27. Сравнение положительных и отрицательных чисел (упражнения 4.91–4.123) — с. 26
4.104. Высота снежного покрова изменилась на z. Найдите значение z, если высота покрова: а) понизилась на 45 см; б) повысилась на 20 см; в) понизилась на 2 см; г) повысилась на 3 см.
Понижение обозначаем отрицательным числом, повышение — положительным.
а) z = −45 см.
б) z = 20 см.
в) z = −2 см.
г) z = 3 см.
а) z = −45 см.
б) z = 20 см.
в) z = −2 см.
г) z = 3 см.
4.105. На координатной прямой отмечены две точки: а) A(−6) и B(4); б) M(−3) и N(5). Какое расстояние между точками и какая из точек расположена дальше от начала отсчёта?
а) Расстояние между A и B: 6 + 4 = 10 единиц. |−6| = 6 > 4 = |4|, поэтому дальше от начала отсчёта точка A.
б) Расстояние между M и N: 3 + 5 = 8 единиц. 5 > 3, поэтому дальше от начала отсчёта точка N.
б) Расстояние между M и N: 3 + 5 = 8 единиц. 5 > 3, поэтому дальше от начала отсчёта точка N.
4.106. На улице температура n °C, а в автомобиле m °C. На сколько градусов температура на улице ниже, чем в автомобиле?
Решите задачу при: а) n = 12, m = 20; б) n = −11, m = 19.
Разность температур: m − n.
а) 20 − 12 = 8, на улице ниже на 8 °C.
б) 19 − (−11) = 19 + 11 = 30, на улице ниже на 30 °C.
а) 20 − 12 = 8, на улице ниже на 8 °C.
б) 19 − (−11) = 19 + 11 = 30, на улице ниже на 30 °C.
4.107. Назовите числа, модуль которых равен 3; 15,6; 4 41/42; 0; 1; −(−5).
Модуль a > 0 имеют числа a и −a; модуль 0 имеет только число 0.
Модуль 3: 3 и −3. Модуль 15,6: 15,6 и −15,6. Модуль 4 41/42: 4 41/42 и −4 41/42. Модуль 0: 0. Модуль 1: 1 и −1. Так как −(−5) = 5, модуль 5 имеют числа 5 и −5.
Модуль 3: 3 и −3. Модуль 15,6: 15,6 и −15,6. Модуль 4 41/42: 4 41/42 и −4 41/42. Модуль 0: 0. Модуль 1: 1 и −1. Так как −(−5) = 5, модуль 5 имеют числа 5 и −5.
4.108. Найдите координаты точек K, N и P, если известна координата точки R (рис. 4.21).
На рисунке O — начало отсчёта, R(−m). Расстояния RN, NO, OP и PK равны между собой (половина расстояния RO), то есть RO = m. Тогда N(−m/2), P(m/2), K(m).
Оговорка: равенство расстояний определено по рисунку.
Оговорка: равенство расстояний определено по рисунку.
4.109. Старинная задача. У первого купца было 520 рублей и он был должен второму 170 рублей. У второго купца было 760 рублей и он был должен первому 250 рублей. Сколько денег останется у каждого купца после расчётов?
Сформулируйте задачу, используя понятие отрицательного числа.
Первый купец: 520 − 170 + 250 = 600 р.
Второй купец: 760 + 170 − 250 = 680 р.
Проверка: 600 + 680 = 1280 = 520 + 760.
Формулировка с отрицательными числами: у первого купца 520 р., а его долг второму — это −170 р.; у второго купца 760 р., а его долг первому — это −250 р. Найдите, сколько денег будет у каждого купца после расчётов.
Второй купец: 760 + 170 − 250 = 680 р.
Проверка: 600 + 680 = 1280 = 520 + 760.
Формулировка с отрицательными числами: у первого купца 520 р., а его долг второму — это −170 р.; у второго купца 760 р., а его долг первому — это −250 р. Найдите, сколько денег будет у каждого купца после расчётов.
4.110. Найдите несколько значений n, при которых равенство n + |n| = 0: а) верно; б) неверно.
а) Равенство верно, когда n ≤ 0, так как для отрицательного n выполнено |n| = −n и n + (−n) = 0. Например, n = −1; −3,5; −10; 0.
б) Равенство неверно, когда n > 0, так как тогда n + |n| = 2n ≠ 0. Например, n = 1; 4; 0,5.
