34. Действие деления (упражнения 4.305–4.338) — с. 59
4.317. Вычислите: а) −4,5 / −0,9; б) −9,4 / 4,7; в) 2,1 / −6,3; г) −1,7 / 8,5; д) 7,2 · (−1,9) / (−5,7 · 0,8); е) 0,63 : (−7/9); ж) −1,25 : 1 9/16; з) −3,4 : 3 2/5; и) (5 3/7) / (−1 5/14); к) (−1 1/7) / (3 1/14).
а) 4,5 : 0,9 = 5.
б) −2.
в) −2,1 : 6,3 = −1/3.
г) −0,2.
д) числитель 7,2 · (−1,9) = −13,68; знаменатель −5,7 · 0,8 = −4,56; −13,68 : (−4,56) = 3.
е) −0,63 · 9/7 = −0,81.
ж) −5/4 : 25/16 = −5/4 · 16/25 = −4/5 = −0,8.
з) −3,4 : 3,4 = −1.
и) 38/7 : (−19/14) = −38/7 · 14/19 = −4.
к) −8/7 : 43/14 = −8/7 · 14/43 = −16/43.
б) −2.
в) −2,1 : 6,3 = −1/3.
г) −0,2.
д) числитель 7,2 · (−1,9) = −13,68; знаменатель −5,7 · 0,8 = −4,56; −13,68 : (−4,56) = 3.
е) −0,63 · 9/7 = −0,81.
ж) −5/4 : 25/16 = −5/4 · 16/25 = −4/5 = −0,8.
з) −3,4 : 3,4 = −1.
и) 38/7 : (−19/14) = −38/7 · 14/19 = −4.
к) −8/7 : 43/14 = −8/7 · 14/43 = −16/43.
4.318. Найдите x из пропорции: а) x / (−1,4) = (−7,3) / (−2,8); б) (−8,4) / 105 = (−12,6) / x; в) (−2,5x) / 14 = (1/7) / (−30); г) (−7 1/2) / (4 1/2) = x / (3/25).
Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
а) x = (−1,4) · (−7,3) / (−2,8) = −10,22 / 2,8 = −3,65.
б) x = 105 · (−12,6) / (−8,4) = 157,5.
в) −2,5x = 14 · (1/7) / (−30) = 2/(−30) = −1/15; x = 1/15 : 2,5 = 2/75.
г) левая часть: −15/2 : 9/2 = −5/3; x = −5/3 · 3/25 = −1/5.
а) x = (−1,4) · (−7,3) / (−2,8) = −10,22 / 2,8 = −3,65.
б) x = 105 · (−12,6) / (−8,4) = 157,5.
в) −2,5x = 14 · (1/7) / (−30) = 2/(−30) = −1/15; x = 1/15 : 2,5 = 2/75.
г) левая часть: −15/2 : 9/2 = −5/3; x = −5/3 · 3/25 = −1/5.
4.319. Вычислите. [Рисунок: в центре стоит действие с числом, стрелки идут от восьми чисел. а) центр «: 1/7»; числа: 1; 6/21; 1/9; 5/7; 2; 1/7; 2/7; 1 2/7. б) центр «+ 1/12»; числа: −1/3; −1; 5/12; −1/4; 1/6; −1/6; −7/12; 1/4.]
а) Делим каждое число на 1/7, то есть умножаем на 7: 1 → 7; 6/21 → 2; 1/9 → 7/9; 5/7 → 5; 2 → 14; 1/7 → 1; 2/7 → 2; 1 2/7 → 9.
б) Прибавляем 1/12: −1/3 → −1/4; −1 → −11/12; 5/12 → 1/2; −1/4 → −1/6; 1/6 → 1/4; −1/6 → −1/12; −7/12 → −1/2; 1/4 → 1/3.
Оговорка: знак действия в центре б) на скане мелкий; прочитан как «+».
б) Прибавляем 1/12: −1/3 → −1/4; −1 → −11/12; 5/12 → 1/2; −1/4 → −1/6; 1/6 → 1/4; −1/6 → −1/12; −7/12 → −1/2; 1/4 → 1/3.
Оговорка: знак действия в центре б) на скане мелкий; прочитан как «+».
4.320. Какими могут быть значения букв x и y, если: а) xy = 0; б) xy ≠ 0?
а) Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: x = 0 или y = 0 (или оба).
б) Произведение не равно нулю, когда оба множителя отличны от нуля: x ≠ 0 и y ≠ 0.
б) Произведение не равно нулю, когда оба множителя отличны от нуля: x ≠ 0 и y ≠ 0.
4.321. При каких значениях a верно равенство: а) a = a²; б) a = a³; в) a² = a³?
