30. Сложение отрицательных чисел (упражнения 4.170–4.194) — с. 39
4.179. Найдите сумму: а) −5/11 + (−2/11); б) −7/8 + (−1/4); в) −4/5 + (−2/3); г) −2/9 + (−5/6).
Складываем модули (приводим к общему знаменателю) и ставим знак «−».
а) −(5/11 + 2/11) = −7/11.
б) −(7/8 + 2/8) = −9/8 = −1 1/8.
в) −(12/15 + 10/15) = −22/15 = −1 7/15.
г) −(4/18 + 15/18) = −19/18 = −1 1/18.
а) −(5/11 + 2/11) = −7/11.
б) −(7/8 + 2/8) = −9/8 = −1 1/8.
в) −(12/15 + 10/15) = −22/15 = −1 7/15.
г) −(4/18 + 15/18) = −19/18 = −1 1/18.
4.180. Выполните сложение: а) −1 1/2 + (−2 1/2); б) −4 9/14 + (−1 1/7); в) −5 7/12 + (−2 3/4); г) −3 4/9 + (−8 5/6); д) −5 12/17 + (−15/24) + (−1 3/8) + (−5/17); е) −9/28 + (−4 9/35) + (−2 5/28) + (−12/35).
а) −(1 1/2 + 2 1/2) = −4.
б) −(4 9/14 + 1 2/14) = −5 11/14.
в) −(5 7/12 + 2 9/12) = −7 16/12 = −8 1/3.
г) −(3 8/18 + 8 15/18) = −11 23/18 = −12 5/18.
д) модули: 5 12/17 + 5/17 = 5 17/17 = 6; 15/24 = 5/8; 5/8 + 1 3/8 = 2; всего 6 + 2 = 8; ответ −8.
е) модули: 9/28 + 2 5/28 = 2 14/28 = 2 1/2; 4 9/35 + 12/35 = 4 21/35 = 4 3/5; 2 1/2 + 4 3/5 = 7 1/10; ответ −7 1/10.
б) −(4 9/14 + 1 2/14) = −5 11/14.
в) −(5 7/12 + 2 9/12) = −7 16/12 = −8 1/3.
г) −(3 8/18 + 8 15/18) = −11 23/18 = −12 5/18.
д) модули: 5 12/17 + 5/17 = 5 17/17 = 6; 15/24 = 5/8; 5/8 + 1 3/8 = 2; всего 6 + 2 = 8; ответ −8.
е) модули: 9/28 + 2 5/28 = 2 14/28 = 2 1/2; 4 9/35 + 12/35 = 4 21/35 = 4 3/5; 2 1/2 + 4 3/5 = 7 1/10; ответ −7 1/10.
4.181. Выполните действия: а) (−0,28 + (−0,137)) + (−0,431 + (−0,256)); б) (−2 2/3 + (−3 7/12)) + (−5 1/2 + (−2 3/8)).
а) −(0,28 + 0,137 + 0,431 + 0,256) = −1,104.
б) модули: 2 2/3 + 3 7/12 = 2 8/12 + 3 7/12 = 6 3/12 = 6 1/4; 5 1/2 + 2 3/8 = 5 4/8 + 2 3/8 = 7 7/8; 6 1/4 + 7 7/8 = 6 2/8 + 7 7/8 = 14 1/8; ответ −14 1/8.
б) модули: 2 2/3 + 3 7/12 = 2 8/12 + 3 7/12 = 6 3/12 = 6 1/4; 5 1/2 + 2 3/8 = 5 4/8 + 2 3/8 = 7 7/8; 6 1/4 + 7 7/8 = 6 2/8 + 7 7/8 = 14 1/8; ответ −14 1/8.
4.182. Вычислите. а) 8 : 4; · 6; − 2,3; − 0,11; ? б) 0,6 · 3; + 7,8; − 4; : 7; ? в) 3 : 1/4; · 1/12; − 1/3; ? г) 1 − 4/5; · 2 1/4; : 4/5; ?
а) 8 : 4 = 2; 2 · 6 = 12; 12 − 2,3 = 9,7; 9,7 − 0,11 = 9,59. Ответ: 9,59.
б) 0,6 · 3 = 1,8; 1,8 + 7,8 = 9,6; 9,6 − 4 = 5,6; 5,6 : 7 = 0,8. Ответ: 0,8.
в) 3 : 1/4 = 12; 12 · 1/12 = 1; 1 − 1/3 = 2/3. Ответ: 2/3.
г) 1 − 4/5 = 1/5; 1/5 · 2 1/4 = 1/5 · 9/4 = 9/20; 9/20 : 4/5 = 9/20 · 5/4 = 9/16. Ответ: 9/16.
б) 0,6 · 3 = 1,8; 1,8 + 7,8 = 9,6; 9,6 − 4 = 5,6; 5,6 : 7 = 0,8. Ответ: 0,8.
в) 3 : 1/4 = 12; 12 · 1/12 = 1; 1 − 1/3 = 2/3. Ответ: 2/3.
г) 1 − 4/5 = 1/5; 1/5 · 2 1/4 = 1/5 · 9/4 = 9/20; 9/20 : 4/5 = 9/20 · 5/4 = 9/16. Ответ: 9/16.
