32. Действие вычитания (упражнения 4.227–4.265) — с. 49
4.252. К школьному концерту было подготовлено 20 выступлений. Вокальных выступлений было подготовлено в 2 раза больше, чем танцевальных, а акробатических — на 4 меньше, чем танцевальных. Сколько выступлений каждого вида было подготовлено к концерту?
Пусть танцевальных выступлений x. Тогда вокальных 2x, акробатических x − 4. Всего: x + 2x + (x − 4) = 20; 4x = 24; x = 6.
Танцевальных 6, вокальных 12, акробатических 6 − 4 = 2. Проверка: 6 + 12 + 2 = 20.
Танцевальных 6, вокальных 12, акробатических 6 − 4 = 2. Проверка: 6 + 12 + 2 = 20.
4.253.
1. Масса трёх контейнеров для полярной экспедиции равна 3600 кг. Масса первого контейнера в 1 1/3 раза больше массы третьего, а масса второго составляет 2/3 массы третьего. Чему равна масса каждого контейнера?
2. На консервном заводе за смену изготавливали 4200 банок трёх видов пюре для малышей. Банки мясного пюре составляют 2/9 банок фруктового пюре. А банок овощного пюре было в 1 1/9 раза больше банок фруктового пюре. Сколько банок пюре каждого вида было изготовлено за смену?
1) Пусть масса третьего контейнера x кг. Первый 4/3 x, второй 2/3 x. Сумма: x + 4/3 x + 2/3 x = 3x = 3600; x = 1200.
Третий 1200 кг, первый 1600 кг, второй 800 кг.
2) Пусть фруктового пюре f банок. Мясного 2/9 f, овощного 10/9 f. Сумма: f + 2/9 f + 10/9 f = 21/9 f = 4200; f = 4200 · 9/21 = 1800.
Фруктового 1800, мясного 400, овощного 2000. Проверка: 1800 + 400 + 2000 = 4200.
Третий 1200 кг, первый 1600 кг, второй 800 кг.
2) Пусть фруктового пюре f банок. Мясного 2/9 f, овощного 10/9 f. Сумма: f + 2/9 f + 10/9 f = 21/9 f = 4200; f = 4200 · 9/21 = 1800.
Фруктового 1800, мясного 400, овощного 2000. Проверка: 1800 + 400 + 2000 = 4200.
4.254. Найдите значение выражения: 1) 31,77 − 3,08 · (34,51 : 4,06) + 8,632 : 0,83; 2) 44,31 − 2,42 · (50,445 : 5,31) + 14,552 : 1,36.
1) 34,51 : 4,06 = 8,5; 3,08 · 8,5 = 26,18; 31,77 − 26,18 = 5,59; 8,632 : 0,83 = 10,4; 5,59 + 10,4 = 15,99.
2) 50,445 : 5,31 = 9,5; 2,42 · 9,5 = 22,99; 44,31 − 22,99 = 21,32; 14,552 : 1,36 = 10,7; 21,32 + 10,7 = 32,02.
Ответ: 1) 15,99; 2) 32,02.
2) 50,445 : 5,31 = 9,5; 2,42 · 9,5 = 22,99; 44,31 − 22,99 = 21,32; 14,552 : 1,36 = 10,7; 21,32 + 10,7 = 32,02.
Ответ: 1) 15,99; 2) 32,02.
4.255. Индийский математик Брахмагупта (VII в.) так излагал правила сложения и вычитания: «Сумма двух имуществ есть имущество», «Сумма двух долгов есть долг», «Сумма имущества и долга равна их разности» и т. д. Сформулируйте эти древнеиндийские правила современным языком.
Имущество — положительное число, долг — отрицательное.
«Сумма двух имуществ есть имущество» — сумма двух положительных чисел положительна: 3 + 5 = 8.
«Сумма двух долгов есть долг» — сумма двух отрицательных чисел отрицательна: −3 + (−5) = −8; модуль суммы равен сумме модулей.