б) Равенство неверно, когда n > 0, так как тогда n + |n| = 2n ≠ 0. Например, n = 1; 4; 0,5.
4.111. В каком веке возник каждый из городов, если в 2021 г. возраст Москвы составлял 874 года, Санкт-Петербурга — 318 лет, Пскова — 1118 лет, Великого Новгорода — 1162 года, Тобольска — 434 года, Дербента — 1350 лет, Керчи — 2621 год, Севастополя — 238 лет, Хабаровска — 163 года?
Найдите эти города на карте России.
Год основания: 2021 минус возраст.
Москва: 2021 − 874 = 1147 г. — XII в.
Санкт-Петербург: 2021 − 318 = 1703 г. — XVIII в.
Псков: 2021 − 1118 = 903 г. — X в.
Великий Новгород: 2021 − 1162 = 859 г. — IX в.
Тобольск: 2021 − 434 = 1587 г. — XVI в.
Дербент: 2021 − 1350 = 671 г. — VII в.
Керчь: 2021 − 2621 = −600, то есть 600 г. до н. э. — VI в. до н. э.
Севастополь: 2021 − 238 = 1783 г. — XVIII в.
Хабаровск: 2021 − 163 = 1858 г. — XIX в.
Поиск городов на карте выполняется по атласу.
Москва: 2021 − 874 = 1147 г. — XII в.
Санкт-Петербург: 2021 − 318 = 1703 г. — XVIII в.
Псков: 2021 − 1118 = 903 г. — X в.
Великий Новгород: 2021 − 1162 = 859 г. — IX в.
Тобольск: 2021 − 434 = 1587 г. — XVI в.
Дербент: 2021 − 1350 = 671 г. — VII в.
Керчь: 2021 − 2621 = −600, то есть 600 г. до н. э. — VI в. до н. э.
Севастополь: 2021 − 238 = 1783 г. — XVIII в.
Хабаровск: 2021 − 163 = 1858 г. — XIX в.
Поиск городов на карте выполняется по атласу.
4.112. Вычислите значение выражения: а) |a| + |c| при a = −63,6, c = 61,9; б) |a| − |c| при a = −73,2, c = −5,8.
а) |−63,6| + |61,9| = 63,6 + 61,9 = 125,5.
б) |−73,2| − |−5,8| = 73,2 − 5,8 = 67,4.
б) |−73,2| − |−5,8| = 73,2 − 5,8 = 67,4.
4.113. Модуль какого из двух чисел меньше: а) −5,923 и −5,931; б) 5/14 и 0,32; в) −4 3/8 и 3 3/4; г) −7/15 и −9/20?
а) 5,923 < 5,931: меньше модуль у −5,923.
б) 5/14 ≈ 0,357 > 0,32: меньше модуль у 0,32.
в) 4 3/8 = 4,375 > 3,75: меньше модуль у 3 3/4.
г) 7/15 = 28/60 > 27/60 = 9/20: меньше модуль у −9/20.
б) 5/14 ≈ 0,357 > 0,32: меньше модуль у 0,32.
в) 4 3/8 = 4,375 > 3,75: меньше модуль у 3 3/4.
г) 7/15 = 28/60 > 27/60 = 9/20: меньше модуль у −9/20.
4.114. Развивай воображение. Куб можно составить из одинаковых четырёхугольных пирамид (рис. 4.22). У этих пирамид общая вершина O, а основания — грани куба. а) Сколько пирамид на рисунке? б) Найдите объём пирамиды, если ребро куба равно 1,8 дм. в) Найдите ребро куба, если объём пирамиды равен 1/48 дм³.
а) У куба 6 граней, у каждой пирамиды основание — одна грань, значит пирамид 6.
б) Объём куба: 1,8³ = 5,832 дм³. Объём пирамиды: 5,832 : 6 = 0,972 дм³.
в) Объём куба: 6 · 1/48 = 1/8 дм³. Ребро куба: 1/2 дм = 0,5 дм, так как (1/2)³ = 1/8.
б) Объём куба: 1,8³ = 5,832 дм³. Объём пирамиды: 5,832 : 6 = 0,972 дм³.
в) Объём куба: 6 · 1/48 = 1/8 дм³. Ребро куба: 1/2 дм = 0,5 дм, так как (1/2)³ = 1/8.