Задачи на повторение (П.1–П.113) — с. 130
Задачи на повторение. П.25. Сравните площадь круга, радиус которого 2 см, и площадь прямоугольника со сторонами 5,148 см и 0,237 дм.
Площадь круга S = πR² ≈ 3,14 · 2² = 12,56 см². Сторона прямоугольника 0,237 дм = 2,37 см; его площадь 5,148 · 2,37 ≈ 12,2 см² (точно 12,20076 см²).
Площадь круга больше площади прямоугольника (12,56 > 12,2).
Площадь круга больше площади прямоугольника (12,56 > 12,2).
Задачи на повторение. П.26. Какой коэффициент у выражения: а) 5a; б) −2,5y; в) n; г) −z; д) −4,5x · 4y?
а) 5. б) −2,5. в) 1 (n = 1 · n). г) −1. д) −4,5x · 4y = −18xy, коэффициент −18.
Задачи на повторение. П.27. Какие правила применяются для решения уравнения: а) 4z + 23,5 = 3z; б) −5z = 13 1/8?
а) Правило переноса слагаемых: слагаемые с неизвестным переносят в одну часть, а числа — в другую, меняя знак: 4z − 3z = −23,5; z = −23,5. Здесь также приводят подобные слагаемые.
б) Правило нахождения неизвестного множителя: неизвестный множитель равен произведению, делённому на известный множитель: z = 13 1/8 : (−5) = 105/8 · (−1/5) = −21/8 = −2 5/8.
б) Правило нахождения неизвестного множителя: неизвестный множитель равен произведению, делённому на известный множитель: z = 13 1/8 : (−5) = 105/8 · (−1/5) = −21/8 = −2 5/8.
Задачи на повторение. П.28. Найдите значение выражения: а) 20/31 · (10 1/5 : 1 2/15 − 2 4/9 + 3 7/9) − 2 5/6; б) (2 1/15 − 1 5/9 : 2 1/3 + 1 2/5) · 2 6/7 − 3 1/7; в) 25,48 · 3 1/4 − (3,75 − 2 1/6) : 1/6; г) 15/16 : 0,375 + 1,872 : 9/25 + 1,5 · 3 4/5.
а) 10 1/5 : 1 2/15 = 51/5 · 15/17 = 9; 9 − 2 4/9 + 3 7/9 = 10 1/3 = 31/3; 20/31 · 31/3 = 20/3; 20/3 − 2 5/6 = 40/6 − 17/6 = 23/6 = 3 5/6.
б) 1 5/9 : 2 1/3 = 14/9 · 3/7 = 2/3; 2 1/15 − 2/3 + 1 2/5 = 31/15 − 10/15 + 21/15 = 42/15 = 14/5; 14/5 · 20/7 = 8; 8 − 3 1/7 = 4 6/7.
в) 25,48 · 3,25 = 82,81; 3,75 − 2 1/6 = 1 7/12; 1 7/12 : 1/6 = 19/12 · 6 = 9,5; 82,81 − 9,5 = 73,31.
г) 15/16 : 0,375 = 15/16 · 8/3 = 2,5; 1,872 : 9/25 = 1,872 · 25/9 = 5,2; 1,5 · 3,8 = 5,7; 2,5 + 5,2 + 5,7 = 13,4.
б) 1 5/9 : 2 1/3 = 14/9 · 3/7 = 2/3; 2 1/15 − 2/3 + 1 2/5 = 31/15 − 10/15 + 21/15 = 42/15 = 14/5; 14/5 · 20/7 = 8; 8 − 3 1/7 = 4 6/7.
в) 25,48 · 3,25 = 82,81; 3,75 − 2 1/6 = 1 7/12; 1 7/12 : 1/6 = 19/12 · 6 = 9,5; 82,81 − 9,5 = 73,31.
г) 15/16 : 0,375 = 15/16 · 8/3 = 2,5; 1,872 : 9/25 = 1,872 · 25/9 = 5,2; 1,5 · 3,8 = 5,7; 2,5 + 5,2 + 5,7 = 13,4.
