37. Раскрытие скобок (упражнения 5.1–5.32) — с. 79
5.11. Запишите разность выражений и упростите её: а) −14 + c и c + 70,8; б) 2,6 − a и −a + 7 2/5; в) x + a и c + x; г) −a + b и b − a; д) −x − a и x + a; е) n − c и −c + n − b.
Из первого выражения вычитаем второе.
а) (−14 + c) − (c + 70,8) = −14 + c − c − 70,8 = −84,8.
б) (2,6 − a) − (−a + 7 2/5) = 2,6 − a + a − 7,4 = −4,8.
в) (x + a) − (c + x) = x + a − c − x = a − c.
г) (−a + b) − (b − a) = −a + b − b + a = 0.
д) (−x − a) − (x + a) = −x − a − x − a = −2x − 2a.
е) (n − c) − (−c + n − b) = n − c + c − n + b = b.
а) (−14 + c) − (c + 70,8) = −14 + c − c − 70,8 = −84,8.
б) (2,6 − a) − (−a + 7 2/5) = 2,6 − a + a − 7,4 = −4,8.
в) (x + a) − (c + x) = x + a − c − x = a − c.
г) (−a + b) − (b − a) = −a + b − b + a = 0.
д) (−x − a) − (x + a) = −x − a − x − a = −2x − 2a.
е) (n − c) − (−c + n − b) = n − c + c − n + b = b.
5.12. Раскройте скобки и решите уравнение: а) 9,8 − (7,8 − x) = 7,3; б) −9 + (c − 31) = −6; в) 39/44 − (5/44 − x) = 7/11; г) (z + 5) − 21 = −30; д) −(20 − c) + 41,2 = −23,8; е) (y + 10/15) − 4/15 = 1,9.
а) 9,8 − 7,8 + x = 7,3; 2 + x = 7,3; x = 5,3.
б) −9 + c − 31 = −6; c − 40 = −6; c = 34.
в) 39/44 − 5/44 + x = 7/11; 34/44 + x = 28/44; x = −6/44 = −3/22.
г) z + 5 − 21 = −30; z − 16 = −30; z = −14.
д) −20 + c + 41,2 = −23,8; c + 21,2 = −23,8; c = −45.
е) y + 10/15 − 4/15 = 1,9; y + 6/15 = 1,9; y = 1,9 − 0,4 = 1,5.
Проверка (а): 9,8 − (7,8 − 5,3) = 9,8 − 2,5 = 7,3.
б) −9 + c − 31 = −6; c − 40 = −6; c = 34.
в) 39/44 − 5/44 + x = 7/11; 34/44 + x = 28/44; x = −6/44 = −3/22.
г) z + 5 − 21 = −30; z − 16 = −30; z = −14.
д) −20 + c + 41,2 = −23,8; c + 21,2 = −23,8; c = −45.
е) y + 10/15 − 4/15 = 1,9; y + 6/15 = 1,9; y = 1,9 − 0,4 = 1,5.
Проверка (а): 9,8 − (7,8 − 5,3) = 9,8 − 2,5 = 7,3.
5.13. Решите, составив уравнение, задачу. а) В первом букете 17 цветков, а во втором 23. Из первого букета взяли несколько цветков, а из второго — столько, сколько осталось в первом. После этого во втором букете осталось 9 цветков. Сколько цветков взяли из первого букета? б) Площадь первого поля 15 га, второго на 2 га больше, чем третьего. Чему равна площадь второго поля, если общая площадь трёх полей 55 га?
а) Пусть из первого букета взяли x цветков, в нём осталось 17 − x. Из второго взяли столько же, сколько осталось в первом, то есть 17 − x. В нём осталось 23 − (17 − x) = 9. Раскрываем скобки: 23 − 17 + x = 9; 6 + x = 9; x = 3.
Из первого букета взяли 3 цветка. Проверка: в первом осталось 14, из второго взяли 14, осталось 23 − 14 = 9.
