29. Сложение положительных и отрицательных чисел с помощью координатной прямой (упражнения 4.144–4.169) — с. 36
4.154. Вычислите. а) 2 : 4; · 3; − 1,2; : 0,1; ? б) 6 · 0,6; + 1,2; : 0,4; · 0,3; ? в) 1/3 − 1/6; : 1/2; · 3/7; ? г) 1/2 + 1/4; · 1 1/3; − 5/6; ?
а) 2 : 4 = 0,5; 0,5 · 3 = 1,5; 1,5 − 1,2 = 0,3; 0,3 : 0,1 = 3. Ответ: 3.
б) 6 · 0,6 = 3,6; 3,6 + 1,2 = 4,8; 4,8 : 0,4 = 12; 12 · 0,3 = 3,6. Ответ: 3,6.
в) 1/3 − 1/6 = 1/6; 1/6 : 1/2 = 1/3; 1/3 · 3/7 = 1/7. Ответ: 1/7.
г) 1/2 + 1/4 = 3/4; 3/4 · 1 1/3 = 1; 1 − 5/6 = 1/6. Ответ: 1/6.
б) 6 · 0,6 = 3,6; 3,6 + 1,2 = 4,8; 4,8 : 0,4 = 12; 12 · 0,3 = 3,6. Ответ: 3,6.
в) 1/3 − 1/6 = 1/6; 1/6 : 1/2 = 1/3; 1/3 · 3/7 = 1/7. Ответ: 1/7.
г) 1/2 + 1/4 = 3/4; 3/4 · 1 1/3 = 1; 1 − 5/6 = 1/6. Ответ: 1/6.
4.155. Найдите числа на координатной прямой, удалённые: а) от числа 3 на 7 единиц; б) от числа −2 на 5 единиц; в) от числа −13 на 2 единицы; г) от числа 9 на 11 единиц.
Прибавляем и вычитаем расстояние.
а) 3 + 7 = 10 и 3 − 7 = −4.
б) −2 + 5 = 3 и −2 − 5 = −7.
в) −13 + 2 = −11 и −13 − 2 = −15.
г) 9 + 11 = 20 и 9 − 11 = −2.
а) 3 + 7 = 10 и 3 − 7 = −4.
б) −2 + 5 = 3 и −2 − 5 = −7.
в) −13 + 2 = −11 и −13 − 2 = −15.
г) 9 + 11 = 20 и 9 − 11 = −2.
4.156. Найдите, сколько целых чисел между числами: а) −33 и 33; б) 40,3 и −40,3.
а) Целые числа от −32 до 32: 32 + 32 + 1 (нуль) = 65.
б) Целые числа от −40 до 40: 40 + 40 + 1 = 81.
б) Целые числа от −40 до 40: 40 + 40 + 1 = 81.
4.157. Какими могут быть числа −m и −(m): а) положительными; б) отрицательными; в) нулём?
Числа −m и −(m) равны между собой: оба равны числу, противоположному m.
а) Положительными — если m отрицательно (например, m = −3, тогда −m = 3).
б) Отрицательными — если m положительно (например, m = 5, тогда −m = −5).
в) Нулём — если m = 0.
Оговорка: запись «−(m)» на скане прочитана буквально; если имелось в виду −(−m) = m, то это число положительно при m > 0, отрицательно при m < 0 и равно нулю при m = 0.
а) Положительными — если m отрицательно (например, m = −3, тогда −m = 3).
б) Отрицательными — если m положительно (например, m = 5, тогда −m = −5).
в) Нулём — если m = 0.
Оговорка: запись «−(m)» на скане прочитана буквально; если имелось в виду −(−m) = m, то это число положительно при m > 0, отрицательно при m < 0 и равно нулю при m = 0.
4.158. Выполните сложение: а) |−9| + |−5|; б) |−4,5| + |−3,7|; в) |−5/11| + |−7/11|; г) |−1 5/9| + |−2 5/18|.
а) 9 + 5 = 14.
б) 4,5 + 3,7 = 8,2.
в) 5/11 + 7/11 = 12/11 = 1 1/11.
г) 1 5/9 + 2 5/18 = 1 10/18 + 2 5/18 = 3 15/18 = 3 5/6.
б) 4,5 + 3,7 = 8,2.
в) 5/11 + 7/11 = 12/11 = 1 1/11.
г) 1 5/9 + 2 5/18 = 1 10/18 + 2 5/18 = 3 15/18 = 3 5/6.
4.159. Какое из чисел меньше: а) −7,8 и −13,3; б) −7/11 и −8/11; в) −3/4 и −7/8; г) −3 7/8 и −3 6/7?
Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше.
а) −13,3 (13,3 > 7,8).
б) −8/11 (8/11 > 7/11).
в) −7/8, так как 3/4 = 6/8 < 7/8.
г) −3 7/8, так как 7/8 = 49/56 > 48/56 = 6/7.
а) −13,3 (13,3 > 7,8).