Задачи на повторение. П.29. Вычислите значение выражения при a = 3, a = −3, a = 1/3: а) 3a³; б) −1/9 a²; в) 2/3 a²; г) −1/3 a³.
а) a = 3: 3 · 27 = 81; a = −3: 3 · (−27) = −81; a = 1/3: 3 · 1/27 = 1/9.
б) a = 3: −1/9 · 9 = −1; a = −3: −1; a = 1/3: −1/9 · 1/9 = −1/81.
в) a = 3: 2/3 · 9 = 6; a = −3: 6; a = 1/3: 2/3 · 1/9 = 2/27.
г) a = 3: −1/3 · 27 = −9; a = −3: −1/3 · (−27) = 9; a = 1/3: −1/3 · 1/27 = −1/81.
Оговорка: степени (³ и ²) считаны по мелкому шрифту скана.
б) a = 3: −1/9 · 9 = −1; a = −3: −1; a = 1/3: −1/9 · 1/9 = −1/81.
в) a = 3: 2/3 · 9 = 6; a = −3: 6; a = 1/3: 2/3 · 1/9 = 2/27.
г) a = 3: −1/3 · 27 = −9; a = −3: −1/3 · (−27) = 9; a = 1/3: −1/3 · 1/27 = −1/81.
Оговорка: степени (³ и ²) считаны по мелкому шрифту скана.
Задачи на повторение. П.30. Упростите выражение и найдите его значение при a = −2 3/5: а) −9 · (1/9 − 1/3 a) − 4 · (1 − 1 1/4 a); б) −4 · (1/4 − 1/2 a) − 3 · (1 − 4 2/3 a).
а) −9 · 1/9 + 9 · 1/3 a − 4 + 4 · 5/4 a = −1 + 3a − 4 + 5a = 8a − 5. При a = −13/5: 8 · (−13/5) − 5 = −104/5 − 25/5 = −129/5 = −25 4/5.
б) −1 + 2a − 3 + 3 · 14/3 a = −1 + 2a − 3 + 14a = 16a − 4. При a = −13/5: −208/5 − 20/5 = −228/5 = −45 3/5.
б) −1 + 2a − 3 + 3 · 14/3 a = −1 + 2a − 3 + 14a = 16a − 4. При a = −13/5: −208/5 − 20/5 = −228/5 = −45 3/5.
Задачи на повторение. П.31. Решите уравнение: 1) 7 · (x − 4) − 7 = 8 · (x − 4); 2) 6 · (x − 7) + 13x = 7 · (2x − 6) + 27;
3. (1,3y − 5,9) · (−3,5) = 6,8y − 11,13; 4) 1,2 · (z − 2,1) = 1,3 · (z − 1,6) − 0,52.
1) 7x − 28 − 7 = 8x − 32; 7x − 35 = 8x − 32; −3 = x; x = −3.
2) 6x − 42 + 13x = 14x − 42 + 27; 19x − 42 = 14x − 15; 5x = 27; x = 5,4.
3) −4,55y + 20,65 = 6,8y − 11,13; 31,78 = 11,35y; y = 2,8.
4) 1,2z − 2,52 = 1,3z − 2,08 − 0,52; 1,2z − 2,52 = 1,3z − 2,6; 0,08 = 0,1z; z = 0,8.
2) 6x − 42 + 13x = 14x − 42 + 27; 19x − 42 = 14x − 15; 5x = 27; x = 5,4.
3) −4,55y + 20,65 = 6,8y − 11,13; 31,78 = 11,35y; y = 2,8.
4) 1,2z − 2,52 = 1,3z − 2,08 − 0,52; 1,2z − 2,52 = 1,3z − 2,6; 0,08 = 0,1z; z = 0,8.
Задачи на повторение. П.32. Корзинка с двумя одинаковыми дынями имеет массу 9 кг. Найдите массу дыни, если её масса больше массы корзинки на 3 кг.
Пусть корзинка весит b кг, тогда дыня b + 3. b + 2(b + 3) = 9; 3b = 3; b = 1. Масса дыни 1 + 3 = 4 кг.
Проверка: 1 + 2 · 4 = 9.