б) Пусть площадь третьего поля t га, тогда второго t + 2. 15 + (t + 2) + t = 55; 2t + 17 = 55; 2t = 38; t = 19. Площадь второго поля 19 + 2 = 21 га. Проверка: 15 + 21 + 19 = 55.
Из первого букета взяли 3 цветка. Проверка: в первом осталось 14, из второго взяли 14, осталось 23 − 14 = 9.
б) Пусть площадь третьего поля t га, тогда второго t + 2. 15 + (t + 2) + t = 55; 2t + 17 = 55; 2t = 38; t = 19. Площадь второго поля 19 + 2 = 21 га. Проверка: 15 + 21 + 19 = 55.
5.14. Найдите значение суммы: а) −6 2/6 + 4 5/9; б) 2 4/15 − 3 11/20; в) −2 2/15 − 4 7/10; г) −8 5/6 + 7/10.
а) −6 1/3 + 4 5/9 = −(6 3/9 − 4 5/9) = −1 7/9.
б) 2 16/60 − 3 33/60 = −(3 33/60 − 2 16/60) = −1 17/60.
в) −(2 4/30 + 4 21/30) = −6 25/30 = −6 5/6.
г) −8 25/30 + 21/30 = −(8 25/30 − 21/30) = −8 4/30 = −8 2/15.
б) 2 16/60 − 3 33/60 = −(3 33/60 − 2 16/60) = −1 17/60.
в) −(2 4/30 + 4 21/30) = −6 25/30 = −6 5/6.
г) −8 25/30 + 21/30 = −(8 25/30 − 21/30) = −8 4/30 = −8 2/15.
5.15. Найдите значение выражения: а) 2 3/6 + 3 5/9 − 6 3/12; б) 4 1/4 − 3 2/3 − 2 7/8; в) 4 1/6 − 9 4/9 + 3 7/12; г) 7 1/5 − 4 2/15 − 9 2/3.
Раскрываем смешанные числа как суммы целой и дробной частей, складываем отдельно целые и дробные части.
а) (2 + 3 − 6) + (1/2 + 5/9 − 1/4) = −1 + (18/36 + 20/36 − 9/36) = −1 + 29/36 = −7/36.
б) (4 − 3 − 2) + (1/4 − 2/3 − 7/8) = −1 + (6/24 − 16/24 − 21/24) = −1 − 31/24 = −2 7/24.
в) (4 − 9 + 3) + (1/6 − 4/9 + 7/12) = −2 + (6/36 − 16/36 + 21/36) = −2 + 11/36 = −1 25/36.
г) (7 − 4 − 9) + (1/5 − 2/15 − 2/3) = −6 + (3/15 − 2/15 − 10/15) = −6 − 9/15 = −6 3/5.
а) (2 + 3 − 6) + (1/2 + 5/9 − 1/4) = −1 + (18/36 + 20/36 − 9/36) = −1 + 29/36 = −7/36.
б) (4 − 3 − 2) + (1/4 − 2/3 − 7/8) = −1 + (6/24 − 16/24 − 21/24) = −1 − 31/24 = −2 7/24.
в) (4 − 9 + 3) + (1/6 − 4/9 + 7/12) = −2 + (6/36 − 16/36 + 21/36) = −2 + 11/36 = −1 25/36.
г) (7 − 4 − 9) + (1/5 − 2/15 − 2/3) = −6 + (3/15 − 2/15 − 10/15) = −6 − 9/15 = −6 3/5.
5.16. Вычислите x на схеме справа. [Рисунок: а) в центре «· x»; стрелки входят в центр от чисел 1; −1/2; 1/2; −2; 2/3 и выходят из центра к числам −1/3; −3; −1 1/2; 0; −1. б) в центре «: x»; стрелки входят от чисел −3; 6; −2/3; −1; 1/2 и выходят к числам 2; −1/2; −6; 1/6; 1/3.]
Схема показывает действие с числом x: числа, от которых стрелки идут к центру, умножаются на x (в б) делятся на x), а на концах исходящих стрелок стоят результаты.
