26. Модуль числа (упражнения 4.62–4.90) — с. 21
4.67. Точка K лежит правее начала отсчёта на 9,7 единицы, а точка B — левее на 1,6 единицы. Найдите координату каждой точки и модуль каждой координаты.
Точка правее начала отсчёта имеет положительную координату, левее — отрицательную.
K(9,7): |9,7| = 9,7.
B(−1,6): |−1,6| = 1,6.
K(9,7): |9,7| = 9,7.
B(−1,6): |−1,6| = 1,6.
4.68. Назовите: а) положительные числа, модули которых равны 19, 1, 21/55 и 4,9; б) отрицательные числа, модули которых равны 43, 9/13, 5,6 и 1.
а) Модуль положительного числа равен самому числу: 19; 1; 21/55; 4,9.
б) Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, поэтому числа: −43; −9/13; −5,6; −1.
б) Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, поэтому числа: −43; −9/13; −5,6; −1.
4.69. Найдите все числа, модуль которых равен: а) 38; б) 0; в) 5 1/3; г) 17/19; д) 9,3.
Модуль равен a > 0 у двух чисел: a и −a; модуль равен 0 только у нуля.
а) 38 и −38.
б) 0.
в) 5 1/3 и −5 1/3.
г) 17/19 и −17/19.
д) 9,3 и −9,3.
а) 38 и −38.
б) 0.
в) 5 1/3 и −5 1/3.
г) 17/19 и −17/19.
д) 9,3 и −9,3.
4.70. Отметьте на координатной прямой числа, модули которых равны 4, 5 2/3, 3 1/4, 2,5.
Каждому модулю соответствуют два числа, расположенные симметрично относительно нуля: ±4; ±5 2/3; ±3 1/4; ±2,5 (рисунок).
4.71. Запишите множество точек с координатой x, если: а) |x| = 3; б) |x| = 7,2; в) |x| = 1 2/5; г) |x| = 0.
а) {−3; 3}.
б) {−7,2; 7,2}.
в) {−1 2/5; 1 2/5}.
г) {0}.
б) {−7,2; 7,2}.
в) {−1 2/5; 1 2/5}.
г) {0}.
4.72. Решите уравнение: а) |x| = 8,1; б) |x| = 7; в) |x| = 0; г) |x| = 5/12; д) |x| = −1.
а) x = 8,1 или x = −8,1.
б) x = 7 или x = −7.
в) x = 0.
г) x = 5/12 или x = −5/12.
д) корней нет, так как модуль не может быть отрицательным.
б) x = 7 или x = −7.
в) x = 0.
г) x = 5/12 или x = −5/12.
д) корней нет, так как модуль не может быть отрицательным.
4.73. Чему равен |−n|, если |n| = 9?
Модули противоположных чисел равны: |−n| = |n| = 9.
4.74. Расположите числа в порядке возрастания их модулей: −4,81; −9,53; −4,21; 0; −900,2; 0,423; 5 7/10.
Модули: 4,81; 9,53; 4,21; 0; 900,2; 0,423; 5,7. Расставим их по возрастанию: 0 < 0,423 < 4,21 < 4,81 < 5,7 < 9,53 < 900,2.
Ответ: 0; 0,423; −4,21; −4,81; 5 7/10; −9,53; −900,2.
Ответ: 0; 0,423; −4,21; −4,81; 5 7/10; −9,53; −900,2.
4.75.
1. Из чисел выберите то, модуль которого меньше: а) −239 и −329; б) −3,1 и 1,7; в) 0 и −4,6; г) 2/3 и −3/4; д) −1,2, 1 1/5, 7/6 и 1; е) −2 1/7, 2 1/10, −2 1/11 и 2 1/8.
2. Найдите значение выражения: а) |2x − 6| − 2x при x = 2; б) |3x − 8| − 3x при x = 2; в) |6 + 4x| − 5x при x = −3; г) |7 + 5x| − 4x при x = −2.
1) а) |−239| = 239 < 329: число −239.
б) 1,7 < 3,1: число 1,7.
в) |0| = 0: число 0.
г) 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12: меньший модуль у 2/3.
д) модули: 1,2; 1,2; 7/6 ≈ 1,17; 1. Наименьший у числа 1.
е) модули: 2 1/7 ≈ 2,143; 2 1/10 = 2,1; 2 1/11 ≈ 2,091; 2 1/8 = 2,125. Наименьший у числа −2 1/11.
2) а) |4 − 6| − 4 = 2 − 4 = −2.
б) |6 − 8| − 6 = 2 − 6 = −4.
в) |6 − 12| − 5 · (−3) = 6 + 15 = 21.
г) |7 − 10| − 4 · (−2) = 3 + 8 = 11.
б) 1,7 < 3,1: число 1,7.
в) |0| = 0: число 0.
г) 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12: меньший модуль у 2/3.
