35. Рациональные числа (упражнения 4.339–4.364) — с. 64
4.340. Следующие числа представьте в виде рационального числа p/q, где p — целое число, а q — натуральное число: а) 4; 1; 0; −1; б) 0,35; 1,23; −3,18; −1,008; в) 2 5/7; −2/3; −7/12; −3 8/9.
а) 4 = 4/1; 1 = 1/1; 0 = 0/1; −1 = −1/1.
б) 0,35 = 35/100 = 7/20; 1,23 = 123/100; −3,18 = −318/100 = −159/50; −1,008 = −1008/1000 = −126/125.
в) 2 5/7 = 19/7; −2/3 уже в таком виде; −7/12 тоже; −3 8/9 = −35/9.
б) 0,35 = 35/100 = 7/20; 1,23 = 123/100; −3,18 = −318/100 = −159/50; −1,008 = −1008/1000 = −126/125.
в) 2 5/7 = 19/7; −2/3 уже в таком виде; −7/12 тоже; −3 8/9 = −35/9.
4.341. Значение выражения представьте в виде p/q, где p — целое число, q — натуральное число: а) −7/9 + 5/18; б) 2 4/13 − 1 11/26; в) 5/8 − 7/16; г) 1,3 − 4,5.
а) −14/18 + 5/18 = −9/18 = −1/2.
б) 30/13 − 37/26 = 60/26 − 37/26 = 23/26.
в) 10/16 − 7/16 = 3/16.
г) 1,3 − 4,5 = −3,2 = −32/10 = −16/5.
б) 30/13 − 37/26 = 60/26 − 37/26 = 23/26.
в) 10/16 − 7/16 = 3/16.
г) 1,3 − 4,5 = −3,2 = −32/10 = −16/5.
4.342. Значение выражения представьте в виде p/q, где p — целое число, а q — натуральное число: а) 4/9 · (−3/8); б) −2 1/7 · 1,4; в) −1,3 · 15/13; г) −1 6/13 · 1/19.
а) −12/72 = −1/6.
б) −15/7 · 7/5 = −3 = −3/1.
в) −13/10 · 15/13 = −3/2.
г) −19/13 · 1/19 = −1/13.
б) −15/7 · 7/5 = −3 = −3/1.
в) −13/10 · 15/13 = −3/2.
г) −19/13 · 1/19 = −1/13.
4.343. Значение выражения представьте в виде p/q, где p — целое число, а q — натуральное число: а) 3/5 : (−11/15); б) 0,56 : 0,8; в) −0,45 : (−0,15); г) −1/7 : 0,7.
а) 3/5 · (−15/11) = −9/11.
б) 0,56 : 0,8 = 0,7 = 7/10.
в) 0,45 : 0,15 = 3 = 3/1.
г) −1/7 : 7/10 = −1/7 · 10/7 = −10/49.
б) 0,56 : 0,8 = 0,7 = 7/10.
в) 0,45 : 0,15 = 3 = 3/1.
г) −1/7 : 7/10 = −1/7 · 10/7 = −10/49.
4.344. Запишите в виде десятичной дроби (конечной или периодической) число: а) 4/9; б) 8/15; в) 29/80; г) 11/18; д) 6 9/20; е) 3 7/12; ж) 4 7/24; з) 2 21/56.
Делим числитель на знаменатель.
а) 0,(4).
б) 0,5(3).
в) 0,3625.
г) 0,6(1).
д) 6,45.
е) 3,58(3).
ж) 4,291(6).
з) 21/56 = 3/8 = 0,375, значит 2,375.
а) 0,(4).
б) 0,5(3).
в) 0,3625.
г) 0,6(1).
д) 6,45.
е) 3,58(3).
ж) 4,291(6).
з) 21/56 = 3/8 = 0,375, значит 2,375.
4.345. Какую из дробей можно представить в виде конечной десятичной дроби: 5/8; 19/21; 19/35; 21/35; 11/250; 19/40; 2/9; 5/12; 21/56; 7/32?