Оговорка: на скане по расположению кружков и стрелок не удаётся однозначно определить, какое число с каким связано (в а) среди результатов есть 0, а среди исходных чисел нуля нет), поэтому однозначное значение x здесь установить нельзя. Для проверки используйте правило: x = (результат) : (число) в а) и x = (число) : (результат) в б), взяв пару, указанную в вашем издании; значение x должно получаться одним и тем же для всех пар.
Оговорка: на скане по расположению кружков и стрелок не удаётся однозначно определить, какое число с каким связано (в а) среди результатов есть 0, а среди исходных чисел нуля нет), поэтому однозначное значение x здесь установить нельзя. Для проверки используйте правило: x = (результат) : (число) в а) и x = (число) : (результат) в б), взяв пару, указанную в вашем издании; значение x должно получаться одним и тем же для всех пар.
5.17. При каком значении x получим наибольшее значение выражения: а) 236 − x при x = 79; x = −27; x = 0,23; x = −6 3/7; б) −60x при x = 0,5; x = −0,6; x = 9; x = −3 1/4; в) x : (−0,5) при x = 27,5; x = −4,5; x = −2 1/2; x = 9?
а) Чем меньше x, тем больше 236 − x. Наименьшее x = −27: 236 − (−27) = 263 (для сравнения: при x = −6 3/7 получится 242 3/7, при x = 0,23 — 235,77, при x = 79 — 157). Наибольшее значение при x = −27.
б) −60x тем больше, чем меньше x. Наименьшее x = −3 1/4: −60 · (−3 1/4) = 195 (при x = −0,6 получится 36, при x = 0,5 — −30, при x = 9 — −540). Наибольшее значение при x = −3 1/4.
в) x : (−0,5) = −2x; наибольшее при наименьшем x: x = −4,5 даёт 9 (при x = −2 1/2 получим 5, при x = 9 — −18, при x = 27,5 — −55). Наибольшее значение при x = −4,5.
б) −60x тем больше, чем меньше x. Наименьшее x = −3 1/4: −60 · (−3 1/4) = 195 (при x = −0,6 получится 36, при x = 0,5 — −30, при x = 9 — −540). Наибольшее значение при x = −3 1/4.
в) x : (−0,5) = −2x; наибольшее при наименьшем x: x = −4,5 даёт 9 (при x = −2 1/2 получим 5, при x = 9 — −18, при x = 27,5 — −55). Наибольшее значение при x = −4,5.
5.18. Запишите пять последовательных целых чисел, если: а) меньшее из них равно −235; б) меньшее из них равно a; в) большее из них равно 1; г) большее из них равно n.
Последовательные целые числа отличаются на 1.
а) −235; −234; −233; −232; −231.
б) a; a + 1; a + 2; a + 3; a + 4.
в) −3; −2; −1; 0; 1.
г) n − 4; n − 3; n − 2; n − 1; n.
а) −235; −234; −233; −232; −231.
б) a; a + 1; a + 2; a + 3; a + 4.
в) −3; −2; −1; 0; 1.
г) n − 4; n − 3; n − 2; n − 1; n.
5.19. Вычислите координаты середины A отрезка MN, если: а) M(−7) и N(9); б) M(−4) и N(3); в) M(−5,5) и N(2 1/2); г) M(−7) и N(−1 1/5).
Координата середины отрезка равна полусумме координат концов.
а) (−7 + 9) : 2 = 1.
б) (−4 + 3) : 2 = −0,5.
в) (−5,5 + 2,5) : 2 = −3 : 2 = −1,5.
г) (−7 − 1,2) : 2 = −8,2 : 2 = −4,1.
а) (−7 + 9) : 2 = 1.
б) (−4 + 3) : 2 = −0,5.
в) (−5,5 + 2,5) : 2 = −3 : 2 = −1,5.
г) (−7 − 1,2) : 2 = −8,2 : 2 = −4,1.