35. Рациональные числа (упражнения 4.339–4.364) — с. 65
4.349. Вычислите. [Рисунок: в центре число, от него стрелки к восьми кружкам с действиями. а) центр −2; действия по часовой стрелке от верхнего: : 8; −11; · 4/3; + 2/5; + 4,6; : 4/7; − 5/8; · 1/4. б) центр −5/8; действия: · 8; · 0; + 5; : 1/8; − 1/4; · 1 1/4; + 2/3; · (−8).]
К числу в центре применяем действие, написанное в кружке.
а) −2 : 8 = −1/4; −2 − 11 = −13; −2 · 4/3 = −8/3 = −2 2/3; −2 + 2/5 = −1 3/5; −2 + 4,6 = 2,6; −2 : 4/7 = −7/2 = −3,5; −2 − 5/8 = −2 5/8; −2 · 1/4 = −1/2.
б) −5/8 · 8 = −5; −5/8 · 0 = 0; −5/8 + 5 = 4 3/8; −5/8 : 1/8 = −5; −5/8 − 1/4 = −7/8; −5/8 · 5/4 = −25/32; −5/8 + 2/3 = −15/24 + 16/24 = 1/24; −5/8 · (−8) = 5.
а) −2 : 8 = −1/4; −2 − 11 = −13; −2 · 4/3 = −8/3 = −2 2/3; −2 + 2/5 = −1 3/5; −2 + 4,6 = 2,6; −2 : 4/7 = −7/2 = −3,5; −2 − 5/8 = −2 5/8; −2 · 1/4 = −1/2.
б) −5/8 · 8 = −5; −5/8 · 0 = 0; −5/8 + 5 = 4 3/8; −5/8 : 1/8 = −5; −5/8 − 1/4 = −7/8; −5/8 · 5/4 = −25/32; −5/8 + 2/3 = −15/24 + 16/24 = 1/24; −5/8 · (−8) = 5.
4.350. Одинаковы ли знаки чисел m и n, если произведение этих чисел: а) положительно; б) отрицательно?
а) Если mn > 0, знаки m и n одинаковы (оба положительны или оба отрицательны).
б) Если mn < 0, знаки m и n разные (одно число положительно, другое отрицательно).
б) Если mn < 0, знаки m и n разные (одно число положительно, другое отрицательно).
4.351. Найдите значения a, при которых верно равенство: а) |a| = a; б) |a| = −a; в) |−a| = a; г) |−a| = −a; д) a = −a; е) |a| + a = 0; ж) |a| + a = 2a; з) a − |a| = 2a.
а) |a| = a при a ≥ 0 (a — любое неотрицательное число).
б) |a| = −a при a ≤ 0.
в) |−a| = |a|, поэтому это то же, что |a| = a: a ≥ 0.
г) |−a| = |a| = −a: a ≤ 0.
д) a = −a только при a = 0.
е) |a| + a = 0, то есть |a| = −a: a ≤ 0.
ж) |a| + a = 2a, то есть |a| = a: a ≥ 0.
з) a − |a| = 2a, то есть −|a| = a, |a| = −a: a ≤ 0.
б) |a| = −a при a ≤ 0.
в) |−a| = |a|, поэтому это то же, что |a| = a: a ≥ 0.
г) |−a| = |a| = −a: a ≤ 0.
д) a = −a только при a = 0.
е) |a| + a = 0, то есть |a| = −a: a ≤ 0.
ж) |a| + a = 2a, то есть |a| = a: a ≥ 0.
з) a − |a| = 2a, то есть −|a| = a, |a| = −a: a ≤ 0.
4.352. Найдите значение выражения: а) 2a − 3 · |c − 2| при a = −2 и c = −3; б) 3m − 8 · |n − 4| при m = −1 и n = −2; в) 4 · |2d − 5| + 5b − 3 · |−5d + 2b| при d = 2 и b = −3; г) −5 · |5 − 10x| − 4y − 4 · |−2y − 2x| при x = 1 и y = −6.
а) 2 · (−2) − 3 · |−3 − 2| = −4 − 3 · 5 = −19.
б) 3 · (−1) − 8 · |−2 − 4| = −3 − 8 · 6 = −51.
в) 4 · |4 − 5| + 5 · (−3) − 3 · |−10 − 6| = 4 · 1 − 15 − 3 · 16 = 4 − 15 − 48 = −59.
г) −5 · |5 − 10| − 4 · (−6) − 4 · |12 − 2| = −5 · 5 + 24 − 4 · 10 = −25 + 24 − 40 = −41.
б) 3 · (−1) − 8 · |−2 − 4| = −3 − 8 · 6 = −51.
в) 4 · |4 − 5| + 5 · (−3) − 3 · |−10 − 6| = 4 · 1 − 15 − 3 · 16 = 4 − 15 − 48 = −59.
