36. Свойства действий с рациональными числами (упражнения 4.365–4.399) — с. 69
4.375. Какой знак у произведения: а) 5 · (−21) · (−17) · (−15) · (−22) · (−38) · 70 · 60; б) −4 · (−5) · (−7) · (−2,2) · 15 · (−4,3) · (−3,1)?
Считаем отрицательные множители.
а) Отрицательных множителей пять (−21, −17, −15, −22, −38) — нечётное число, знак «−».
б) Отрицательных множителей шесть (−4, −5, −7, −2,2, −4,3, −3,1) — чётное число, знак «+».
а) Отрицательных множителей пять (−21, −17, −15, −22, −38) — нечётное число, знак «−».
б) Отрицательных множителей шесть (−4, −5, −7, −2,2, −4,3, −3,1) — чётное число, знак «+».
4.376. Вспомните, когда произведение равно нулю, и решите уравнение: а) 6 · (x − 7) = 0; б) −11 · (5,4 + x) = 0; в) 2,9 · (36 − x) = 0; г) (2x − 8) · 4,7 = 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Числовые множители (6; −11; 2,9; 4,7) не равны нулю, значит, нулю равна скобка.
а) x − 7 = 0; x = 7.
б) 5,4 + x = 0; x = −5,4.
в) 36 − x = 0; x = 36.
г) 2x − 8 = 0; x = 4.
а) x − 7 = 0; x = 7.
б) 5,4 + x = 0; x = −5,4.
в) 36 − x = 0; x = 36.
г) 2x − 8 = 0; x = 4.
4.377. Найдите корень уравнения: а) (z − 5) · (z − 7) = 0; б) (z + 2) · (z + 9) = 0; в) (2z + 6)(z − 4) = 0; г) (−z − 2)(14 − 7z) = 0.
Каждый множитель приравниваем к нулю.
а) z = 5 или z = 7.
б) z = −2 или z = −9.
в) 2z + 6 = 0, z = −3; z − 4 = 0, z = 4.
г) −z − 2 = 0, z = −2; 14 − 7z = 0, z = 2.
Уравнения имеют по два корня.
а) z = 5 или z = 7.
б) z = −2 или z = −9.
в) 2z + 6 = 0, z = −3; z − 4 = 0, z = 4.
г) −z − 2 = 0, z = −2; 14 − 7z = 0, z = 2.
Уравнения имеют по два корня.
4.378. С помощью букв m, n и k запишите распределительное свойство умножения относительно сложения. Подставьте значения букв. а) m = 0,4, n = −0,6, k = −0,5; б) m = −4/11, n = −5/11, k = −1 2/9. Проверьте получившиеся равенства.
Распределительное свойство: m · (n + k) = m · n + m · k.
а) 0,4 · (−0,6 + (−0,5)) = 0,4 · (−1,1) = −0,44; 0,4 · (−0,6) + 0,4 · (−0,5) = −0,24 − 0,2 = −0,44. Равенство верно.
б) k = −11/9. Левая часть: −4/11 · (−5/11 − 11/9) = −4/11 · (−166/99) = 664/1089. Правая часть: (−4/11) · (−5/11) + (−4/11) · (−11/9) = 20/121 + 4/9 = 180/1089 + 484/1089 = 664/1089. Равенство верно.
а) 0,4 · (−0,6 + (−0,5)) = 0,4 · (−1,1) = −0,44; 0,4 · (−0,6) + 0,4 · (−0,5) = −0,24 − 0,2 = −0,44. Равенство верно.
б) k = −11/9. Левая часть: −4/11 · (−5/11 − 11/9) = −4/11 · (−166/99) = 664/1089. Правая часть: (−4/11) · (−5/11) + (−4/11) · (−11/9) = 20/121 + 4/9 = 180/1089 + 484/1089 = 664/1089. Равенство верно.