Несократимую дробь можно записать конечной десятичной тогда и только тогда, когда в разложении знаменателя только простые числа 2 и 5.
5/8 (8 = 2³) — можно. 19/21 (21 = 3 · 7) — нельзя. 19/35 (35 = 5 · 7) — нельзя. 21/35 = 3/5 — можно. 11/250 (250 = 2 · 5³) — можно. 19/40 (40 = 2³ · 5) — можно. 2/9 — нельзя. 5/12 (12 = 2² · 3) — нельзя. 21/56 = 3/8 — можно. 7/32 (32 = 2⁵) — можно.
Ответ: 5/8; 21/35; 11/250; 19/40; 21/56; 7/32.
5/8 (8 = 2³) — можно. 19/21 (21 = 3 · 7) — нельзя. 19/35 (35 = 5 · 7) — нельзя. 21/35 = 3/5 — можно. 11/250 (250 = 2 · 5³) — можно. 19/40 (40 = 2³ · 5) — можно. 2/9 — нельзя. 5/12 (12 = 2² · 3) — нельзя. 21/56 = 3/8 — можно. 7/32 (32 = 2⁵) — можно.
Ответ: 5/8; 21/35; 11/250; 19/40; 21/56; 7/32.
4.346. Верны ли следующие равенства: а) 0,555… = 5/9; б) 4,(148) = 4 4/27; в) 0,0202… = 2/99; г) 0,(12) = 4/33; д) 0,41666… = 5/12; е) 5,4(06) = 5 67/165?
Проверим, переводя дробь в десятичную делением.
а) 5 : 9 = 0,(5). Верно.
б) 4/27 = 0,(148), так как 148/999 = 4/27 (999 = 27 · 37, 148 = 4 · 37). Верно.
в) 2/99 = 0,(02). Верно.
г) 12/99 = 4/33, а 4/33 = 0,(12). Верно.
д) 5/12 = 0,41(6) = 0,41666… Верно.
е) 67/165 = 0,4(06): 67 : 165 = 0,40606… Верно.
Все шесть равенств верны.
а) 5 : 9 = 0,(5). Верно.
б) 4/27 = 0,(148), так как 148/999 = 4/27 (999 = 27 · 37, 148 = 4 · 37). Верно.
в) 2/99 = 0,(02). Верно.
г) 12/99 = 4/33, а 4/33 = 0,(12). Верно.
д) 5/12 = 0,41(6) = 0,41666… Верно.
е) 67/165 = 0,4(06): 67 : 165 = 0,40606… Верно.
Все шесть равенств верны.
4.347. Запишите в виде двойного неравенства десятичные приближения с недостатком и с избытком дробей 4/11 и 7/27 до: а) десятых; б) сотых; в) тысячных.
4/11 = 0,3636…; 7/27 = 0,259259…
а) 0,3 < 4/11 < 0,4; 0,2 < 7/27 < 0,3.
б) 0,36 < 4/11 < 0,37; 0,25 < 7/27 < 0,26.
в) 0,363 < 4/11 < 0,364; 0,259 < 7/27 < 0,260.
а) 0,3 < 4/11 < 0,4; 0,2 < 7/27 < 0,3.
б) 0,36 < 4/11 < 0,37; 0,25 < 7/27 < 0,26.
в) 0,363 < 4/11 < 0,364; 0,259 < 7/27 < 0,260.
4.348. Округлите дроби до сотых: 2/15, 11/30, 10/11, 3 9/11, 3/14.
2/15 = 0,1333… ≈ 0,13.
11/30 = 0,3666… ≈ 0,37.
10/11 = 0,9090… ≈ 0,91.
3 9/11 = 3,8181… ≈ 3,82.
3/14 = 0,2142… ≈ 0,21.
11/30 = 0,3666… ≈ 0,37.
10/11 = 0,9090… ≈ 0,91.
3 9/11 = 3,8181… ≈ 3,82.
3/14 = 0,2142… ≈ 0,21.