г) −5 · |5 − 10| − 4 · (−6) − 4 · |12 − 2| = −5 · 5 + 24 − 4 · 10 = −25 + 24 − 40 = −41.
4.353. Верно ли при любых значениях m и n: а) если m > 0 и n > 0, то mn > 0; б) если m < 0 и n < 0, то mn < 0; в) если mn > 0, то m > 0 и n > 0; г) если mn < 0, то m < 0 и n > 0; д) m : n = n : m?
а) Верно: произведение положительных чисел положительно.
б) Неверно: произведение двух отрицательных чисел положительно. Например, (−2) · (−3) = 6 > 0.
в) Неверно: mn > 0 и при двух отрицательных числах, например m = n = −1.
г) Неверно: mn < 0, если знаки разные, возможен и вариант m > 0, n < 0, например m = 2, n = −1.
д) Неверно: например, при m = 2, n = 1: m : n = 2, а n : m = 1/2. Равенство верно лишь при |m| = |n| (m ≠ 0).
б) Неверно: произведение двух отрицательных чисел положительно. Например, (−2) · (−3) = 6 > 0.
в) Неверно: mn > 0 и при двух отрицательных числах, например m = n = −1.
г) Неверно: mn < 0, если знаки разные, возможен и вариант m > 0, n < 0, например m = 2, n = −1.
д) Неверно: например, при m = 2, n = 1: m : n = 2, а n : m = 1/2. Равенство верно лишь при |m| = |n| (m ≠ 0).
4.354. На координатной прямой отметьте целые числа: а) модуль которых меньше 10,3 и больше 4; б) кратные трём, модуль которых больше 3 и меньше 9 5/9.
а) Целые числа с 4 < |x| < 10,3: 5, 6, 7, 8, 9, 10 и −5, −6, −7, −8, −9, −10 (всего 12 точек).
б) Кратные трём числа с 3 < |x| < 9 5/9: 6 и 9 и противоположные им −6, −9 (число 3 не подходит, потому что |3| не больше 3; 12 уже больше 9 5/9). Точки отмечены на рисунке.
б) Кратные трём числа с 3 < |x| < 9 5/9: 6 и 9 и противоположные им −6, −9 (число 3 не подходит, потому что |3| не больше 3; 12 уже больше 9 5/9). Точки отмечены на рисунке.
4.355. Найдите частное: а) −40 : (−4); б) 7 : (−50); в) −4 : 9; г) 4,2 : (−7); д) −4,8 : 2,4; е) −7,2 : (−0,04); ж) −7/11 : 7/11; з) −4 2/9 : (−6 1/3); и) −4/5 : 1 3/5.
а) 10.
б) −7/50 = −0,14.
в) −4/9.
г) −0,6.
д) −2.
е) 7,2 : 0,04 = 180.
ж) −1.
з) 38/9 : 19/3 = 38/9 · 3/19 = 2/3.
и) −4/5 : 8/5 = −1/2.
б) −7/50 = −0,14.
в) −4/9.
г) −0,6.
д) −2.
е) 7,2 : 0,04 = 180.
ж) −1.
з) 38/9 : 19/3 = 38/9 · 3/19 = 2/3.
и) −4/5 : 8/5 = −1/2.
4.356. а) К какому из знаменателей можно привести дробь 7/15: 40; 27; 45; 60; 80; 100; 1000? б) Какую из дробей можно привести к знаменателю 90: 1/3, 1/15, 1/12, 1/33?
а) Знаменатель должен делиться на 15. Из чисел 40; 27; 45; 60; 80; 100; 1000 на 15 делятся только 45 и 60. Значит, 7/15 = 21/45 = 28/60.
б) Число 90 должно делиться на знаменатель. 90 : 3 = 30; 90 : 15 = 6 — делятся; 90 на 12 и на 33 не делится. Значит, 1/3 = 30/90 и 1/15 = 6/90.
б) Число 90 должно делиться на знаменатель. 90 : 3 = 30; 90 : 15 = 6 — делятся; 90 на 12 и на 33 не делится. Значит, 1/3 = 30/90 и 1/15 = 6/90.
4.357. Какие из дробей 2/3, 4/5, 5/7, 1/4, 7/25, 5/6 можно представить в виде десятичной дроби?
Конечной десятичной дробью записываются дроби, в знаменателе которых только 2 и 5: 4/5 = 0,8; 1/4 = 0,25; 7/25 = 0,28.
Дроби 2/3, 5/7 и 5/6 в виде конечной десятичной дроби записать нельзя; они дают периодические дроби: 2/3 = 0,(6); 5/7 = 0,(714285); 5/6 = 0,8(3).
Дроби 2/3, 5/7 и 5/6 в виде конечной десятичной дроби записать нельзя; они дают периодические дроби: 2/3 = 0,(6); 5/7 = 0,(714285); 5/6 = 0,8(3).