Математика · 6 КЛАСС

Упражнение П.83-П.97, часть 2 — Задачи на повторение (П.1–П.113)

Страница 135 · Учебник Виленкин 6 класс · Часть 2

Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов · Просвещение, 2023 · 3-е издание, переработанное

Оглавление

Задачи на повторение (П.1–П.113) — с. 135

Задачи на повторение. П.83. Найдите все делители числа 84 и числа 180.
Делители 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
Делители 180: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.
Задачи на повторение. П.84. Найдите все двузначные числа, кратные числу 13; кратные числу 34.
Кратные 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. Кратные 34: 34, 68.
Задачи на повторение. П.85. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) прямая; г) разносторонний треугольник; д) равносторонний треугольник; е) квадрат; ж) прямоугольник; з) окружность; и) круг? Если фигуры имеют центр симметрии, изобразите их в тетради.
а) Да — середина отрезка.
б) Нет.
в) Да — любая точка прямой.
г) Нет.
д) Нет (у равностороннего треугольника три оси, но центра симметрии нет).
е) Да — точка пересечения диагоналей.
ж) Да — точка пересечения диагоналей.
з) Да — центр окружности.
и) Да — центр круга.
Центры показаны красными точками (рисунок).
К П.85: центр симметрииа)б)е)ж)з), и)в) прямая — центром служит любая её точка; г), д) центра нет
Задачи на повторение. П.86. С одной полки сняли 8 книг, а на другую положили 32 книги. На полках стало книг поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально, если на одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой?
Книги сняли с полки, на которой было больше (иначе поровну не станет): пусть на другой полке x книг, на первой 3x. 3x − 8 = x + 32; 2x = 40; x = 20; 3x = 60.
Проверка: 60 − 8 = 52 и 20 + 32 = 52.
Ответ: 60 и 20 книг.
Задачи на повторение. П.87. Отрезок MN на 5 см меньше отрезка PQ. Если отрезок PQ увеличить на 7 см, а отрезок MN увеличить в 4 раза, то их длины будут равны. Найдите длины отрезков.
Пусть PQ = x см, MN = x − 5. x + 7 = 4(x − 5); x + 7 = 4x − 20; 3x = 27; x = 9. MN = 4 см.
Проверка: 9 + 7 = 16 = 4 · 4.
Ответ: PQ = 9 см, MN = 4 см.
Задачи на повторение. П.88. В первой банке в 3 раза больше мёда, чем во второй. Если из первой переложить 2 кг во вторую, то мёда в банках будет поровну. Сколько мёда в каждой банке?
Пусть во второй банке x кг, в первой 3x. 3x − 2 = x + 2; 2x = 4; x = 2.
Ответ: в первой банке 6 кг, во второй 2 кг (после перекладывания по 4 кг).
Задачи на повторение. П.89. Постройте на координатной плоскости треугольник ABC с вершинами A(−6; −4), B(−2; 6), C(7; 2). Измерьте стороны и углы треугольника. Найдите по рисунку координаты середины стороны AC. Обладает ли треугольник ABC симметрией?
Строим треугольник (рисунок; единичный отрезок — 1 см). Измерения (приближённо): AB ≈ 10,8 см, BC ≈ 9,8 см, AC ≈ 14,3 см; ∠A ≈ 43°, ∠B ≈ 88°, ∠C ≈ 49° (сумма 180°). Эти значения совпадают с расчётом по координатам (√116, √97, √205; 43,4°, 87,8°, 48,7°).
Середина AC: ((−6 + 7)/2; (−4 + 2)/2) = (0,5; −1).
Треугольник разносторонний и не равнобедренный, поэтому осей симметрии он не имеет; центра симметрии у треугольника тоже нет.
Оговорка: результаты измерений зависят от точности построения (±1–2° и ±1–2 мм).
К П.89: треугольник ABCxy−8−6−4−22468−6−4−224680A(−6; −4)B(−2; 6)C(7; 2)(0,5; −1)
