Задачи на повторение (П.1–П.113) — с. 129
Задачи на повторение. П.14. Нарисуйте фигуру, имеющую: а) ось симметрии; б) центр симметрии; в) ось симметрии и центр симметрии; г) четыре оси симметрии.
а) Равнобедренный треугольник — одна ось симметрии, центра нет.
б) Параллелограмм (не прямоугольник и не ромб) — центр симметрии (точка пересечения диагоналей), осей нет.
в) Прямоугольник — две оси и центр симметрии.
г) Квадрат — четыре оси симметрии.
Примеры на рисунке.
б) Параллелограмм (не прямоугольник и не ромб) — центр симметрии (точка пересечения диагоналей), осей нет.
в) Прямоугольник — две оси и центр симметрии.
г) Квадрат — четыре оси симметрии.
Примеры на рисунке.
Задачи на повторение. П.15. За три дня яхта прошла 193 км. Найдите, сколько километров проходила яхта каждый день, если во второй день она прошла 6/7, а в третий — 90 % расстояния, пройденного за первый день.
Пусть в первый день яхта прошла x км. Во второй день 6/7 x, в третий 0,9x. x + 6/7 x + 0,9x = 193; (1 + 6/7 + 0,9)x = 193; 2 99/70 x = 193; 193/70 x = 193; x = 70.
Первый день 70 км, второй 70 · 6/7 = 60 км, третий 70 · 0,9 = 63 км. Проверка: 70 + 60 + 63 = 193.
Первый день 70 км, второй 70 · 6/7 = 60 км, третий 70 · 0,9 = 63 км. Проверка: 70 + 60 + 63 = 193.
Задачи на повторение. П.16. Вычислите: а) (91,2 : 19 − 4,7) · 100 : 0,01 − 999; б) 10,44 − (51,224 : 0,4 − 2,9 · 19,2) : 22 + 11,27; в) (3,333 : (−1,1) + 2,3 · (−5,3) + 5,86) : 3,9; г) 8,4 · (−0,3) : 0,18 − 5,6 : (−2,8) · 7,4.
а) 91,2 : 19 = 4,8; 4,8 − 4,7 = 0,1; 0,1 · 100 = 10; 10 : 0,01 = 1000; 1000 − 999 = 1.
б) 51,224 : 0,4 = 128,06; 2,9 · 19,2 = 55,68; 128,06 − 55,68 = 72,38; 72,38 : 22 = 3,29; 10,44 − 3,29 + 11,27 = 18,42.
в) 3,333 : (−1,1) = −3,03; 2,3 · (−5,3) = −12,19; −3,03 − 12,19 + 5,86 = −9,36; −9,36 : 3,9 = −2,4.
г) 8,4 · (−0,3) = −2,52; −2,52 : 0,18 = −14; 5,6 : (−2,8) = −2; −2 · 7,4 = −14,8; −14 − (−14,8) = 0,8.
б) 51,224 : 0,4 = 128,06; 2,9 · 19,2 = 55,68; 128,06 − 55,68 = 72,38; 72,38 : 22 = 3,29; 10,44 − 3,29 + 11,27 = 18,42.
в) 3,333 : (−1,1) = −3,03; 2,3 · (−5,3) = −12,19; −3,03 − 12,19 + 5,86 = −9,36; −9,36 : 3,9 = −2,4.
г) 8,4 · (−0,3) = −2,52; −2,52 : 0,18 = −14; 5,6 : (−2,8) = −2; −2 · 7,4 = −14,8; −14 − (−14,8) = 0,8.
Задачи на повторение. П.17. Найдите значение выражения: а) −12/17 : (−1 7/17) + 5,88 : (−14,7) − 0,1; б) (8 − 5 3/4) · 2 2/3 + (8 − 6 3/5) : 1 3/4; в) 5,5 − 3 3/4 · (1 2/3 + 1 2/5) : 2 5/9; г) 2 4/5 : 1 2/5 · 5 1/2 − 4 2/7 · 7/15 · (1 1/2)³; д) −5/8 · 4/15 − 14/33 : (−7/11) + 1/12; е) 2/7 · (3 1/2)² − 5/13 : 3 1/13 + 9/10 : 3 3/5.
а) −12/17 : (−24/17) = 1/2 = 0,5; 5,88 : (−14,7) = −0,4; 0,5 − 0,4 − 0,1 = 0.
