44. Представление числовой информации на графиках (упражнения 6.87–6.126) — с. 116
6.104. Какая последняя цифра у значения разности 1 · 2 · 3 · 4 · … · 26 · 27 − 1 · 3 · 5 · 7 · … · 25 · 27?
Первое произведение содержит множители 5 и 2 (и 10), поэтому оно оканчивается на 0. Второе — произведение нечётных чисел, среди которых есть 5, поэтому оно нечётное и кратно 5, то есть оканчивается на 5. Разность (первое число больше): …0 − …5 оканчивается на 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5.
6.105. Запишите в виде двойного неравенства и в виде промежутка условия, которым подчиняются (рис. 6.35): а) абсциссы любой точки фигуры; б) ординаты любой точки фигуры. [Рисунок 6.35: а) прямоугольник со сторонами от x = −3 до x = 4 и от y = −2 до y = 1; б) треугольник с вершинами (−1; −5), (4; 3), (6; −5).]
Рисунок 6.35, а (прямоугольник):
а) абсциссы: −3 ≤ x ≤ 4, промежуток [−3; 4];
б) ординаты: −2 ≤ y ≤ 1, промежуток [−2; 1].
Рисунок 6.35, б (треугольник; вершины считаны по рисунку):
а) абсциссы: −1 ≤ x ≤ 6, промежуток [−1; 6];
б) ординаты: −5 ≤ y ≤ 3, промежуток [−5; 3].
а) абсциссы: −3 ≤ x ≤ 4, промежуток [−3; 4];
б) ординаты: −2 ≤ y ≤ 1, промежуток [−2; 1].
Рисунок 6.35, б (треугольник; вершины считаны по рисунку):
а) абсциссы: −1 ≤ x ≤ 6, промежуток [−1; 6];
б) ординаты: −5 ≤ y ≤ 3, промежуток [−5; 3].
6.106. Где расположена на координатной плоскости точка M(x; y), если: а) x = 0, y = 0; б) x = 0; в) y = 0; г) x > 0; д) y > 0; е) y < 0; ж) x > 0, y > 0; з) x < 0, y < 0; и) x < 0, y > 0; к) x > 0, y < 0?
а) В начале координат.
б) На оси y.
в) На оси x.
г) Правее оси y.
д) Выше оси x.
е) Ниже оси x.
ж) В первой четверти (справа вверху).
з) В третьей четверти (слева внизу).
и) Во второй четверти (слева вверху).
к) В четвёртой четверти (справа внизу).
б) На оси y.
в) На оси x.
г) Правее оси y.
д) Выше оси x.
е) Ниже оси x.
ж) В первой четверти (справа вверху).
з) В третьей четверти (слева внизу).
и) Во второй четверти (слева вверху).
к) В четвёртой четверти (справа внизу).
6.107. Найдите корень уравнения: а) 7y − 3,7 = 5y; б) 5/6 n − 1 = 1/3 n; в) 15,9a = 15,7a + 5.
а) 7y − 5y = 3,7; 2y = 3,7; y = 1,85.
б) 5/6 n − 2/6 n = 1; 1/2 n = 1; n = 2.
в) 15,9a − 15,7a = 5; 0,2a = 5; a = 25.
б) 5/6 n − 2/6 n = 1; 1/2 n = 1; n = 2.
в) 15,9a − 15,7a = 5; 0,2a = 5; a = 25.
6.108. Решите уравнение: а) |y| + |−43| = |−53|; б) |y| · |−11| = |−88|.
а) |y| + 43 = 53; |y| = 10; y = 10 или y = −10.
б) |y| · 11 = 88; |y| = 8; y = 8 или y = −8.
б) |y| · 11 = 88; |y| = 8; y = 8 или y = −8.
6.109. Найдите целые решения неравенства: а) 2 < |a| < 9; б) 7,8 < |n| < 13 4/7.
а) |a| может быть 3, 4, 5, 6, 7, 8: a = ±3, ±4, ±5, ±6, ±7, ±8.
б) |n| может быть 8, 9, 10, 11, 12, 13: n = ±8, ±9, ±10, ±11, ±12, ±13.
б) |n| может быть 8, 9, 10, 11, 12, 13: n = ±8, ±9, ±10, ±11, ±12, ±13.
6.110. На координатной плоскости постройте прямоугольник, у которого абсциссы и ординаты точек удовлетворяют условиям: а) −4 ≤ x ≤ 4, −6 ≤ y ≤ 5; б) |x| ≤ 3, |y| ≤ 7.
а) Вершины (−4; −6), (4; −6), (4; 5), (−4; 5).
б) |x| ≤ 3 значит −3 ≤ x ≤ 3, |y| ≤ 7 значит −7 ≤ y ≤ 7: вершины (−3; −7), (3; −7), (3; 7), (−3; 7). Оба прямоугольника на рисунке.
б) |x| ≤ 3 значит −3 ≤ x ≤ 3, |y| ≤ 7 значит −7 ≤ y ≤ 7: вершины (−3; −7), (3; −7), (3; 7), (−3; 7). Оба прямоугольника на рисунке.
6.111. Найдите два числа, если их сумма равна 125 и 1/2 одного числа равна 3/4 другого.
Пусть второе число y, первое x. Из 1/2 x = 3/4 y получаем x = 3/2 y. Тогда 3/2 y + y = 125; 5/2 y = 125; y = 50, x = 75.
Проверка: 75 + 50 = 125; 75 : 2 = 37,5 = 3/4 · 50.
Ответ: 75 и 50.
Проверка: 75 + 50 = 125; 75 : 2 = 37,5 = 3/4 · 50.
Ответ: 75 и 50.
