43. Координатная плоскость (упражнения 6.45–6.86) — с. 109
6.75. Решите уравнение: а) x : 3,5 = 1,2 : 0,4; б) 2,5 : 6,8 = 1,5 : y.
а) x = 3,5 · 1,2 : 0,4 = 3,5 · 3 = 10,5.
б) y = 6,8 · 1,5 : 2,5 = 4,08.
б) y = 6,8 · 1,5 : 2,5 = 4,08.
6.76. Найдите объём и площадь поверхности куба с ребром: а) 3 м; б) 0,3 м; в) 0,03 м.
V = a³, S = 6a².
а) V = 27 м³, S = 54 м².
б) V = 0,027 м³, S = 0,54 м².
в) V = 0,000027 м³, S = 0,0054 м².
а) V = 27 м³, S = 54 м².
б) V = 0,027 м³, S = 0,54 м².
в) V = 0,000027 м³, S = 0,0054 м².
6.77. Найдите корень уравнения: 1) −2(3,1x − 1) + 3(1,2x + 1) = −14,5; 2) −5(4,2y + 1) + 4(1,4y − 2) = −20,7.
1) −6,2x + 2 + 3,6x + 3 = −14,5; −2,6x = −19,5; x = 7,5.
2) −21y − 5 + 5,6y − 8 = −20,7; −15,4y = −7,7; y = 0,5.
2) −21y − 5 + 5,6y − 8 = −20,7; −15,4y = −7,7; y = 0,5.
6.78. Постройте ломаную MNAP, если M(−10; −3), N(−8; 5), A(0; −1), P(7; 2), и ломаную BCF, если F(5; 3), C(−2; 7), B(−6; −3). Отметьте точки пересечения ломаных и запишите их координаты.
Строим обе ломаные по точкам. Звенья MN и NA ломаной MNAP; B(−6; −3), C(−2; 7), F(5; 3) — ломаная BCF. Звено NA (из (−8; 5) в (0; −1)) пересекается со звеном BC (из (−6; −3) в (−2; 7)) в точке (−4; 2): обе прямые проходят через неё. Других точек пересечения нет.
Ответ: (−4; 2).
Ответ: (−4; 2).
6.79. По координатам вершин M(−6; 4), N(2; 3), K(1; −3), D(−7; 1) постройте четырёхугольник MNKD. Найдите по рисунку координаты точки пересечения его диагоналей.
Диагонали MK и ND пересекаются в точке, координаты которой по рисунку примерно (−3,7; 1,7).
Точное значение: (−41/11; 19/11) ≈ (−3,73; 1,73).
Точное значение: (−41/11; 19/11) ≈ (−3,73; 1,73).
6.80. Отметьте на координатной плоскости точки A(0; 4), B(8; 0), L(−2; 0), K(−4; −1). Проведите прямые AB и LK и найдите координаты точки пересечения. На какой из этих прямых лежит точка C(0; 1)?
Прямая AB: x + 2y = 8; прямая LK: x − 2y = −2. Складывая, получаем 2x = 6; x = 3, y = 2,5.
Точка пересечения: (3; 2,5).
Точка C(0; 1): для AB имеем 0 + 2 = 2 ≠ 8, для LK имеем 0 − 2 = −2 — верно. Значит, C лежит на прямой LK.
Точка пересечения: (3; 2,5).
Точка C(0; 1): для AB имеем 0 + 2 = 2 ≠ 8, для LK имеем 0 − 2 = −2 — верно. Значит, C лежит на прямой LK.
6.81. Постройте на координатной плоскости треугольник MCD, если M(−1; −1), C(3; 5), D(5; −1). Найдите координаты точки пересечения стороны MD с осью y.
Точки M и D имеют одинаковую ординату −1, поэтому сторона MD лежит на прямой y = −1, параллельной оси x. Она пересекает ось y в точке (0; −1).
Ответ: (0; −1).
Ответ: (0; −1).
6.82. Постройте на координатной плоскости треугольник ABC, если A(4; 4), B(7; 0), C(1; −2). Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно: а) начала координат; б) оси ординат; в) оси абсцисс.
а) A′(−4; −4), B′(−7; 0), C′(−1; 2).
б) A′(−4; 4), B′(−7; 0), C′(−1; −2).