4.379. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом: а) 0,2 · (−0,8) − (−0,9) · (−0,8); б) 9 · (−1/11) + 13 · (−1/11); в) −7/13 · 0,7 + 0,6 · (−7/13); г) (−1/5 − 9/7) · (−70).
а) 0,2 · (−0,8) = −0,16; (−0,9) · (−0,8) = 0,72; −0,16 − 0,72 = −0,88. (Удобнее вынести −0,8: −0,8 · (0,2 + 0,9) = −0,8 · 1,1 = −0,88.)
б) −1/11 · (9 + 13) = −22/11 = −2.
в) −7/13 · (0,7 + 0,6) = −7/13 · 1,3 = −0,7.
г) −1/5 · (−70) = 14; −9/7 · (−70) = 90; 14 + 90 = 104.
б) −1/11 · (9 + 13) = −22/11 = −2.
в) −7/13 · (0,7 + 0,6) = −7/13 · 1,3 = −0,7.
г) −1/5 · (−70) = 14; −9/7 · (−70) = 90; 14 + 90 = 104.
4.380. Выполните вычисления по схеме справа. [Рисунок: а) центр «· 1/2»; числа: −2; 8/11; −2/7; −8; 2 2/7; −4; 1,2; −2/5. б) центр «: 3/4»; числа: 8; −2 2/5; −3; −1/2; 5/12; −6; 1/4; −1 1/3.]
Действие в центре применяем к каждому числу.
а) Умножаем на 1/2: −2 → −1; 8/11 → 4/11; −2/7 → −1/7; −8 → −4; 2 2/7 → 8/7 = 1 1/7; −4 → −2; 1,2 → 0,6; −2/5 → −1/5.
б) Делим на 3/4 (умножаем на 4/3): 8 → 32/3 = 10 2/3; −2 2/5 → −16/5 = −3,2; −3 → −4; −1/2 → −2/3; 5/12 → 5/9; −6 → −8; 1/4 → 1/3; −1 1/3 → −16/9 = −1 7/9.
а) Умножаем на 1/2: −2 → −1; 8/11 → 4/11; −2/7 → −1/7; −8 → −4; 2 2/7 → 8/7 = 1 1/7; −4 → −2; 1,2 → 0,6; −2/5 → −1/5.
б) Делим на 3/4 (умножаем на 4/3): 8 → 32/3 = 10 2/3; −2 2/5 → −16/5 = −3,2; −3 → −4; −1/2 → −2/3; 5/12 → 5/9; −6 → −8; 1/4 → 1/3; −1 1/3 → −16/9 = −1 7/9.
4.381. Вычислите сумму всех целых чисел между числами: а) −9 и 6; б) −19 и 15; в) −28 и 20; г) −6,5 и 13,5.
Между числами — значит, концы не включаем. Противоположные числа дают в сумме нуль.
а) Числа от −8 до 5: пары −5…5 сокращаются, остаётся −8 − 7 − 6 = −21.
б) Числа от −18 до 14: сокращается от −14 до 14, остаётся −18 − 17 − 16 − 15 = −66.
в) Числа от −27 до 19: остаётся −27 − 26 − 25 − 24 − 23 − 22 − 21 − 20 = −188.
г) Числа от −6 до 13: остаётся 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 70.
а) Числа от −8 до 5: пары −5…5 сокращаются, остаётся −8 − 7 − 6 = −21.
б) Числа от −18 до 14: сокращается от −14 до 14, остаётся −18 − 17 − 16 − 15 = −66.
в) Числа от −27 до 19: остаётся −27 − 26 − 25 − 24 − 23 − 22 − 21 − 20 = −188.
г) Числа от −6 до 13: остаётся 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 70.
4.382. Назовите корни уравнения: а) |m| = 0; б) |z| = 4,8; в) |n| = −15 1/3.
а) m = 0.
б) z = 4,8 или z = −4,8.
в) Корней нет: модуль числа не может быть отрицательным.
