 − s − 4/9 = 2/3; 1 1/9 − s = 2/3; s = 1 1/9 − 2/3 = 4/9.
е) −5 4/7 − 5/14 + z = 3 1/7; z = 3 1/7 + 5 4/7 + 5/14 = 8 5/7 + 5/14 = 9 1/14.
5.29. Вычислите значение выражения: а) 4 2/15 − 3 3/10 − 2 1/6; б) 7 5/21 − 14 1/7 + 6 1/14; в) 24 2/35 − 18 5/14 − 5 3/10; г) 1 2/9 + 2 5/6 − 35 1/5.
а) (4 − 3 − 2) + (2/15 − 3/10 − 1/6) = −1 + (4/30 − 9/30 − 5/30) = −1 − 1/3 = −1 1/3.
б) (7 − 14 + 6) + (5/21 − 1/7 + 1/14) = −1 + (10/42 − 6/42 + 3/42) = −1 + 7/42 = −5/6.
в) (24 − 18 − 5) + (2/35 − 5/14 − 3/10) = 1 + (4/70 − 25/70 − 21/70) = 1 − 42/70 = 2/5.
г) (1 + 2 − 35) + (2/9 + 5/6 − 1/5) = −32 + (20/90 + 75/90 − 18/90) = −32 + 77/90 = −31 13/90.
б) (7 − 14 + 6) + (5/21 − 1/7 + 1/14) = −1 + (10/42 − 6/42 + 3/42) = −1 + 7/42 = −5/6.
в) (24 − 18 − 5) + (2/35 − 5/14 − 3/10) = 1 + (4/70 − 25/70 − 21/70) = 1 − 42/70 = 2/5.
г) (1 + 2 − 35) + (2/9 + 5/6 − 1/5) = −32 + (20/90 + 75/90 − 18/90) = −32 + 77/90 = −31 13/90.