б) −8/11 (8/11 > 7/11).
в) −7/8, так как 3/4 = 6/8 < 7/8.
г) −3 7/8, так как 7/8 = 49/56 > 48/56 = 6/7.
4.160. На тренировке биатлонист попал в цель 168 раз. Сколько он сделал выстрелов, если 84 % всех выстрелов попали в цель?
168 попаданий — это 84 % всех выстрелов: 168 : 0,84 = 200.
Ответ: 200 выстрелов.
Ответ: 200 выстрелов.
4.161. На бобину намотано 150 м тесьмы. Сколько метров тесьмы осталось, если отрезали 15 % её длины?
Осталось 100 % − 15 % = 85 % длины: 150 · 0,85 = 127,5 м.
Ответ: 127,5 м.
Ответ: 127,5 м.
4.162. Вася подарил маме букет из 15 тюльпанов. Через некоторое время 6 тюльпанов завяли, и их выбросили. Сколько процентов всех тюльпанов осталось в букете?
Осталось 15 − 6 = 9 тюльпанов. 9 : 15 = 0,6 = 60 %.
Ответ: 60 %.
Ответ: 60 %.
4.163. Возможно ли занести в комнату шкаф через дверной проём высотой 2 м и шириной 70 см, если его высота 1,6 м, глубина составляет 50 % высоты, а длина — 125 % глубины?
Высота шкафа 1,6 м. Глубина: 1,6 · 0,5 = 0,8 м. Длина: 0,8 · 1,25 = 1 м.
Размеры шкафа: 1,6 м; 1 м; 0,8 м. Наименьший размер 0,8 м = 80 см больше ширины проёма 70 см, а проход шкафа через проём определяется двумя его размерами, которые должны уместиться в проёме (меньший из них не меньше 80 см).
Ответ: занести шкаф через такой проём невозможно.
Размеры шкафа: 1,6 м; 1 м; 0,8 м. Наименьший размер 0,8 м = 80 см больше ширины проёма 70 см, а проход шкафа через проём определяется двумя его размерами, которые должны уместиться в проёме (меньший из них не меньше 80 см).
Ответ: занести шкаф через такой проём невозможно.
4.164. Рассмотрите форму отдельных частей башен Московского Кремля. Есть ли среди них призмы, цилиндры, пирамиды, конусы?
Есть ли у этих башен элементы, размеры которых соответствуют золотому сечению?
Ответ даётся по фотографиям Арсенальной и Тайницкой башен.
Нижние части башен — прямые призмы (четырёхугольные, у Арсенальной башни — угловой, круглой в плане, часть напоминает цилиндр), верхние зелёные шатры — пирамиды (четырёх- или восьмигранные), у острых шпилей встречаются формы, близкие к конусу.
Золотое сечение — деление отрезка на части, где большая часть относится к меньшей примерно как 1,6 : 1 (а целое к большей — так же). Чтобы проверить, измеряют на фотографии высоту шатра и высоту нижней части (или ширину башни) и находят отношение; если оно около 1,6, то размеры соответствуют золотому сечению.
Оговорка: ответ описательный и зависит от выбранных фотографий; точные измерения фотографий не проводились.
Нижние части башен — прямые призмы (четырёхугольные, у Арсенальной башни — угловой, круглой в плане, часть напоминает цилиндр), верхние зелёные шатры — пирамиды (четырёх- или восьмигранные), у острых шпилей встречаются формы, близкие к конусу.
Золотое сечение — деление отрезка на части, где большая часть относится к меньшей примерно как 1,6 : 1 (а целое к большей — так же). Чтобы проверить, измеряют на фотографии высоту шатра и высоту нижней части (или ширину башни) и находят отношение; если оно около 1,6, то размеры соответствуют золотому сечению.
Оговорка: ответ описательный и зависит от выбранных фотографий; точные измерения фотографий не проводились.
4.165. Выполните действия: 1) 68,973 : 8,31 + 61,71 : ((18,61 − 17,93) · 1,5); 2) 64,124 : 7,82 + 73,32 : ((22,34 − 21,69) · 1,6). Проверьте результат вычислений с помощью калькулятора.
1) 68,973 : 8,31 = 8,3; 18,61 − 17,93 = 0,68; 0,68 · 1,5 = 1,02; 61,71 : 1,02 = 60,5; 8,3 + 60,5 = 68,8.
2) 64,124 : 7,82 = 8,2; 22,34 − 21,69 = 0,65; 0,65 · 1,6 = 1,04; 73,32 : 1,04 = 70,5; 8,2 + 70,5 = 78,7.
Ответ: 1) 68,8; 2) 78,7.
2) 64,124 : 7,82 = 8,2; 22,34 − 21,69 = 0,65; 0,65 · 1,6 = 1,04; 73,32 : 1,04 = 70,5; 8,2 + 70,5 = 78,7.
Ответ: 1) 68,8; 2) 78,7.