Задачи на повторение. П.90. На координатной плоскости отметьте точку C(4; 4) и начертите отрезок DE, если D(−5; 5) и E(−2; −3). Проведите через точку C прямую NK, перпендикулярную прямой DE, и прямую AP, параллельную прямой DE.
Отрезок DE идёт «вниз на 8 при сдвиге на 3 вправо». Прямая AP ∥ DE проходит через C(4; 4) с тем же наклоном — например, через точки (5,5; 0) и (2,5; 8). Прямая NK ⟂ DE проходит через C с наклоном «вверх на 3 при сдвиге на 8 вправо» — например, через точки (12; 7) и (−4; 1). На практике обе прямые строят чертёжным треугольником и линейкой (рисунок).
К П.90: перпендикуляр и параллельxy−8−6−4−2246810−6−4−224680DEC(4; 4)NKAP
Задачи на повторение. П.91. На координатной плоскости постройте треугольник ABC с вершинами A(−3; −6), B(2; −4) и C(−3; −4). Используя рисунок, найдите координаты точек, в которых стороны треугольника пересекают оси координат.
Сторона AC лежит на прямой x = −3 (от y = −6 до y = −4), BC — на прямой y = −4 (от x = −3 до x = 2). Ось y пересекают стороны BC — в точке (0; −4) и AB — в точке (0; −4,8) (AB: y = −6 + 0,4(x + 3)). Ось x стороны не пересекают, так как все точки треугольника расположены ниже неё.
Ответ: (0; −4) и (0; −4,8).
К П.91: треугольник ABCxy−5−4−3−2−11234−8−7−6−5−4−3−2−1120A(−3; −6)B(2; −4)C(−3; −4)(0; −4)(0; −4,8)
Задачи на повторение. П.92. Отметьте на координатной плоскости точку M(0; 6). Проведите окружность с центром M радиусом 10 единичных отрезков. Используя рисунок, найдите координаты точек пересечения окружности с осями координат.
С осью y: (0; 6 + 10) = (0; 16) и (0; 6 − 10) = (0; −4). С осью x: x² + 36 = 100, x = ±8: (−8; 0) и (8; 0. (рисунок).
К П.92: окружностьxy−10−8−6−4−2246810−6−4−22468101214160M(0; 6)(−8; 0)(8; 0)(0; 16)(0; −4)
Задачи на повторение. П.93. Найдите корень уравнения: а) 0,8 · (9 + 2x) = 0,5 · (2 − 3x); б) 0,5 · (x + 3) = 0,8 · (10 − x); в) 4,2 : 12,6 = z : 6/7; г) n : 10 = 1 3/7 : 5 5/7.
а) 7,2 + 1,6x = 1 − 1,5x; 3,1x = −6,2; x = −2.
б) 0,5x + 1,5 = 8 − 0,8x; 1,3x = 6,5; x = 5.
в) 4,2 : 12,6 = 1/3; z : 6/7 = 1/3; z = 6/7 · 1/3 = 2/7.
г) 1 3/7 : 5 5/7 = 10/7 : 40/7 = 1/4; n : 10 = 1/4; n = 2,5.
Задачи на повторение. П.94. Сколько получится сухофруктов из 3944,5 кг яблок, если при сушке получают 18 % сухофруктов? (Ответ округлите до целых.)
3944,5 · 0,18 = 710,01 ≈ 710 кг.
Ответ: примерно 710 кг сухофруктов.
Задачи на повторение. П.95. В обувном магазине обувь для детей составляет 49,6 % всех пар обуви. Остальная обувь для взрослых. Сколько всего пар обуви в магазине, если для взрослых 1008 пар?
Обувь для взрослых — 100 % − 49,6 % = 50,4 %. 1008 : 0,504 = 2000.
Ответ: 2000 пар.
Задачи на повторение. П.96. Туристы шли по лесу 50 % маршрута, 13 % — по лугу, а остальные 22,2 км плыли по реке. Сколько километров маршрута составлял маршрут по лесу и сколько по лугу?
На реку приходится 100 % − 50 % − 13 % = 37 % маршрута, это 22,2 км. Весь маршрут 22,2 : 0,37 = 60 км. По лесу 60 · 0,5 = 30 км, по лугу 60 · 0,13 = 7,8 км.
Ответ: 30 км и 7,8 км.
Задачи на повторение. П.97. Типография в первый день напечатала 40 % всех книг из заказа, во второй день — 15 % всех книг, в третий день — остальные 135 книг. Сколько книг напечатала типография в первый день?
Остальные книги — 100 % − 40 % − 15 % = 45 %; это 135 книг. Весь заказ 135 : 0,45 = 300. В первый день 300 · 0,4 = 120 книг.
Ответ: 120 книг.