Упражнение В.33-В.65, часть 2 — Вопросы и задачи на повторение…

Обыкновенная дробь — запись вида m/n, где m и n — натуральные числа. Знаменатель n показывает, на сколько равных долей разделено целое, числитель m — сколько таких долей взято.

Правильная — дробь, у которой числитель меньше знаменателя (она меньше 1), например 3/8. Неправильная — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (она не меньше 1), например 11/8.

Делят числитель на знаменатель с остатком: неполное частное — целая часть, остаток — числитель дробной части, знаменатель остаётся прежним: 17/5 = 3 2/5. Смешанное число — сумма целого числа и правильной дроби, записанная без знака «+» (3 2/5).

Сначала сравнивают целые части: больше то число, у которого целая часть больше. Если целые части равны, сравнивают дробные части (приводя их к общему знаменателю).

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, получится равная ей дробь. Применяют при сокращении дробей, приведении к общему знаменателю, сравнении, сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.

Десятичная дробь — дробь со знаменателем 10, 100, 1000, …, записанная без знаменателя с помощью запятой: 0,7 = 7/10; 3,25 = 3 25/100.

Сначала сравнивают целые части; если они равны — десятые, затем сотые и так далее (удобно уравнять число знаков, дописав нули справа). Больше та дробь, у которой в первом различающемся разряде цифра больше.

Округлить число до данного разряда — заменить его близким числом, у которого все младшие разряды отброшены (в натуральном числе заменены нулями). Правила: если первая отбрасываемая цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то оставшиеся цифры не меняют; если 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Например, 3,847 ≈ 3,8 (до десятых), 3,847 ≈ 3,85 (до сотых).

Среднее арифметическое — частное от деления суммы этих чисел на их количество. Например, для 4, 7 и 10: (4 + 7 + 10) : 3 = 7.

Чтобы найти дробь от числа, число умножают на эту дробь (3/4 от 20: 20 · 3/4 = 15). Чтобы найти число по значению его дроби, значение делят на дробь (если 3/4 числа равны 15, то число 15 : 3/4 = 20). Проценты заменяют дробью со знаменателем 100.

Масштаб — отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности, взятых в одних единицах (например, 1 : 50 000: 1 см на карте — 500 м на местности). Расстояние на местности находят, умножая расстояние на карте на знаменатель масштаба (или деля на масштаб): 3 см · 50 000 = 150 000 см = 1,5 км.

Сравнить два отрезка — выяснить, какой из них длиннее (наложением или сравнением длин). Равные отрезки — те, которые при наложении совпадают (имеют равные длины). Длину измеряют в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах, километрах.

Через две точки проходит одна и только одна прямая.

Перпендикулярные прямые (отрезки) пересекаются под прямым углом (90°). Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Отрезки называют перпендикулярными (параллельными), если они лежат на перпендикулярных (параллельных) прямых.

Треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, шестиугольник и т. д. Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые. Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.

Равные многоугольники при наложении совпадают: у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы.

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одном расстоянии от данной точки — центра окружности. Радиус — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности (а также его длина).

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности между ними.

Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Прямоугольник со сторонами a и b: P = 2(a + b). Квадрат со стороной a: P = 4a.

Длина окружности: C = 2πR = πd (R — радиус, d — диаметр). π ≈ 3,14 (с точностью до сотых).

Прямоугольник: S = ab (a и b — длины смежных сторон). Квадрат: S = a².

S = πR², где R — радиус круга (через диаметр: S = πd²/4).

У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин; все грани — прямоугольники; противоположные грани равны; рёбра, выходящие из одной вершины, — длина, ширина и высота. Куб — прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами; его грани — равные квадраты.

Прямоугольный параллелепипед: V = abc (длина · ширина · высота). Куб с ребром a: V = a³.

Буквенное выражение — запись, составленная из чисел, букв, знаков действий и скобок. Если вместо букв подставить числа, получится числовое выражение; его значение — значение буквенного выражения при этих числах.

Коэффициент — числовой множитель в произведении числа и буквенного выражения: в 5a коэффициент 5, в −x коэффициент −1.

Подобные слагаемые отличаются только коэффициентами. Чтобы их привести, складывают коэффициенты и результат умножают на общую буквенную часть: 3a + 5a − 2a = (3 + 5 − 2)a = 6a.

Формула — запись правила или зависимости между величинами с помощью букв, например S = vt или P = 4a.

Уравнение — равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Значение буквы, при котором равенство верно, — корень уравнения. Решить уравнение — найти все его корни или доказать, что корней нет.

Координатная прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление.

Координатная плоскость — плоскость с заданной системой координат: двумя перпендикулярными координатными прямыми (осями x и y) с общим началом O и общим единичным отрезком. Система координат — такой набор осей, начала отсчёта и единицы длины, по которому положение точки задают числами.

На прямой — одним числом (координатой), на плоскости — двумя числами: абсциссой x и ординатой y.

Отмечают на оси x число, равное абсциссе, и на оси y число, равное ординате; через эти точки проводят прямые, параллельные осям; точка их пересечения — искомая. Первая координата называется абсциссой (x), вторая — ординатой (y).