36. Свойства действий с рациональными числами (упражнения 4.365–4.399) — с. 68
4.367. Вычислите значение алгебраической суммы: а) −23 + 72 + 37 − 21 − 36 + 51; б) 3,26 − 4,34 − 4,01 + 6,28 + 1,36 − 5,55; в) 3 1/3 + 5 1/6 − 2 5/8 − 7 1/4 − 1 1/8; г) 0,7 − 7/12 − 1/6 + 0,5 − 1/4 + 0,3. Какие свойства рациональных чисел вы использовали?
Складываем отдельно положительные и отдельно отрицательные слагаемые.
а) Положительные: 72 + 37 + 51 = 160; отрицательные: −23 − 21 − 36 = −80; сумма 80.
б) Положительные: 3,26 + 6,28 + 1,36 = 10,9; отрицательные: −4,34 − 4,01 − 5,55 = −13,9; сумма −3.
в) 3 1/3 + 5 1/6 = 8 1/2; 2 5/8 + 7 1/4 + 1 1/8 = 11; 8 1/2 − 11 = −2 1/2.
г) 0,7 + 0,5 + 0,3 = 1,5; 7/12 + 2/12 + 3/12 = 1; 1,5 − 1 = 1/2.
Использованы переместительное и сочетательное свойства сложения.
а) Положительные: 72 + 37 + 51 = 160; отрицательные: −23 − 21 − 36 = −80; сумма 80.
б) Положительные: 3,26 + 6,28 + 1,36 = 10,9; отрицательные: −4,34 − 4,01 − 5,55 = −13,9; сумма −3.
в) 3 1/3 + 5 1/6 = 8 1/2; 2 5/8 + 7 1/4 + 1 1/8 = 11; 8 1/2 − 11 = −2 1/2.
г) 0,7 + 0,5 + 0,3 = 1,5; 7/12 + 2/12 + 3/12 = 1; 1,5 − 1 = 1/2.
Использованы переместительное и сочетательное свойства сложения.
4.368. Вычислите, используя свойство противоположных чисел: а) 256 − 121 − 236 − 256 + 121; б) −4,42 + 4,3 − 4,8 + 4,42 − 4,3; в) 4 5/7 + 3 3/8 − 4 1/8 − 4 5/7 − 3 3/8; г) 0,2 + 3 2/5 − 6,6 − 3,4 − 1/5 + 6,6.
Пары противоположных чисел в сумме дают нуль и убираются.
а) 256 и −256, −121 и 121 сокращаются; остаётся −236.
б) −4,42 и 4,42, 4,3 и −4,3 сокращаются; остаётся −4,8.
в) 4 5/7 и −4 5/7, 3 3/8 и −3 3/8 сокращаются; остаётся −4 1/8.
г) −6,6 и 6,6 сокращаются; 0,2 − 1/5 = 0 и 3 2/5 − 3,4 = 0; в сумме 0.
а) 256 и −256, −121 и 121 сокращаются; остаётся −236.
б) −4,42 и 4,42, 4,3 и −4,3 сокращаются; остаётся −4,8.
в) 4 5/7 и −4 5/7, 3 3/8 и −3 3/8 сокращаются; остаётся −4 1/8.
г) −6,6 и 6,6 сокращаются; 0,2 − 1/5 = 0 и 3 2/5 − 3,4 = 0; в сумме 0.
4.369. Упростите выражение: а) a + 9 − a − 13; б) −n − m + 29 + m − 29; в) x − n + 5 − 11 + n; г) 7,5 − s + 3,9 + x − 9,4 + s − x.
а) a − a = 0; 9 − 13 = −4. Ответ: −4.
б) −m + m = 0; 29 − 29 = 0. Остаётся −n.
в) −n + n = 0; 5 − 11 = −6. Ответ: x − 6.
г) −s + s = 0; x − x = 0; 7,5 + 3,9 − 9,4 = 2. Ответ: 2.
б) −m + m = 0; 29 − 29 = 0. Остаётся −n.
в) −n + n = 0; 5 − 11 = −6. Ответ: x − 6.
г) −s + s = 0; x − x = 0; 7,5 + 3,9 − 9,4 = 2. Ответ: 2.
4.370. Вычислите наиболее удобным способом: а) 9,9 + 4 5/7 − 3,9 − 2 3/7; б) 2 1/6 − 5 5/11 − 10,5 + 7 1/3; в) 5 11/18 − 7/24 − 4 3/18 − 3 5/24 + 2 1/18; г) 3 4/5 − 1,6 − 2 1/3 + 3,2 + 0,4 + 1 7/15.
а) (9,9 − 3,9) + (4 5/7 − 2 3/7) = 6 + 2 2/7 = 8 2/7.
б) (2 1/6 + 7 1/3) − (5 5/11 + 10,5) = 9 1/2 − 15 21/22 = −6 5/11.
в) (5 11/18 − 4 3/18 + 2 1/18) − (7/24 + 3 5/24) = 3 9/18 − 3 12/24 = 3 1/2 − 3 1/2 = 0.
г) (3,8 − 1,6 + 3,2 + 0,4) + (−2 1/3 + 1 7/15) = 5,8 − 13/15 = 5 12/15 − 13/15 = 4 14/15.
б) (2 1/6 + 7 1/3) − (5 5/11 + 10,5) = 9 1/2 − 15 21/22 = −6 5/11.