«Сумма имущества и долга равна их разности» — чтобы сложить числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем: 7 + (−4) = 3, −7 + 4 = −3.
Сложение с нулём не меняет число; сумма противоположных чисел равна нулю.
«Сумма двух имуществ есть имущество» — сумма двух положительных чисел положительна: 3 + 5 = 8.
«Сумма двух долгов есть долг» — сумма двух отрицательных чисел отрицательна: −3 + (−5) = −8; модуль суммы равен сумме модулей.
«Сумма имущества и долга равна их разности» — чтобы сложить числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем: 7 + (−4) = 3, −7 + 4 = −3.
Сложение с нулём не меняет число; сумма противоположных чисел равна нулю.
4.256. Выполните действие: а) 38 − (−7); б) −12 + (−23); в) 108 − (−121); г) 5,9 − 9,2; д) −4,2 + 8,9; е) 12 − (−3,8); ж) −14 − (−3,2); з) 0 − (−5,8).
а) 38 + 7 = 45.
б) −(12 + 23) = −35.
в) 108 + 121 = 229.
г) 5,9 + (−9,2) = −3,3.
д) 8,9 − 4,2 = 4,7.
е) 12 + 3,8 = 15,8.
ж) −14 + 3,2 = −10,8.
з) 0 + 5,8 = 5,8.
б) −(12 + 23) = −35.
в) 108 + 121 = 229.
г) 5,9 + (−9,2) = −3,3.
д) 8,9 − 4,2 = 4,7.
е) 12 + 3,8 = 15,8.
ж) −14 + 3,2 = −10,8.
з) 0 + 5,8 = 5,8.
4.257. Вычислите: а) −4 1/3 − (−2 7/9); б) 5 2/7 − 6 5/14; в) −2 3/16 + 5/8; г) 3/5 − 0,9; д) −17/30 − (−0,6); е) −5,1 − 3 1/7; ж) 12,5 − 7 3/4; з) −3 1/7 − (−4,2).
а) −4 3/9 + 2 7/9 = −1 5/9.
б) 5 4/14 − 6 5/14 = −1 1/14.
в) −2 3/16 + 10/16 = −(2 3/16 − 10/16) = −1 9/16.
г) 0,6 − 0,9 = −0,3.
д) −17/30 + 18/30 = 1/30.
е) −5,1 − 3 1/7 = −(5 1/10 + 3 1/7) = −(5 7/70 + 3 10/70) = −8 17/70.
ж) 12 1/2 − 7 3/4 = 4 3/4.
з) −3 1/7 + 4 1/5 = 4 7/35 − 3 5/35 = 1 2/35.
б) 5 4/14 − 6 5/14 = −1 1/14.
в) −2 3/16 + 10/16 = −(2 3/16 − 10/16) = −1 9/16.
г) 0,6 − 0,9 = −0,3.
д) −17/30 + 18/30 = 1/30.
е) −5,1 − 3 1/7 = −(5 1/10 + 3 1/7) = −(5 7/70 + 3 10/70) = −8 17/70.
ж) 12 1/2 − 7 3/4 = 4 3/4.
з) −3 1/7 + 4 1/5 = 4 7/35 − 3 5/35 = 1 2/35.
4.258. Найдите значение выражения (n + m) − r, если: а) n = 4,8, m = −1,4, r = 3,1; б) n = m = −2,4, r = −7,1.
а) (4,8 + (−1,4)) − 3,1 = 3,4 − 3,1 = 0,3.
б) (−2,4 + (−2,4)) − (−7,1) = −4,8 + 7,1 = 2,3.
б) (−2,4 + (−2,4)) − (−7,1) = −4,8 + 7,1 = 2,3.
4.259. Найдите длину отрезка MN в единичных отрезках, если M(−6) и N(12).
Из координаты правого конца вычитаем координату левого: 12 − (−6) = 18.
Ответ: 18 единичных отрезков.
