36. Свойства действий с рациональными числами (упражнения 4.365–4.399) — с. 67
Вопросы к п. 36.
Приведите примеры, показывающие справедливость свойств сложения и умножения рациональных чисел. Когда произведение чисел равно нулю; единице?
Примеры (каждое равенство легко проверить вычислением):
• переместительное свойство сложения: −1,5 + 2,5 = 2,5 + (−1,5) = 1;
• сочетательное свойство сложения: (−2/3 + 1/3) + 1 = −2/3 + (1/3 + 1) = 2/3;
• переместительное свойство умножения: −4 · 0,5 = 0,5 · (−4) = −2;
• сочетательное свойство умножения: (−2 · 3) · (−1/2) = −2 · (3 · (−1/2)) = 3;
• распределительное свойство: (−3 + 5) · 4 = −3 · 4 + 5 · 4 = 8.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Произведение двух чисел равно единице, когда числа обратны друг другу: a · 1/a = 1, a ≠ 0 (например, −2 и −1/2; произведение равно 1 и когда оба множителя равны 1 или оба равны −1).
• переместительное свойство сложения: −1,5 + 2,5 = 2,5 + (−1,5) = 1;
• сочетательное свойство сложения: (−2/3 + 1/3) + 1 = −2/3 + (1/3 + 1) = 2/3;
• переместительное свойство умножения: −4 · 0,5 = 0,5 · (−4) = −2;
• сочетательное свойство умножения: (−2 · 3) · (−1/2) = −2 · (3 · (−1/2)) = 3;
• распределительное свойство: (−3 + 5) · 4 = −3 · 4 + 5 · 4 = 8.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Произведение двух чисел равно единице, когда числа обратны друг другу: a · 1/a = 1, a ≠ 0 (например, −2 и −1/2; произведение равно 1 и когда оба множителя равны 1 или оба равны −1).
4.365. С помощью букв m и n запишите переместительное свойство сложения. Подставьте значения букв: а) m = 0,9, n = 2,4; б) m = −2 1/4, n = −4 1/8. Проверьте получившиеся равенства.
Переместительное свойство: m + n = n + m.
а) 0,9 + 2,4 = 2,4 + 0,9; обе части равны 3,3.
б) −2 1/4 + (−4 1/8) = −4 1/8 + (−2 1/4); обе части равны −6 3/8 (2 2/8 + 4 1/8 = 6 3/8).
а) 0,9 + 2,4 = 2,4 + 0,9; обе части равны 3,3.
б) −2 1/4 + (−4 1/8) = −4 1/8 + (−2 1/4); обе части равны −6 3/8 (2 2/8 + 4 1/8 = 6 3/8).
4.366. С помощью букв m, n и k запишите сочетательное свойство сложения. Подставьте значения букв: а) m = −1,2, n = −1,8, k = 0,5; б) m = −2 2/9, n = −2 5/9, k = −2 4/9. Проверьте получившиеся равенства.
Сочетательное свойство: (m + n) + k = m + (n + k).
а) (−1,2 + (−1,8)) + 0,5 = −3 + 0,5 = −2,5; −1,2 + (−1,8 + 0,5) = −1,2 + (−1,3) = −2,5. Равенство верно.
б) (−2 2/9 + (−2 5/9)) + (−2 4/9) = −4 7/9 − 2 4/9 = −7 2/9; −2 2/9 + (−2 5/9 + (−2 4/9)) = −2 2/9 + (−5) = −7 2/9. Равенство верно.
а) (−1,2 + (−1,8)) + 0,5 = −3 + 0,5 = −2,5; −1,2 + (−1,8 + 0,5) = −1,2 + (−1,3) = −2,5. Равенство верно.
б) (−2 2/9 + (−2 5/9)) + (−2 4/9) = −4 7/9 − 2 4/9 = −7 2/9; −2 2/9 + (−2 5/9 + (−2 4/9)) = −2 2/9 + (−5) = −7 2/9. Равенство верно.