4.183. Числа −21; −7,6; 10; −7/9; −3/8; 17,6; 3/4; −20 4/9; 0; −20 8/9; −7,4; 1 запишите в порядке возрастания.
Сначала отрицательные числа (чем больше модуль, тем число меньше), затем нуль, затем положительные.
Отрицательные: модули 21; 20 8/9; 20 4/9; 7,6; 7,4; 7/9; 3/8 — расставляем по убыванию модулей.
Ответ: −21; −20 8/9; −20 4/9; −7,6; −7,4; −7/9; −3/8; 0; 3/4; 1; 10; 17,6.
Отрицательные: модули 21; 20 8/9; 20 4/9; 7,6; 7,4; 7/9; 3/8 — расставляем по убыванию модулей.
Ответ: −21; −20 8/9; −20 4/9; −7,6; −7,4; −7/9; −3/8; 0; 3/4; 1; 10; 17,6.
4.184.
1. Сравните, если a и b — положительные числа: а) −a и b; б) b и −a; в) 0 и a; г) −b и 0; д) |b| и b; е) |a| и −a; ж) −a и |b|; з) |−a| и −b.
2. Найдите значение выражения: а) 2x − |3x + 2| при x = 9; б) 4x − |5 + 6x| при x = 3.
1) Так как a > 0 и b > 0, то −a < 0 и −b < 0.
а) −a < b.
б) b > −a.
в) 0 < a.
г) −b < 0.
д) |b| = b.
е) |a| = a > 0 > −a, поэтому |a| > −a.
ж) −a < |b| (отрицательное меньше положительного).
з) |−a| = a > 0 > −b, поэтому |−a| > −b.
2) а) 2 · 9 − |27 + 2| = 18 − 29 = −11.
б) 4 · 3 − |5 + 18| = 12 − 23 = −11.
а) −a < b.
б) b > −a.
в) 0 < a.
г) −b < 0.
д) |b| = b.
е) |a| = a > 0 > −a, поэтому |a| > −a.
ж) −a < |b| (отрицательное меньше положительного).
з) |−a| = a > 0 > −b, поэтому |−a| > −b.
2) а) 2 · 9 − |27 + 2| = 18 − 29 = −11.
б) 4 · 3 − |5 + 18| = 12 − 23 = −11.
4.185. Найдите значения c, при которых верно неравенство: а) c < −c; б) −c < c; в) c + c < c.
а) c < −c верно, если c отрицательно (c < 0): например, −3 < 3.
б) −c < c верно, если c положительно (c > 0): например, −5 < 5.
в) c + c < c означает 2c < c, то есть c < 0.
б) −c < c верно, если c положительно (c > 0): например, −5 < 5.
в) c + c < c означает 2c < c, то есть c < 0.
4.186. Для точек M(x) и N(y) найдите координату середины K отрезка MN, если: а) x = 6, y = 10; б) x = −4, y = −6; в) x = −1, y = 7.
Координата середины отрезка — среднее арифметическое координат его концов.
а) (6 + 10) : 2 = 8.
б) (−4 + (−6)) : 2 = −10 : 2 = −5.
в) (−1 + 7) : 2 = 3.
а) (6 + 10) : 2 = 8.
б) (−4 + (−6)) : 2 = −10 : 2 = −5.
в) (−1 + 7) : 2 = 3.
4.187. Для нахождения объёма цилиндра нужно площадь одного из оснований умножить на высоту цилиндра. Объём конуса, у которого основание и высота равны основанию и высоте цилиндра, в 3 раза меньше объёма цилиндра (рис. 4.39). Найдите объёмы цилиндра и конуса с высотой 15 см и радиусом оснований 6 см.
Площадь основания: π · 6² = 36π см².
Объём цилиндра: 36π · 15 = 540π см³ ≈ 540 · 3,14 = 1695,6 см³.
Объём конуса: 540π : 3 = 180π см³ ≈ 565,2 см³.
Ответ: 540π см³ (≈ 1695,6 см³) и 180π см³ (≈ 565,2 см³).
Объём цилиндра: 36π · 15 = 540π см³ ≈ 540 · 3,14 = 1695,6 см³.
Объём конуса: 540π : 3 = 180π см³ ≈ 565,2 см³.
Ответ: 540π см³ (≈ 1695,6 см³) и 180π см³ (≈ 565,2 см³).
4.188. Найдите значение выражения:
1. (4,24 + 2,76) · 7,7 : (60 − 6,1);
2. (9,89 − 7,39) · 0,8 : (4,31 + 5,69).
1) 4,24 + 2,76 = 7; 7 · 7,7 = 53,9; 60 − 6,1 = 53,9; 53,9 : 53,9 = 1.
2) 9,89 − 7,39 = 2,5; 2,5 · 0,8 = 2; 4,31 + 5,69 = 10; 2 : 10 = 0,2.
Ответ: 1) 1; 2) 0,2.
2) 9,89 − 7,39 = 2,5; 2,5 · 0,8 = 2; 4,31 + 5,69 = 10; 2 : 10 = 0,2.
Ответ: 1) 1; 2) 0,2.