Ответ: 18 единичных отрезков.
4.260. Найдите расстояние между точками: а) M(−9) и N(−2); б) C(2,6) и D(−4,3); в) P(−5/7) и K(3/7); г) L(−3 5/6) и Q(1 1/6).
Расстояние — координата правой точки минус координата левой.
а) −2 − (−9) = 7.
б) 2,6 − (−4,3) = 6,9.
в) 3/7 − (−5/7) = 8/7 = 1 1/7.
г) 1 1/6 − (−3 5/6) = 1 1/6 + 3 5/6 = 5.
а) −2 − (−9) = 7.
б) 2,6 − (−4,3) = 6,9.
в) 3/7 − (−5/7) = 8/7 = 1 1/7.
г) 1 1/6 − (−3 5/6) = 1 1/6 + 3 5/6 = 5.
4.261. Вычислите значение выражения: а) 34 − (−17) − (−22); б) −46 − 21 − (−23); в) −5,7 − 6,8 − 1,5; г) 2 1/3 − 1 1/6 + 2 7/12; д) −8 1/20 + 4 4/15 − 4,2; е) −4 2/5 + 3 1/2 − 6 8/15; ж) 12,4 − 2 3/5 − 10 2/25 + 0,6.
а) 34 + 17 + 22 = 73.
б) −46 − 21 + 23 = −44.
в) −(5,7 + 6,8 + 1,5) = −14.
г) 2 4/12 − 1 2/12 + 2 7/12 = 3 9/12 = 3 3/4.
д) −8 3/60 + 4 16/60 − 4 12/60: положительные 4 16/60; отрицательные 8 3/60 + 4 12/60 = 12 15/60; результат −(12 15/60 − 4 16/60) = −7 59/60.
е) −4 12/30 + 3 15/30 − 6 16/30: положительные 3 15/30; отрицательные 4 12/30 + 6 16/30 = 10 28/30; результат −(10 28/30 − 3 15/30) = −7 13/30.
ж) 2 3/5 = 2,6; 10 2/25 = 10,08; 12,4 − 2,6 − 10,08 + 0,6 = 0,32 = 8/25.
б) −46 − 21 + 23 = −44.
в) −(5,7 + 6,8 + 1,5) = −14.
г) 2 4/12 − 1 2/12 + 2 7/12 = 3 9/12 = 3 3/4.
д) −8 3/60 + 4 16/60 − 4 12/60: положительные 4 16/60; отрицательные 8 3/60 + 4 12/60 = 12 15/60; результат −(12 15/60 − 4 16/60) = −7 59/60.
е) −4 12/30 + 3 15/30 − 6 16/30: положительные 3 15/30; отрицательные 4 12/30 + 6 16/30 = 10 28/30; результат −(10 28/30 − 3 15/30) = −7 13/30.
ж) 2 3/5 = 2,6; 10 2/25 = 10,08; 12,4 − 2,6 − 10,08 + 0,6 = 0,32 = 8/25.
4.262. В школьном конкурсе чтецов для 5–7 классов участвовали 40 человек. Учащихся 5 классов было в 1,5 раза больше, чем учащихся 6 и 7 классов вместе. Семиклассники составляли 0,6 от числа шестиклассников. Сколько учащихся каждого класса приняли участие в конкурсе?
Пусть шестиклассников и семиклассников вместе y. Тогда пятиклассников 1,5y, и y + 1,5y = 40; 2,5y = 40; y = 16. Пятиклассников 24.
Пусть шестиклассников s, тогда семиклассников 0,6s: s + 0,6s = 16; 1,6s = 16; s = 10. Семиклассников 6.
Ответ: 24 пятиклассника, 10 шестиклассников, 6 семиклассников.
Пусть шестиклассников s, тогда семиклассников 0,6s: s + 0,6s = 16; 1,6s = 16; s = 10. Семиклассников 6.
Ответ: 24 пятиклассника, 10 шестиклассников, 6 семиклассников.