36. Свойства действий с рациональными числами (упражнения 4.365–4.399) — с. 71
4.392. Вычислите наиболее удобным способом: а) −36 + (−20) + (−14) + 12 + 28; б) 43 + 15 + 92 − 43 − 15 − 92; в) −9,6 − 7,8 + 5,3 − 4,8 + 2,5; г) −5,4 + 7,9 + 3,2 + 5,4 − 3,2; д) 7 4/11 − 5 1/9 − 8 10/11 + 2 1/3 − 4 2/9 + 3 6/11; е) 5 2/22 − 8 3/11 − 7 4/13 + 8 3/11 + 7 4/13 − 5 1/22.
Группируем положительные и отрицательные слагаемые, противоположные числа сокращаем.
а) (12 + 28) − (36 + 20 + 14) = 40 − 70 = −30.
б) Числа попарно противоположны: 0.
в) (5,3 + 2,5) − (9,6 + 7,8 + 4,8) = 7,8 − 22,2 = −14,4.
г) −5,4 и 5,4, 3,2 и −3,2 сокращаются; остаётся 7,9.
д) Дроби с знаменателем 11: 7 4/11 − 8 10/11 + 3 6/11 = 2; с знаменателем 9 и 3: 2 1/3 − 5 1/9 − 4 2/9 = 2 3/9 − 9 3/9 = −7. Итого 2 − 7 = −5.
е) −8 3/11 и 8 3/11, −7 4/13 и 7 4/13 сокращаются; 5 2/22 − 5 1/22 = 1/22.
а) (12 + 28) − (36 + 20 + 14) = 40 − 70 = −30.
б) Числа попарно противоположны: 0.
в) (5,3 + 2,5) − (9,6 + 7,8 + 4,8) = 7,8 − 22,2 = −14,4.
г) −5,4 и 5,4, 3,2 и −3,2 сокращаются; остаётся 7,9.
д) Дроби с знаменателем 11: 7 4/11 − 8 10/11 + 3 6/11 = 2; с знаменателем 9 и 3: 2 1/3 − 5 1/9 − 4 2/9 = 2 3/9 − 9 3/9 = −7. Итого 2 − 7 = −5.
е) −8 3/11 и 8 3/11, −7 4/13 и 7 4/13 сокращаются; 5 2/22 − 5 1/22 = 1/22.
4.393. Упростите выражение: а) −45 + a + 31; б) a + 51 − 28; в) 4,9 − 8,9 + c; г) −0,33 + z − 0,55; д) 7/8 − 0,875 + x; е) p + 5/8 − 3/4.
а) a − 14.
б) a + 23.
в) c − 4.
г) z − 0,88.
д) 7/8 = 0,875, поэтому остаётся x.
е) p + 5/8 − 6/8 = p − 1/8.
б) a + 23.
в) c − 4.
г) z − 0,88.
д) 7/8 = 0,875, поэтому остаётся x.
е) p + 5/8 − 6/8 = p − 1/8.
4.394. Выполните действия: а) −5 · (−1,4) · (−9); б) −12,5 · 4,8 · (−2) · (−4); в) −4/9 · 4/9 · 2 1/4 · (−3/4); г) −0,3 · (−3/7) · 3,5 · 10.
а) −5 · (−1,4) = 7; 7 · (−9) = −63.
б) −12,5 · 4,8 = −60; (−2) · (−4) = 8; −60 · 8 = −480.
в) −4/9 · 4/9 = −16/81; −16/81 · 9/4 = −4/9; −4/9 · (−3/4) = 1/3.
г) −0,3 · (−3/7) = 9/70; 9/70 · 3,5 = 0,45; 0,45 · 10 = 4,5.
б) −12,5 · 4,8 = −60; (−2) · (−4) = 8; −60 · 8 = −480.
в) −4/9 · 4/9 = −16/81; −16/81 · 9/4 = −4/9; −4/9 · (−3/4) = 1/3.
г) −0,3 · (−3/7) = 9/70; 9/70 · 3,5 = 0,45; 0,45 · 10 = 4,5.
4.395. Найдите значение выражения: а) 0,9 · (−0,4) − 0,7 · (−0,4); б) −4/13 · 0,6 − 0,6 · (−9/13); в) −8/11 · 5/6 + 5/6 · 3/11; г) 1 2/3 · 2,8 − 2 2/9 · (−6,2); д) (4/7 − 3/5) · 35; е) (−1 1/3 − 1 1/9) · 18.
а) Выносим −0,4: −0,4 · (0,9 − 0,7) = −0,4 · 0,2 = −0,08.
б) 0,6 · (−4/13 + 9/13) = 0,6 · 5/13 = 3/13.
в) 5/6 · (−8/11 + 3/11) = 5/6 · (−5/11) = −25/66.