Ответ: 4 кг.
Проверка: 1 + 2 · 4 = 9.
Ответ: 4 кг.
Задачи на повторение. П.33. Два автобуса и маршрутное такси могут перевезти 106 человек. Маршрутное такси может перевезти на 29 человек меньше, чем автобус. Сколько человек может перевезти автобус?
Пусть автобус перевозит x человек, такси x − 29. 2x + x − 29 = 106; 3x = 135; x = 45.
Ответ: 45 человек (такси — 16).
Ответ: 45 человек (такси — 16).
Задачи на повторение. П.34. За три дня автобус проехал 1520 км. Во второй день он проехал на 80 км меньше, чем в первый, а в третий — в 2 раза больше, чем во второй. Сколько километров проехал автобус в первый день?
Пусть в первый день x км, во второй x − 80, в третий 2(x − 80). x + (x − 80) + 2(x − 80) = 1520; 4x − 240 = 1520; x = 440.
Проверка: 440 + 360 + 720 = 1520.
Ответ: 440 км.
Проверка: 440 + 360 + 720 = 1520.
Ответ: 440 км.
Задачи на повторение. П.35. Миша прочитал два рассказа и повесть. Второй рассказ был в 3 раза больше первого рассказа, а первый рассказ — на 175 страниц меньше повести. Сколько страниц в каждом рассказе и повести, если Миша прочитал 215 страниц?
Пусть в первом рассказе s страниц, во втором 3s, в повести s + 175. s + 3s + s + 175 = 215; 5s = 40; s = 8.
Первый рассказ 8 страниц, второй 24, повесть 183. Проверка: 8 + 24 + 183 = 215.
Первый рассказ 8 страниц, второй 24, повесть 183. Проверка: 8 + 24 + 183 = 215.
Задачи на повторение. П.36. Найдите корень уравнения: а) 3/7 x + 5 1/2 x − 7 3/4 = 1 − 4/7 x + 5 1/4 x; б) 5 − 2 1/3 z + 4 4/9 z = 7 1/2 z − 6 5/12 z + 6 1/3; в) 4 · (2/7 n + 1) + 2 1/2 = 6 − 1/3 · (6/7 n − 3); г) 2 − (1 1/3 p + 1/7) · 21 = 4 1/4 p − 6 3/8.
а) Слева (3/7 + 11/2)x − 31/4, справа 1 + (21/4 − 4/7)x. Переносим: (3/7 + 4/7)x + (11/2 − 21/4)x = 1 + 31/4; x + 1/4 x = 35/4; 5/4 x = 35/4; x = 7.
б) 5 + (−7/3 + 40/9)z = (15/2 − 77/12)z + 19/3; 5 + 19/9 z = 13/12 z + 19/3; (19/9 − 13/12)z = 19/3 − 5; 37/36 z = 4/3; z = 48/37 = 1 11/37.
в) 8/7 n + 4 + 5/2 = 6 − 2/7 n + 1; 8/7 n + 2/7 n = 7 − 13/2; 10/7 n = 1/2; n = 7/20 = 0,35.
г) 2 − 28 p − 3 = 17/4 p − 51/8; −28 p − 17/4 p = −51/8 + 1; −129/4 p = −43/8; p = 1/6.
Оговорка: в пункте б) корень получился не целым; запись коэффициентов проверена по скану.
б) 5 + (−7/3 + 40/9)z = (15/2 − 77/12)z + 19/3; 5 + 19/9 z = 13/12 z + 19/3; (19/9 − 13/12)z = 19/3 − 5; 37/36 z = 4/3; z = 48/37 = 1 11/37.
в) 8/7 n + 4 + 5/2 = 6 − 2/7 n + 1; 8/7 n + 2/7 n = 7 − 13/2; 10/7 n = 1/2; n = 7/20 = 0,35.
г) 2 − 28 p − 3 = 17/4 p − 51/8; −28 p − 17/4 p = −51/8 + 1; −129/4 p = −43/8; p = 1/6.
Оговорка: в пункте б) корень получился не целым; запись коэффициентов проверена по скану.