б) 8 − 5 3/4 = 2 1/4 = 9/4; 9/4 · 8/3 = 6; 8 − 6 3/5 = 1 2/5 = 7/5; 7/5 : 7/4 = 4/5; 6 + 4/5 = 6 4/5.
в) 1 2/3 + 1 2/5 = 5/3 + 7/5 = 46/15; 15/4 · 46/15 = 23/2 = 11,5; 11,5 : 2 5/9 = 11,5 : 23/9 = 4,5; 5,5 − 4,5 = 1.
г) 14/5 : 7/5 = 2; 2 · 11/2 = 11; 4 2/7 · 7/15 = 30/7 · 7/15 = 2; (3/2)³ = 27/8; 2 · 27/8 = 27/4; 11 − 6 3/4 = 4 1/4.
д) −5/8 · 4/15 = −1/6; 14/33 : (−7/11) = −2/3; −1/6 + 2/3 + 1/12 = (−2 + 8 + 1)/12 = 7/12.
е) (7/2)² = 49/4; 2/7 · 49/4 = 7/2; 5/13 : 40/13 = 1/8; 9/10 : 18/5 = 1/4; 7/2 − 1/8 + 1/4 = (28 − 1 + 2)/8 = 29/8 = 3 5/8.
б) 8 − 5 3/4 = 2 1/4 = 9/4; 9/4 · 8/3 = 6; 8 − 6 3/5 = 1 2/5 = 7/5; 7/5 : 7/4 = 4/5; 6 + 4/5 = 6 4/5.
в) 1 2/3 + 1 2/5 = 5/3 + 7/5 = 46/15; 15/4 · 46/15 = 23/2 = 11,5; 11,5 : 2 5/9 = 11,5 : 23/9 = 4,5; 5,5 − 4,5 = 1.
г) 14/5 : 7/5 = 2; 2 · 11/2 = 11; 4 2/7 · 7/15 = 30/7 · 7/15 = 2; (3/2)³ = 27/8; 2 · 27/8 = 27/4; 11 − 6 3/4 = 4 1/4.
д) −5/8 · 4/15 = −1/6; 14/33 : (−7/11) = −2/3; −1/6 + 2/3 + 1/12 = (−2 + 8 + 1)/12 = 7/12.
е) (7/2)² = 49/4; 2/7 · 49/4 = 7/2; 5/13 : 40/13 = 1/8; 9/10 : 18/5 = 1/4; 7/2 − 1/8 + 1/4 = (28 − 1 + 2)/8 = 29/8 = 3 5/8.
Задачи на повторение. П.18. Найдите отношение чисел и сравните их: а) 0,51 и 17/35; б) 11/21 и 0,56; в) 13/16 и 11/13; г) 13/15 и 15/19.
Отношение первого числа ко второму: если оно больше 1, первое число больше; если меньше 1 — меньше.
а) 0,51 : 17/35 = 51/100 · 35/17 = 21/20 = 1,05 > 1, значит 0,51 > 17/35.
б) 11/21 : 0,56 = 11/21 · 25/14 = 275/294 < 1, значит 11/21 < 0,56.
в) 13/16 : 11/13 = 169/176 < 1, значит 13/16 < 11/13.
г) 13/15 : 15/19 = 247/225 > 1, значит 13/15 > 15/19.
а) 0,51 : 17/35 = 51/100 · 35/17 = 21/20 = 1,05 > 1, значит 0,51 > 17/35.
б) 11/21 : 0,56 = 11/21 · 25/14 = 275/294 < 1, значит 11/21 < 0,56.
в) 13/16 : 11/13 = 169/176 < 1, значит 13/16 < 11/13.
г) 13/15 : 15/19 = 247/225 > 1, значит 13/15 > 15/19.
Задачи на повторение. П.19. Бригада сварщиков ежедневно сваривала по 0,32 км газопровода. На сварку y км газопровода было потрачено a дней. Выразите y через a и найдите значение y при a = 1; a = 4; a = 6. Является ли эта зависимость прямой пропорциональностью?
y = 0,32a. При a = 1: y = 0,32 км; при a = 4: y = 1,28 км; при a = 6: y = 1,92 км. Отношение y : a = 0,32 постоянно, значит, зависимость — прямая пропорциональность (с коэффициентом 0,32).