д) модули: 1,2; 1,2; 7/6 ≈ 1,17; 1. Наименьший у числа 1.
е) модули: 2 1/7 ≈ 2,143; 2 1/10 = 2,1; 2 1/11 ≈ 2,091; 2 1/8 = 2,125. Наименьший у числа −2 1/11.
2) а) |4 − 6| − 4 = 2 − 4 = −2.
б) |6 − 8| − 6 = 2 − 6 = −4.
в) |6 − 12| − 5 · (−3) = 6 + 15 = 21.
г) |7 − 10| − 4 · (−2) = 3 + 8 = 11.
4.76. Вычислите. а) 2/7 · 7/4; + 1/2; − 5/8; : 3; ? б) 14 · 1/7; − 1/3; : 5; + 2/3; ? в) 6/11 : 2/11; · 1/6; + 1/2; : 2; ? г) 6 : 12; · 1,6; − 0,35; + 0,15; : 4; ?
а) 2/7 · 7/4 = 1/2; 1/2 + 1/2 = 1; 1 − 5/8 = 3/8; 3/8 : 3 = 1/8. Ответ: 1/8.
б) 14 · 1/7 = 2; 2 − 1/3 = 1 2/3; 1 2/3 : 5 = 1/3; 1/3 + 2/3 = 1. Ответ: 1.
в) 6/11 : 2/11 = 3; 3 · 1/6 = 1/2; 1/2 + 1/2 = 1; 1 : 2 = 1/2. Ответ: 1/2.
г) 6 : 12 = 0,5; 0,5 · 1,6 = 0,8; 0,8 − 0,35 = 0,45; 0,45 + 0,15 = 0,6; 0,6 : 4 = 0,15. Ответ: 0,15.
б) 14 · 1/7 = 2; 2 − 1/3 = 1 2/3; 1 2/3 : 5 = 1/3; 1/3 + 2/3 = 1. Ответ: 1.
в) 6/11 : 2/11 = 3; 3 · 1/6 = 1/2; 1/2 + 1/2 = 1; 1 : 2 = 1/2. Ответ: 1/2.
г) 6 : 12 = 0,5; 0,5 · 1,6 = 0,8; 0,8 − 0,35 = 0,45; 0,45 + 0,15 = 0,6; 0,6 : 4 = 0,15. Ответ: 0,15.
4.77. Для множества A = {−(−19); −21; 1/5; −19; 21; −1/19; −1/5; 1/19} составьте: а) подмножество B, состоящее из противоположных чисел; б) подмножество C, состоящее из взаимно обратных чисел.
Сначала упростим: −(−19) = 19. Тогда A = {19; −21; 1/5; −19; 21; −1/19; −1/5; 1/19}.
а) Противоположные пары: 19 и −19; 21 и −21; 1/5 и −1/5; 1/19 и −1/19. Например, B = {19; −19; 21; −21; 1/5; −1/5; 1/19; −1/19} (это всё множество A); можно взять и меньше, например {19; −19}.
б) Взаимно обратные числа (произведение равно 1): 19 и 1/19 (19 · 1/19 = 1); −19 и −1/19 ((−19) · (−1/19) = 1). Например, C = {19; 1/19; −19; −1/19}.
Оговорка: в условии подмножества можно выбирать по-разному, дан наибольший вариант.
а) Противоположные пары: 19 и −19; 21 и −21; 1/5 и −1/5; 1/19 и −1/19. Например, B = {19; −19; 21; −21; 1/5; −1/5; 1/19; −1/19} (это всё множество A); можно взять и меньше, например {19; −19}.
б) Взаимно обратные числа (произведение равно 1): 19 и 1/19 (19 · 1/19 = 1); −19 и −1/19 ((−19) · (−1/19) = 1). Например, C = {19; 1/19; −19; −1/19}.
Оговорка: в условии подмножества можно выбирать по-разному, дан наибольший вариант.
4.78. Отметьте на координатной прямой целые значения n, при которых верно неравенство: а) |n| < 5,6; б) |n| ≤ 3,2; в) 2 < |n| < 7,1; г) 2 ≤ n < 7,1.
а) |n| < 5,6 — целые n от −5 до 5.
б) |n| ≤ 3,2 — целые n от −3 до 3.
в) 2 < |n| < 7,1 — целые n: ±3, ±4, ±5, ±6, ±7.
г) 2 ≤ n < 7,1 — целые n от 2 до 7 (это условие на само число n, а не на модуль).
Точки отмечены на рисунке.
б) |n| ≤ 3,2 — целые n от −3 до 3.
в) 2 < |n| < 7,1 — целые n: ±3, ±4, ±5, ±6, ±7.
г) 2 ≤ n < 7,1 — целые n от 2 до 7 (это условие на само число n, а не на модуль).
Точки отмечены на рисунке.