а) a = a² ⇔ a² − a = 0 ⇔ a(a − 1) = 0: a = 0 или a = 1.
б) a = a³ ⇔ a(a² − 1) = 0: a = 0, a = 1 или a = −1 (проверка: (−1)³ = −1).
в) a² = a³ ⇔ a²(1 − a) = 0: a = 0 или a = 1.
б) a = a³ ⇔ a(a² − 1) = 0: a = 0, a = 1 или a = −1 (проверка: (−1)³ = −1).
в) a² = a³ ⇔ a²(1 − a) = 0: a = 0 или a = 1.
4.322. Значение какого из выражений (−a)², −a², a³ будет при любых значениях a положительным; отрицательным?
(−a)² = a² — положительно при любом a ≠ 0 (квадрат любого числа не отрицателен).
−a² — отрицательно при любом a ≠ 0.
Выражение a³ имеет знак самого a: при a > 0 положительно, при a < 0 отрицательно, поэтому ни положительным, ни отрицательным при любых a оно не будет.
При a = 0 все три выражения равны нулю.
−a² — отрицательно при любом a ≠ 0.
Выражение a³ имеет знак самого a: при a > 0 положительно, при a < 0 отрицательно, поэтому ни положительным, ни отрицательным при любых a оно не будет.
При a = 0 все три выражения равны нулю.
4.323. Проверьте справедливость равенства |ab| = |a| · |b| при a = 0,1; b = −2 и при a = −1/2; b = 3. Докажите, что равенство |ab| = |a| · |b| верно при любых значениях a и b.
При a = 0,1, b = −2: |ab| = |−0,2| = 0,2; |a| · |b| = 0,1 · 2 = 0,2. Верно.
При a = −1/2, b = 3: |ab| = |−3/2| = 3/2; |a| · |b| = 1/2 · 3 = 3/2. Верно.
Доказательство. Если a или b равно 0, обе части равны 0. Иначе по правилу умножения модуль произведения получается перемножением модулей множителей, а знак влияет лишь на знак произведения. Значит, |ab| = |a| · |b| при любых a и b.
При a = −1/2, b = 3: |ab| = |−3/2| = 3/2; |a| · |b| = 1/2 · 3 = 3/2. Верно.
Доказательство. Если a или b равно 0, обе части равны 0. Иначе по правилу умножения модуль произведения получается перемножением модулей множителей, а знак влияет лишь на знак произведения. Значит, |ab| = |a| · |b| при любых a и b.
4.324. Выполните действия: а) −23 · 5; б) −4/7 · (−1/2); в) 3 2/3 · (−4/11); г) −0,6 · 0,2; д) (−1/3)²; е) (−2)³; ж) −2,4 · (−5); з) (1/5 − 3/4) · (−4); и) (−0,4 − 0,3) · (−7).
а) −115.
б) 4/14 = 2/7.
в) 11/3 · (−4/11) = −4/3 = −1 1/3.
г) −0,12.
д) 1/9.
е) −8.
ж) 12.
з) (4/20 − 15/20) · (−4) = −11/20 · (−4) = 11/5 = 2,2.
и) −0,7 · (−7) = 4,9.
б) 4/14 = 2/7.
в) 11/3 · (−4/11) = −4/3 = −1 1/3.
г) −0,12.
д) 1/9.
е) −8.
ж) 12.
з) (4/20 − 15/20) · (−4) = −11/20 · (−4) = 11/5 = 2,2.
и) −0,7 · (−7) = 4,9.
4.325. Сколькими способами можно представить числа 25, 36 и 49 в виде произведения двух равных множителей?
Запишите эти равенства.
Каждое число можно представить двумя способами — с двумя положительными или двумя отрицательными множителями:
25 = 5 · 5 = (−5) · (−5);
36 = 6 · 6 = (−6) · (−6);
49 = 7 · 7 = (−7) · (−7).
25 = 5 · 5 = (−5) · (−5);
36 = 6 · 6 = (−6) · (−6);
49 = 7 · 7 = (−7) · (−7).
4.326. Вычислите: а) −3,1 · (−0,1) − 3,3 · 0,01 − (−0,3) · (−1,2); б) (5,7 − 9,8 + 1,4 − 3,5 + 6,2) · (−231).
а) 0,31 − 0,033 − 0,36 = −0,083.
б) в скобках: 5,7 − 9,8 = −4,1; −4,1 + 1,4 = −2,7; −2,7 − 3,5 = −6,2; −6,2 + 6,2 = 0. Произведение 0 · (−231) = 0.
б) в скобках: 5,7 − 9,8 = −4,1; −4,1 + 1,4 = −2,7; −2,7 − 3,5 = −6,2; −6,2 + 6,2 = 0. Произведение 0 · (−231) = 0.