в) (5 11/18 − 4 3/18 + 2 1/18) − (7/24 + 3 5/24) = 3 9/18 − 3 12/24 = 3 1/2 − 3 1/2 = 0.
г) (3,8 − 1,6 + 3,2 + 0,4) + (−2 1/3 + 1 7/15) = 5,8 − 13/15 = 5 12/15 − 13/15 = 4 14/15.
4.371. С помощью букв m и n запишите переместительное свойство умножения. Подставьте значения букв: а) m = −1,5, n = 2,4; б) m = −4 1/5, n = −3 1/7. Проверьте получившиеся равенства.
Переместительное свойство: m · n = n · m.
а) −1,5 · 2,4 = 2,4 · (−1,5) = −3,6.
б) −4 1/5 · (−3 1/7) = −3 1/7 · (−4 1/5) = 21/5 · 22/7 = 66/5 = 13 1/5.
а) −1,5 · 2,4 = 2,4 · (−1,5) = −3,6.
б) −4 1/5 · (−3 1/7) = −3 1/7 · (−4 1/5) = 21/5 · 22/7 = 66/5 = 13 1/5.
4.372. С помощью букв m, n и k запишите сочетательное свойство умножения. Подставьте значения букв: а) m = 0,4, n = −0,5, k = 4,8; б) m = −3/4, n = −1 2/7, k = −2 1/3. Проверьте получившиеся равенства.
Сочетательное свойство: (mn)k = m(nk).
а) (0,4 · (−0,5)) · 4,8 = −0,2 · 4,8 = −0,96; 0,4 · (−0,5 · 4,8) = 0,4 · (−2,4) = −0,96.
б) (−3/4 · (−9/7)) · (−7/3) = 27/28 · (−7/3) = −9/4 = −2 1/4; −3/4 · (−9/7 · (−7/3)) = −3/4 · 3 = −9/4 = −2 1/4. Равенство верно.
Оговорка: в б) прочитано n = −1 2/7 = −9/7.
а) (0,4 · (−0,5)) · 4,8 = −0,2 · 4,8 = −0,96; 0,4 · (−0,5 · 4,8) = 0,4 · (−2,4) = −0,96.
б) (−3/4 · (−9/7)) · (−7/3) = 27/28 · (−7/3) = −9/4 = −2 1/4; −3/4 · (−9/7 · (−7/3)) = −3/4 · 3 = −9/4 = −2 1/4. Равенство верно.
Оговорка: в б) прочитано n = −1 2/7 = −9/7.
4.373. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом: а) 2 · (−50) · 8 · 11; б) 15 · 4 · (−2) · (−25); в) 0,4 · (−0,08) · (−1,5) · 12,5; г) −2/7 · (−11/18) · (−7/8) · 9/11; д) −2 1/4 · (−1 5/9) · (−4) · (−9); е) −0,2 · 2 5/8 · (−0,5) · (−8/21).
а) 2 · (−50) = −100; −100 · 8 = −800; −800 · 11 = −8800.
б) 15 · 4 = 60; (−2) · (−25) = 50; 60 · 50 = 3000.
в) 0,4 · 12,5 = 5; (−0,08) · (−1,5) = 0,12; 5 · 0,12 = 0,6.
г) три отрицательных множителя, значит результат отрицательный; модуль: 2 · 11 · 7 · 9 / (7 · 18 · 8 · 11) = 1/8. Ответ: −1/8.
д) четыре отрицательных множителя — результат положительный; 9/4 · 14/9 = 7/2; (−4) · (−9) = 36; 7/2 · 36 = 126.
е) три отрицательных множителя — результат отрицательный; модуль: 0,2 · 0,5 = 0,1; 21/8 · 8/21 = 1; ответ −0,1.
б) 15 · 4 = 60; (−2) · (−25) = 50; 60 · 50 = 3000.
в) 0,4 · 12,5 = 5; (−0,08) · (−1,5) = 0,12; 5 · 0,12 = 0,6.
г) три отрицательных множителя, значит результат отрицательный; модуль: 2 · 11 · 7 · 9 / (7 · 18 · 8 · 11) = 1/8. Ответ: −1/8.
д) четыре отрицательных множителя — результат положительный; 9/4 · 14/9 = 7/2; (−4) · (−9) = 36; 7/2 · 36 = 126.
е) три отрицательных множителя — результат отрицательный; модуль: 0,2 · 0,5 = 0,1; 21/8 · 8/21 = 1; ответ −0,1.
4.374. Положительное или отрицательное число получится при умножении: а) трёх отрицательных чисел и двух положительных чисел; б) двух отрицательных чисел и трёх положительных чисел; в) девяти отрицательных чисел и нескольких положительных чисел; г) сорока отрицательных и нескольких положительных чисел?
Сколько отрицательных множителей может быть в произведении, если оно: положительное; отрицательное?
Знак произведения зависит только от числа отрицательных множителей: чётное число — произведение положительно, нечётное — отрицательно.
а) 3 — нечётное: отрицательное число.
б) 2 — чётное: положительное число.
в) 9 — нечётное: отрицательное число.
г) 40 — чётное: положительное число.
Произведение положительно (ненулевых множителей), если отрицательных множителей чётное число; отрицательно — если нечётное.
а) 3 — нечётное: отрицательное число.
б) 2 — чётное: положительное число.
в) 9 — нечётное: отрицательное число.
г) 40 — чётное: положительное число.
Произведение положительно (ненулевых множителей), если отрицательных множителей чётное число; отрицательно — если нечётное.