г) 5/3 · 2,8 = 14/3; −20/9 · (−6,2) = 124/9; 14/3 + 124/9 = 42/9 + 124/9 = 166/9 = 18 4/9.
д) 4/7 · 35 − 3/5 · 35 = 20 − 21 = −1.
е) (−4/3 − 10/9) · 18 = −24 − 20 = −44.
б) 0,6 · (−4/13 + 9/13) = 0,6 · 5/13 = 3/13.
в) 5/6 · (−8/11 + 3/11) = 5/6 · (−5/11) = −25/66.
г) 5/3 · 2,8 = 14/3; −20/9 · (−6,2) = 124/9; 14/3 + 124/9 = 42/9 + 124/9 = 166/9 = 18 4/9.
д) 4/7 · 35 − 3/5 · 35 = 20 − 21 = −1.
е) (−4/3 − 10/9) · 18 = −24 − 20 = −44.
4.396. Строители газопровода планировали проложить 25 км труб, а проложили 30,5 км труб. На сколько процентов строители газопровода выполнили план и на сколько процентов его перевыполнили?
30,5 : 25 = 1,22 = 122 %. План выполнен на 122 %, то есть перевыполнен на 122 % − 100 % = 22 %.
4.397. Автобус отправился от автовокзала, расположенного в центре города, в посёлок. Длина его маршрута составила 120 км. Из них 6 км он двигался по городу, 24 км — по грунтовой дороге, а остальное расстояние — по шоссе. Расход бензина на каждые 100 км составляет: по городу — 42 л, по грунтовой дороге — 5/6 от расхода по городу, а по шоссе — на 20 % меньше, чем по грунтовой дороге. Сколько литров бензина израсходовал автобус на путь туда и обратно?
По шоссе автобус ехал 120 − 6 − 24 = 90 км.
Расход на 100 км: город 42 л; грунтовая дорога 42 · 5/6 = 35 л; шоссе 35 · 0,8 = 28 л.
На путь в одну сторону: город 42 · 0,06 = 2,52 л; грунтовая дорога 35 · 0,24 = 8,4 л; шоссе 28 · 0,9 = 25,2 л. Всего 2,52 + 8,4 + 25,2 = 36,12 л.
Туда и обратно: 2 · 36,12 = 72,24 л.
Расход на 100 км: город 42 л; грунтовая дорога 42 · 5/6 = 35 л; шоссе 35 · 0,8 = 28 л.
На путь в одну сторону: город 42 · 0,06 = 2,52 л; грунтовая дорога 35 · 0,24 = 8,4 л; шоссе 28 · 0,9 = 25,2 л. Всего 2,52 + 8,4 + 25,2 = 36,12 л.
Туда и обратно: 2 · 36,12 = 72,24 л.
4.398. Когда Ярослав вышел с самокатом из дома, он увидел впереди друга Андрея, который тоже шёл в школу. Через 3 мин Ярослав догнал друга. С какой скоростью шёл Андрей, если скорость передвижения Ярослава была 8 км/ч и первоначальное расстояние между мальчиками равнялось 100 м?
Скорость сближения: 100 м за 3 мин = 0,1 км за 0,05 ч, то есть 0,1 : 0,05 = 2 км/ч. Это разность скоростей, значит, Андрей шёл со скоростью 8 − 2 = 6 км/ч.
Проверка: (8 − 6) · 0,05 = 0,1 км = 100 м.
Проверка: (8 − 6) · 0,05 = 0,1 км = 100 м.
4.399. Вычислите: а) −15,5 · (−5,4 + 248,4 : 6,9); б) −17,5 · (−9,4 + 151,2 : 5,4); в) −11,136 : 3,2 − 0,3 · 1,2; г) −1,4 · 0,9 − 16,523 : 4,1.
а) 248,4 : 6,9 = 36; −5,4 + 36 = 30,6; −15,5 · 30,6 = −474,3.
б) 151,2 : 5,4 = 28; −9,4 + 28 = 18,6; −17,5 · 18,6 = −325,5.
в) −11,136 : 3,2 = −3,48; 0,3 · 1,2 = 0,36; −3,48 − 0,36 = −3,84.
г) −1,4 · 0,9 = −1,26; 16,523 : 4,1 = 4,03; −1,26 − 4,03 = −5,29.
б) 151,2 : 5,4 = 28; −9,4 + 28 = 18,6; −17,5 · 18,6 = −325,5.
в) −11,136 : 3,2 = −3,48; 0,3 · 1,2 = 0,36; −3,48 − 0,36 = −3,84.
г) −1,4 · 0,9 = −1,26; 16,523 : 4,1 = 4,03; −1,26 − 4,03 = −5,29.