б) z = 4,8 или z = −4,8.
в) Корней нет: модуль числа не может быть отрицательным.
4.383. Назовите значения a и c, при которых верны равенства или неравенства: а) a/c = 1; б) a/c = 0; в) a/c = −1; г) c/a = 0; д) a/c > 0; е) c/a < 0; ж) a/c > 1; з) c/a < 1.
Знаменатель не равен нулю.
а) a = c, c ≠ 0.
б) a = 0, c ≠ 0.
в) a = −c, c ≠ 0 (числа противоположны).
г) c = 0, a ≠ 0.
д) a и c одного знака (оба положительны или оба отрицательны).
е) c и a разных знаков.
ж) a и c одного знака и |a| > |c| (например, a = 6, c = 3 или a = −6, c = −3).
з) Если a > 0, то c < a; если a < 0, то c > a (при a ≠ 0). Например, c/a < 1 верно при a = 5, c = 2 и при a = −2, c = 3.
а) a = c, c ≠ 0.
б) a = 0, c ≠ 0.
в) a = −c, c ≠ 0 (числа противоположны).
г) c = 0, a ≠ 0.
д) a и c одного знака (оба положительны или оба отрицательны).
е) c и a разных знаков.
ж) a и c одного знака и |a| > |c| (например, a = 6, c = 3 или a = −6, c = −3).
з) Если a > 0, то c < a; если a < 0, то c > a (при a ≠ 0). Например, c/a < 1 верно при a = 5, c = 2 и при a = −2, c = 3.
4.384. Выполните действия: а) 3 − 1/15 · 3; б) (4 − 1 1/7) · 7; в) 0,25 · (−8); г) 9 : (−0,3); д) 2 − 2 1/9; е) −1 : 2/9; ж) 1/6 − 4 1/3; з) 0,125 − 1/4.
а) 3 − 1/5 = 2 4/5.
б) 2 6/7 · 7 = 20.
в) −2.
г) −30.
д) −1/9.
е) −9/2 = −4,5.
ж) 1/6 − 26/6 = −25/6 = −4 1/6.
з) 0,125 − 0,25 = −0,125 = −1/8.
б) 2 6/7 · 7 = 20.
в) −2.
г) −30.
д) −1/9.
е) −9/2 = −4,5.
ж) 1/6 − 26/6 = −25/6 = −4 1/6.
з) 0,125 − 0,25 = −0,125 = −1/8.
4.385. Сравните: а) 3³ и 4²; б) (−3)³ и (−4)²; в) (−1)³ и (−1)².
а) 3³ = 27, 4² = 16; 27 > 16.
б) (−3)³ = −27, (−4)² = 16; −27 < 16.
в) (−1)³ = −1, (−1)² = 1; −1 < 1.
Оговорка: показатели на скане мелкие, прочитаны как 3 и 2.
б) (−3)³ = −27, (−4)² = 16; −27 < 16.
в) (−1)³ = −1, (−1)² = 1; −1 < 1.
Оговорка: показатели на скане мелкие, прочитаны как 3 и 2.
4.386. При каком n значение выражения наибольшее: а) −|n|; б) 3 − |n|; в) −|n − 1|; г) −|n − 3|; д) −(n − 1)²?
Модуль и квадрат не бывают отрицательными, поэтому выражение со знаком «−» наибольшее, когда |…| (или квадрат) равен нулю.
а) n = 0, наибольшее значение 0.
б) n = 0, наибольшее значение 3.
в) n − 1 = 0, n = 1, наибольшее значение 0.
г) n − 3 = 0, n = 3, наибольшее значение 0.
д) n = 1, наибольшее значение 0.
а) n = 0, наибольшее значение 0.
б) n = 0, наибольшее значение 3.
в) n − 1 = 0, n = 1, наибольшее значение 0.
г) n − 3 = 0, n = 3, наибольшее значение 0.
д) n = 1, наибольшее значение 0.