6.112. За три дня было продано 2,7 ц яблок. Во второй день продали 60 % от продажи первого дня, в третий — в 1,4 раза больше, чем в первый. Сколько центнеров яблок продавали каждый день?
Пусть в первый день продали x ц. Во второй — 0,6x, в третий — 1,4x. x + 0,6x + 1,4x = 3x = 2,7; x = 0,9.
Во второй день 0,9 · 0,6 = 0,54 ц, в третий 0,9 · 1,4 = 1,26 ц. Проверка: 0,9 + 0,54 + 1,26 = 2,7.
Ответ: 0,9 ц, 0,54 ц и 1,26 ц.
Во второй день 0,9 · 0,6 = 0,54 ц, в третий 0,9 · 1,4 = 1,26 ц. Проверка: 0,9 + 0,54 + 1,26 = 2,7.
Ответ: 0,9 ц, 0,54 ц и 1,26 ц.
6.113. Катамаран прошёл вниз по реке 155 км, а вверх 36 км. Найдите среднюю скорость на всём пути, если скорость течения 2 км/ч, а собственная скорость 18 км/ч.
Скорость по течению 18 + 2 = 20 км/ч, время 155 : 20 = 7,75 ч. Против течения 18 − 2 = 16 км/ч, время 36 : 16 = 2,25 ч. Весь путь 155 + 36 = 191 км за 7,75 + 2,25 = 10 ч.
Средняя скорость 191 : 10 = 19,1 км/ч.
Средняя скорость 191 : 10 = 19,1 км/ч.
6.114. В первый день магазином было продано 4/9 привезённой моркови, во второй день — 3/8 оставшейся моркови, а в третий день — последние 70 кг. Сколько килограммов моркови было привезено в магазин?
После первого дня осталось 1 − 4/9 = 5/9 всей моркови. Во второй день продали 3/8 от 5/9, то есть 5/24 всей; осталось 5/9 · 5/8 = 25/72 всей моркови. Это 70 кг, значит всего 70 : 25/72 = 201,6 кг.
Проверка: 4/9 · 201,6 = 89,6 кг; осталось 112 кг; 3/8 · 112 = 42 кг; осталось 70 кг.
Ответ: 201,6 кг. Оговорка: число не круглое, но проверка сходится.
Проверка: 4/9 · 201,6 = 89,6 кг; осталось 112 кг; 3/8 · 112 = 42 кг; осталось 70 кг.
Ответ: 201,6 кг. Оговорка: число не круглое, но проверка сходится.
6.115. Масса 3/4 дм³ некоторого вещества равна 9/16 г. Найдите: а) массу 1 дм³ вещества; б) объём 1 кг вещества.
а) 9/16 : 3/4 = 9/16 · 4/3 = 3/4 г.
б) 1 кг = 1000 г. Объём 1 г равен 1 : 3/4 = 4/3 дм³, поэтому 1000 г занимают 1000 · 4/3 = 4000/3 = 1333 1/3 дм³.
б) 1 кг = 1000 г. Объём 1 г равен 1 : 3/4 = 4/3 дм³, поэтому 1000 г занимают 1000 · 4/3 = 4000/3 = 1333 1/3 дм³.
6.116. Вычислите:
1. (3 4/5 · 5,5/5,7 + 2 2/3 : (−4)) : ((8 − 2,9) : 17);
2. (6 1/4 : 5 + 0,7/7,6 · (−2 5/7)) : ((9,7 − 4,8) : 49). [Выражения записаны дробными чертами: числитель — первая скобка, знаменатель — вторая.]
1) Числитель: 19/5 · 55/57 = 11/3; 2 2/3 : (−4) = −2/3; сумма 11/3 − 2/3 = 3. Знаменатель: (8 − 2,9) : 17 = 5,1 : 17 = 0,3. Результат 3 : 0,3 = 10.
2) Числитель: 6 1/4 : 5 = 1,25; 0,7/7,6 · (−19/7) = −0,25; сумма 1. Знаменатель: (9,7 − 4,8) : 49 = 4,9 : 49 = 0,1. Результат 1 : 0,1 = 10.
Ответ: 10 в обоих случаях. Оговорка: запись дробей считана со скана, ответ получается круглым, что подтверждает чтение.
2) Числитель: 6 1/4 : 5 = 1,25; 0,7/7,6 · (−19/7) = −0,25; сумма 1. Знаменатель: (9,7 − 4,8) : 49 = 4,9 : 49 = 0,1. Результат 1 : 0,1 = 10.
Ответ: 10 в обоих случаях. Оговорка: запись дробей считана со скана, ответ получается круглым, что подтверждает чтение.
6.117. Найдите x из пропорции: 1) 2,3/(0,5x + 2,2) = 2,8/(x + 1,7); 2) 5 1/3/(2x + 2/3) = 4 1/2/(3x − 3 3/8).
1) 2,3 · (x + 1,7) = 2,8 · (0,5x + 2,2); 2,3x + 3,91 = 1,4x + 6,16; 0,9x = 2,25; x = 2,5. Проверка: 2,3 : 3,45 = 2/3 и 2,8 : 4,2 = 2/3.
2) 16/3 · (3x − 27/8) = 9/2 · (2x + 2/3); 16x − 18 = 9x + 3; 7x = 21; x = 3. Проверка: обе части равны 30 : (…) — 16/3 : 20/3 = 4/5 и 9/2 : 45/8 = 4/5.
2) 16/3 · (3x − 27/8) = 9/2 · (2x + 2/3); 16x − 18 = 9x + 3; 7x = 21; x = 3. Проверка: обе части равны 30 : (…) — 16/3 : 20/3 = 4/5 и 9/2 : 45/8 = 4/5.