Задачи на повторение. П.20. Площадь прямоугольного стола равна 105 м², а длина и ширина n см и m см соответственно. Найдите n, если: а) m = 3; б) m = 5; в) m = 15; г) m = 21. Запишите формулу зависимости n от m. Является ли эта зависимость обратно пропорциональной?
По условию nm = 105, поэтому n = 105 : m.
а) m = 3: n = 35.
б) m = 5: n = 21.
в) m = 15: n = 7.
г) m = 21: n = 5.
Формула n = 105/m; произведение nm постоянно (105), значит, зависимость обратно пропорциональная.
Оговорка: в условии указана площадь 105 м², но числа подобраны так, что nm = 105 (то есть 105 см²); решено в этом смысле.
а) m = 3: n = 35.
б) m = 5: n = 21.
в) m = 15: n = 7.
г) m = 21: n = 5.
Формула n = 105/m; произведение nm постоянно (105), значит, зависимость обратно пропорциональная.
Оговорка: в условии указана площадь 105 м², но числа подобраны так, что nm = 105 (то есть 105 см²); решено в этом смысле.
Задачи на повторение. П.21. Найдите x из пропорции: а) (x − 0,7)/(x + 0,3) = 5,7/4,7; б) 19,5/(x − 2,4) = 47,25/(x + 1,3); в) (x + 0,15)/4,1 = (x − 2,4)/2,4; г) (2x − 4,16)/2,4 = (5x − 6,16)/0,7.
а) 4,7(x − 0,7) = 5,7(x + 0,3); 4,7x − 3,29 = 5,7x + 1,71; −x = 5; x = −5. Проверка: −5,7 : (−4,7) = 5,7 : 4,7.
б) 19,5(x + 1,3) = 47,25(x − 2,4); 19,5x + 25,35 = 47,25x − 113,4; 27,75x = 138,75; x = 5. Проверка: 19,5 : 2,6 = 7,5 и 47,25 : 6,3 = 7,5.
в) 2,4(x + 0,15) = 4,1(x − 2,4); 2,4x + 0,36 = 4,1x − 9,84; 1,7x = 10,2; x = 6.
г) 0,7(2x − 4,16) = 2,4(5x − 6,16); 1,4x − 2,912 = 12x − 14,784; 10,6x = 11,872; x = 1,12.
б) 19,5(x + 1,3) = 47,25(x − 2,4); 19,5x + 25,35 = 47,25x − 113,4; 27,75x = 138,75; x = 5. Проверка: 19,5 : 2,6 = 7,5 и 47,25 : 6,3 = 7,5.
в) 2,4(x + 0,15) = 4,1(x − 2,4); 2,4x + 0,36 = 4,1x − 9,84; 1,7x = 10,2; x = 6.
г) 0,7(2x − 4,16) = 2,4(5x − 6,16); 1,4x − 2,912 = 12x − 14,784; 10,6x = 11,872; x = 1,12.
Задачи на повторение. П.22. Какой путь пройдёт пешеход за 9,25 ч, если за 3 3/4 ч он прошёл 15 км?
Скорость пешехода 15 : 3,75 = 4 км/ч. За 9,25 ч он пройдёт 4 · 9,25 = 37 км.
Ответ: 37 км.
Ответ: 37 км.
Задачи на повторение. П.23. Масса изюма составляет 0,2 массы выпеченных кексов. Сколько килограммов кексов получится, если взять 5 3/5 кг изюма?
Сколько изюма надо взять, чтобы выпечь 40 кг кексов?
Изюм — 0,2 массы кексов, поэтому масса кексов равна массе изюма, делённой на 0,2: 5,6 : 0,2 = 28 кг. Для 40 кг кексов нужно 40 · 0,2 = 8 кг изюма.
Ответ: 28 кг кексов; 8 кг изюма.
Ответ: 28 кг кексов; 8 кг изюма.
Задачи на повторение. П.24. Проведите окружность радиусом 1,5 см и постройте отрезок, длина которого равна длине окружности (длину окружности округлите до десятых долей сантиметра).
Длина окружности C = 2πR ≈ 2 · 3,14 · 1,5 = 9,42 ≈ 9,4 см. Чертим окружность радиуса 1,5 см (циркулем) и отрезок длиной 9,4 см (рисунок; масштаб на рисунке показан условно: 1 см = 40 условных единиц).