Упражнение В.10-В.32, часть 2 — Вопросы и задачи на повторение…

Сумма и разность: складывают (вычитают) отдельно целые и дробные части, дробные части сначала приводят к общему знаменателю; если нужно, занимают единицу из целой части или выделяют целую часть. Произведение и частное: смешанные числа сначала записывают неправильными дробями, затем перемножают (делят: умножают на дробь, обратную делителю) по правилам действий с обыкновенными дробями, сокращают и выделяют целую часть.

Сложение и вычитание: записывают числа так, чтобы запятая стояла под запятой, и выполняют действие как с натуральными числами, поставив запятую в результате под запятыми. Умножение: умножают как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, и в произведении отделяют запятой столько цифр справа, сколько их после запятых в обоих множителях вместе. Деление: запятую в делимом и делителе переносят вправо на столько цифр, чтобы делитель стал целым, затем делят как натуральные числа, ставя в частном запятую, когда закончилась целая часть делимого.

Модуль числа — это расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей число на координатной прямой. Модуль неотрицательного числа равен самому числу, модуль отрицательного — противоположному ему числу: |a| = a при a ≥ 0, |a| = −a при a < 0.

а) Положительными могут быть все четыре: −r > 0 при r = −2; −r/v > 0 при r = −2, v = 1; |r| > 0 при r ≠ 0; v − r > 0 при v = 5, r = 1.
б) Отрицательными могут быть −r, −r/v и v − r (при r = 3 получаем −3; при r = 3, v = 2 получаем −1,5; при v = 1, r = 3 получаем −2). Модуль |r| отрицательным быть не может.
в) Нулём могут быть все: −r = 0, |r| = 0 и −r/v = 0 при r = 0 (v ≠ 0); v − r = 0 при v = r.

а) |−m| = |m|, поэтому равенство |m| = m верно при m ≥ 0 (при неотрицательных m).
б) |m| = −m верно при m ≤ 0 (при неположительных m).
в) Верно при любом m, так как противоположные числа имеют одинаковые модули.

Сложение. Одинаковые знаки: складывают модули и ставят общий знак. Разные знаки: из большего модуля вычитают меньший и ставят знак числа с большим модулем.
Вычитание: чтобы вычесть число, прибавляют противоположное ему (a − b = a + (−b)), и применяют правила сложения.
Умножение и деление. Одинаковые знаки: модули перемножают (делят), результат положителен. Разные знаки: модули перемножают (делят), результат отрицателен. Нуль на любое число даёт нуль; на нуль делить нельзя.

Сложение: слагаемое + слагаемое = сумма. Вычитание: уменьшаемое − вычитаемое = разность. Умножение: множитель · множитель = произведение. Деление: делимое : делитель = частное.

Если перед скобками стоит «плюс», скобки опускают и сохраняют знаки всех слагаемых в скобках: a + (b − c) = a + b − c. Если перед скобками стоит «минус», скобки опускают и меняют знаки всех слагаемых в скобках на противоположные: a − (b − c) = a − b + c.

Сначала выполняют возведение в квадрат (степень), затем деление (и умножение) по порядку слева направо, и в последнюю очередь — вычитание (и сложение) по порядку слева направо. Например, 20 − 12 : 2² = 20 − 12 : 4 = 20 − 3 = 17.

а) Неизвестное слагаемое = сумма − известное слагаемое.
б) Неизвестное уменьшаемое = разность + вычитаемое.
в) Неизвестное вычитаемое = уменьшаемое − разность.
г) Неизвестный множитель = произведение : известный множитель.
д) Неизвестное делимое = частное · делитель.
е) Неизвестный делитель = делимое : частное.

Переместительный закон: от перестановки слагаемых (множителей) результат не меняется: a + b = b + a; ab = ba.
Сочетательный закон: слагаемые (множители) можно группировать как удобно: (a + b) + c = a + (b + c); (ab)c = a(bc).

Чтобы умножить число на сумму (разность), можно умножить его на каждое слагаемое (на уменьшаемое и на вычитаемое) и результаты сложить (вычесть): a(b + c) = ab + ac; a(b − c) = ab − ac.

Сравнить два числа — значит выяснить, какое из них больше (меньше). На координатной прямой больше то число, которое расположено правее. Правила: любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного; нуль больше любого отрицательного числа; из двух положительных больше то, у которого модуль больше; из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше.

Числовое равенство — два числа или числовых выражения, соединённые знаком «=» (например, 3 + 4 = 7). Оно верно, если значения обеих частей одинаковы. Числовое неравенство — два числа или числовых выражения, соединённые знаком <, >, ≤, ≥ или ≠ (например, 5 < 8).

Квадрат числа a — произведение двух равных множителей, равных a: a² = a · a. Куб числа a — произведение трёх таких множителей: a³ = a · a · a.

Отношение двух чисел a и b (b ≠ 0) — это их частное a : b (или a/b). Оно показывает, во сколько раз a больше b или какую часть a составляет от b. Примеры отношения величин: скорость — отношение пути ко времени (120 км : 3 ч = 40 км/ч); цена — отношение стоимости к количеству товара; масштаб карты — отношение длины на карте к длине на местности.

Пропорция — равенство двух отношений: a : b = c : d. Например, 2 : 4 = 3 : 6. Крайние члены — 2 и 6 (первый и последний), средние — 4 и 3.

Основное свойство: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних: если a : b = c : d, то ad = bc. Примеры использования: проверка пропорции (2 : 4 = 3 : 6, так как 2 · 6 = 4 · 3); нахождение неизвестного члена: в пропорции 5 : x = 10 : 6 получаем 10x = 30, x = 3.

Делитель числа a — натуральное число, на которое a делится без остатка. Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел — наибольшее число, на которое делится каждое из них. Чтобы его найти, разлагают числа на простые множители, выбирают простые множители, входящие в разложение каждого числа, и перемножают их (каждый берут с наименьшим показателем). Например, 12 = 2 · 2 · 3 и 18 = 2 · 3 · 3, НОД = 2 · 3 = 6.

Кратное числа a — число, которое делится на a без остатка. Наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных. Чтобы его найти, разлагают числа на простые множители, берут разложение одного из них (например, большего) и дописывают недостающие множители из разложений остальных. Например, НОК(12; 18) = 2 · 2 · 3 · 3 = 36.

На 2 — число оканчивается чётной цифрой (0, 2, 4, 6, 8). На 5 — оканчивается цифрой 0 или 5. На 10 — оканчивается нулём. На 3 — сумма цифр делится на 3. На 9 — сумма цифр делится на 9. На 4 — число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4. На 6 — число делится и на 2, и на 3.

Разделить с остатком число a на число b — значит найти такие неотрицательные целые числа q (неполное частное) и r (остаток), что a = b · q + r, причём остаток меньше делителя: 0 ≤ r < b. Например, 17 : 5: неполное частное 3, остаток 2, так как 17 = 5 · 3 + 2.

Делимое = делитель · неполное частное + остаток. Например, если делитель 7, неполное частное 4 и остаток 3, то делимое 7 · 4 + 3 = 31.