Вопросы и задачи на повторение (В.1–В.65) — с. 124
Вопросы на повторение. В.1. Что такое система счисления?
Почему используемую нами систему счисления называют позиционной и десятичной?
Система счисления — это способ записи чисел с помощью цифр и правил их использования. Нашу систему называют позиционной, потому что значение цифры зависит от места (разряда), на котором она стоит: в числе 555 каждая пятёрка означает своё количество — единицы, десятки и сотни. Её называют десятичной, потому что в ней десять цифр (0–9), а единица каждого следующего разряда в 10 раз больше единицы предыдущего.
Вопросы на повторение. В.2. Какие числа называют натуральными; целыми; дробными; положительными; отрицательными; рациональными?
Натуральные — числа, которые используют при счёте предметов: 1, 2, 3, … Целые — натуральные числа, им противоположные и число 0. Дробные — числа, составленные из целого числа долей единицы (например, 3/7 или 2,5). Положительные — числа больше нуля; отрицательные — числа меньше нуля. Рациональные — числа, которые можно записать в виде дроби m/n, где m — целое, а n — натуральное: целые и дробные, положительные и отрицательные, и нуль.
Вопросы на повторение. В.3. Какие числа называют взаимно обратными; противоположными?
Взаимно обратные — числа, произведение которых равно 1 (например, 3 и 1/3; число 0 обратного не имеет). Противоположные — числа, сумма которых равна 0 (например, 5 и −5); на координатной прямой они расположены по разные стороны от нуля на одном расстоянии.
Вопросы на повторение. В.4. Какие вы знаете свойства числа 0; числа 1?
Число 0: a + 0 = a; a · 0 = 0; 0 : a = 0 при a ≠ 0; на 0 делить нельзя; 0 не положительное и не отрицательное, |0| = 0, противоположное ему число — тоже 0.
Число 1: a · 1 = a; a : 1 = a; a : a = 1 при a ≠ 0; число, обратное 1, — это 1; 1 в любой степени равно 1; 1 не является ни простым, ни составным числом.
Число 1: a · 1 = a; a : 1 = a; a : a = 1 при a ≠ 0; число, обратное 1, — это 1; 1 в любой степени равно 1; 1 не является ни простым, ни составным числом.
Вопросы на повторение. В.5. Приведите примеры: а) натуральных чисел; б) целых чисел; в) положительных чисел, не являющихся натуральными; г) отрицательных чисел, не являющихся целыми; д) рациональных чисел, не являющихся целыми; е) двух взаимно обратных чисел; ж) двух противоположных чисел; з) двух чисел, произведение которых равно 0; 1; и) двух целых чисел, сумма которых равна 0; 1.
Примеры (возможны другие).
а) 5; 28; 100.
б) −7; 0; 14.
в) 1/2; 3,4; 5/3.
г) −1/2; −2,5; −4 1/3.
д) 3/4; −1,6; 2 1/5.
е) 4 и 1/4; 0,5 и 2.
ж) 8 и −8; −2,5 и 2,5.
з) Произведение 0: 0 и 9 (хотя бы один множитель равен 0); произведение 1: 5 и 1/5 (или −1 и −1).
и) Сумма 0: 6 и −6; сумма 1: 4 и −3.
а) 5; 28; 100.
б) −7; 0; 14.
в) 1/2; 3,4; 5/3.
г) −1/2; −2,5; −4 1/3.
д) 3/4; −1,6; 2 1/5.
е) 4 и 1/4; 0,5 и 2.
ж) 8 и −8; −2,5 и 2,5.
з) Произведение 0: 0 и 9 (хотя бы один множитель равен 0); произведение 1: 5 и 1/5 (или −1 и −1).
и) Сумма 0: 6 и −6; сумма 1: 4 и −3.
Вопросы на повторение. В.6. Назовите условие, при котором равно нулю: а) произведение рациональных чисел; б) частное рациональных чисел.
а) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
б) Частное равно нулю тогда и только тогда, когда делимое равно нулю, а делитель не равен нулю.
б) Частное равно нулю тогда и только тогда, когда делимое равно нулю, а делитель не равен нулю.
Вопросы на повторение. В.7. Справедливо ли для всех рациональных чисел n и m: а) −nm = −n · −m; б) −(n + m) = −n + −m; в) 1/(nm) = 1/n · 1/m; г) 1/n + m = 1/n + 1/m?
а) Нет. Правая часть (−n) · (−m) = nm, а левая −nm; равенство верно только при nm = 0. Например, n = m = 1: −1 ≠ 1.
б) Да, для любых n и m: −(n + m) = (−n) + (−m) (правило раскрытия скобок).
в) Да, если n ≠ 0 и m ≠ 0: обратное числу nm равно произведению обратных.
г) Нет. Например, n = 2, m = 3: 1/2 + 3 = 3 1/2, а 1/2 + 1/3 = 5/6. Равенство верно только при m = 1 или m = −1.
Оговорка: в пункте а) запись «−nm = −n · −m» понята как −(nm) = (−n) · (−m).
б) Да, для любых n и m: −(n + m) = (−n) + (−m) (правило раскрытия скобок).
в) Да, если n ≠ 0 и m ≠ 0: обратное числу nm равно произведению обратных.
г) Нет. Например, n = 2, m = 3: 1/2 + 3 = 3 1/2, а 1/2 + 1/3 = 5/6. Равенство верно только при m = 1 или m = −1.
Оговорка: в пункте а) запись «−nm = −n · −m» понята как −(nm) = (−n) · (−m).
Вопросы на повторение. В.8. Какое число называют простым; составным; чётным; нечётным?
Простое — натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само это число (2, 3, 5, 7, 11, …). Составное — натуральное число, у которого больше двух делителей (4, 6, 9, …). Чётное — число, которое делится на 2 без остатка; нечётное — не делится на 2.
Вопросы на повторение. В.9. Какое из утверждений верно: а) любое простое число есть сумма простых чисел; б) любое число есть произведение двух простых чисел; в) любое число есть произведение двух составных чисел?
Ни одно из утверждений не верно.
а) Число 3 (и число 2) простое, но не является суммой двух и более простых чисел (если «суммой» считать хотя бы два слагаемых).
б) Число 8 = 2 · 2 · 2 не является произведением ровно двух простых; число 7 и число 1 тоже нельзя так представить.
в) Простое число 7 нельзя разложить в произведение двух составных (даже двух натуральных больше 1).
Оговорка: пункт а) зависит от толкования слова «сумма»; при одном слагаемом любое простое число «сумма» самого себя.
а) Число 3 (и число 2) простое, но не является суммой двух и более простых чисел (если «суммой» считать хотя бы два слагаемых).
б) Число 8 = 2 · 2 · 2 не является произведением ровно двух простых; число 7 и число 1 тоже нельзя так представить.
в) Простое число 7 нельзя разложить в произведение двух составных (даже двух натуральных больше 1).
Оговорка: пункт а) зависит от толкования слова «сумма»; при одном слагаемом любое простое число «сумма» самого себя.