в) A′(4; −4), B′(7; 0), C′(1; 2).
Рисунок.
б) A′(−4; 4), B′(−7; 0), C′(−1; −2).
в) A′(4; −4), B′(7; 0), C′(1; 2).
Рисунок.
6.83. Найдите корень уравнения: а) 3(x + 4) = 7(x − 2) + 12; б) 4(x − 1) + 2x = 5(2 − x) + 19.
а) 3x + 12 = 7x − 2; 14 = 4x; x = 3,5.
б) 6x − 4 = 29 − 5x; 11x = 33; x = 3.
б) 6x − 4 = 29 − 5x; 11x = 33; x = 3.
6.84. Проведите две прямые m и l, пересекающиеся в точке A, так, чтобы один из углов между ними был 79°.
Проводим прямую m и отмечаем на ней точку A. Центр транспортира совмещаем с A, нулевую отметку — с прямой m, отмечаем точку у деления 79° и проводим через неё и A прямую l. Один из углов равен 79°, смежные с ним углы — 101° (рисунок).
6.85. Постройте угол ABC, равный 60°. Отметьте точку N на стороне BC и проведите через неё прямую a, перпендикулярную стороне AB, а через точку P на стороне AB проведите прямую c, перпендикулярную стороне BC. Измерьте транспортиром углы, образовавшиеся при пересечении прямых a и c.
Строим угол ABC = 60°, через N проводим a ⊥ AB, через P — c ⊥ BC (рисунок). Прямые a и c пересекаются; измерение даёт углы 60° и 120° (два угла по 60° и два по 120°).
Объяснение: угол между прямыми a и c равен углу между сторонами AB и BC, так как каждая из них повёрнута на 90° относительно соответствующей стороны.
Объяснение: угол между прямыми a и c равен углу между сторонами AB и BC, так как каждая из них повёрнута на 90° относительно соответствующей стороны.
6.86. Вычислите: а) −1/5 · (−0,4) · 0,3 − 0,01064 : (−0,14); б) 44 : (−25) − (4,3 · 0,8 − 3,7).
а) −1/5 · (−0,4) = 0,08; 0,08 · 0,3 = 0,024; 0,01064 : (−0,14) = −0,076; 0,024 − (−0,076) = 0,1.
б) 44 : (−25) = −1,76; 4,3 · 0,8 − 3,7 = 3,44 − 3,7 = −0,26; −1,76 − (−0,26) = −1,5.
б) 44 : (−25) = −1,76; 4,3 · 0,8 − 3,7 = 3,44 − 3,7 = −0,26; −1,76 − (−0,26) = −1,5.
Проверочная работа (п. 43).
1. Какие из точек A(2; 4), B(4; −1), C(0; 3), D(2; 0), O(0; 0), P(1/2; 0), Q(0; −2,3), R(1 3/7; −2 3/4) расположены: а) на оси абсцисс; б) на оси ординат?
а) На оси абсцисс лежат точки с ординатой 0: D(2; 0), O(0; 0), P(1/2; 0).
б) На оси ординат лежат точки с абсциссой 0: C(0; 3), O(0; 0), Q(0; −2,3).
б) На оси ординат лежат точки с абсциссой 0: C(0; 3), O(0; 0), Q(0; −2,3).
Проверочная работа (п. 43).
2. Постройте отрезок по координатам его концов: а) M(2; −3), N(−3; 2); б) L(−1/2; −4), K(3,5; 5).
Отмечаем концы отрезков по координатам и соединяем линейкой (рисунок). Точка L имеет абсциссу −0,5, точка K — абсциссу 3,5.
Проверочная работа (п. 43).
3. Через точку F(3; −5) проведена прямая: а) параллельная оси абсцисс; б) параллельная оси ординат. Запишите координаты какой-нибудь точки, лежащей на этой прямой.
а) Прямая, параллельная оси абсцисс, — это прямая y = −5 (у всех её точек ордината −5). Например, точка (0; −5) или (7; −5).
б) Прямая, параллельная оси ординат, — это прямая x = 3 (у всех её точек абсцисса 3). Например, точка (3; 0) или (3; 8).
б) Прямая, параллельная оси ординат, — это прямая x = 3 (у всех её точек абсцисса 3). Например, точка (3; 0) или (3; 8).