43. Координатная плоскость (упражнения 6.45–6.86) — с. 107
6.53. На координатной плоскости постройте четырёхугольник MNKS с вершинами M(−9; −3), N(−3; −3), K(−3; −7), S(−9; −7). а) Как называется этот четырёхугольник? б) Чему равны его периметр и площадь, если единичный отрезок равен 1 дм? в) Найдите по рисунку координаты точки A пересечения отрезков MK и NS.
а) MN и SK горизонтальны, MS и NK вертикальны, все углы прямые: MNKS — прямоугольник.
б) MN = 6 дм, NK = 4 дм. Периметр 2 · (6 + 4) = 20 дм, площадь 6 · 4 = 24 дм².
в) Диагонали прямоугольника пересекаются в его центре: A(−6; −5) (рисунок).
б) MN = 6 дм, NK = 4 дм. Периметр 2 · (6 + 4) = 20 дм, площадь 6 · 4 = 24 дм².
в) Диагонали прямоугольника пересекаются в его центре: A(−6; −5) (рисунок).
6.54. Постройте треугольник ABC с вершинами A(3; 5), B(3; −2), C(−5; −2). а) Убедитесь по рисунку, что он прямоугольный, назовите перпендикулярные отрезки. б) Соедините отрезками середины K, M и N сторон AC, BC и AB. Проверьте, что длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника ABC.
а) AB вертикален (x = 3), BC горизонтален (y = −2), значит, AB ⊥ BC и угол B прямой: треугольник прямоугольный.
б) Середины: K(−1; 1,5), M(−1; −2), N(3; 1,5). Длины: AB = 7, BC = 8, AC ≈ 10,6; KM = 3,5, KN = 4, MN ≈ 5,3.
Отношения KM : AB = KN : BC = MN : AC = 1 : 2, значит, стороны треугольника KMN пропорциональны сторонам ABC с коэффициентом 1/2.
б) Середины: K(−1; 1,5), M(−1; −2), N(3; 1,5). Длины: AB = 7, BC = 8, AC ≈ 10,6; KM = 3,5, KN = 4, MN ≈ 5,3.
Отношения KM : AB = KN : BC = MN : AC = 1 : 2, значит, стороны треугольника KMN пропорциональны сторонам ABC с коэффициентом 1/2.
6.55. Найдите координаты точек B, F, E, D, K, C, A и M (рис. 6.24). [Рисунок 6.24: координатная плоскость с мелкой сеткой, единица — 10 малых клеток.]
Читаем по сетке (одна малая клетка равна 0,1):
B(−2; 2,6), F(−2; −1), E(−0,7; −2,4), D(−0,8; 0), K(0; −2), C(1; 1), A(1,3; 2), M(1,4; −1,7).
Оговорка: дробные координаты прочитаны с точностью до 0,1 по рисунку на скане.
B(−2; 2,6), F(−2; −1), E(−0,7; −2,4), D(−0,8; 0), K(0; −2), C(1; 1), A(1,3; 2), M(1,4; −1,7).
Оговорка: дробные координаты прочитаны с точностью до 0,1 по рисунку на скане.
6.56. Отметьте на линии (рис. 6.25) точку: а) ордината которой равна 0,7; 2,3; −0,6; −1,5; −2,1; б) абсцисса которой равна 1,2; 1,5; −1,5; 2,3. [Рисунок 6.25: кривая на координатной плоскости.]
а) Проводим горизонталь на заданной высоте до пересечения с линией и опускаем перпендикуляр на ось x: ордината 0,7 — абсцисса примерно 0,8; 2,3 — примерно 1,8; −0,6 — примерно 0,3; −1,5 — примерно −0,6; −2,1 — примерно −1,2.
б) Проводим вертикаль на заданной абсциссе до линии и считываем ординату: абсцисса 1,2 — ордината примерно 1,4; 1,5 — примерно 1,9; −1,5 — примерно −2,3; 2,3 — примерно 2,8.
Оговорка: линия задана только рисунком, поэтому значения приближённые (с точностью около 0,1–0,2).
б) Проводим вертикаль на заданной абсциссе до линии и считываем ординату: абсцисса 1,2 — ордината примерно 1,4; 1,5 — примерно 1,9; −1,5 — примерно −2,3; 2,3 — примерно 2,8.
Оговорка: линия задана только рисунком, поэтому значения приближённые (с точностью около 0,1–0,2).
6.57. Какие из точек M(2; 4), N(−1,5; 6), K(7,3; −4), L(0; 5) расположены: а) ниже оси абсцисс; б) правее оси ординат?
а) Ниже оси абсцисс лежат точки с отрицательной ординатой: K(7,3; −4).
б) Правее оси ординат лежат точки с положительной абсциссой: M(2; 4) и K(7,3; −4). Точка L лежит на оси ординат, N — левее неё.
б) Правее оси ординат лежат точки с положительной абсциссой: M(2; 4) и K(7,3; −4). Точка L лежит на оси ординат, N — левее неё.
6.58. Отметьте на координатной плоскости точку A(2; 5) и точку B с противоположными координатами. С помощью линейки выясните, лежат ли точки A, B и O (начало координат) на одной прямой. С помощью циркуля установите, верно ли, что OA = OB.
Точка с противоположными координатами: B(−2; −5). Линейка показывает, что A, O и B лежат на одной прямой, причём O между A и B. Циркулем: раствор, равный OA, откладываем от O по другую сторону — получаем B, значит, OA = OB (рисунок). Точка O — середина отрезка AB.
6.59. Отметьте на координатной плоскости точки M и K, имеющие противоположные абсциссы и одинаковые ординаты. Проведите отрезок MK. Обозначьте точку пересечения отрезка MK с осью y буквой C. С помощью чертёжного треугольника проверьте, верно ли, что отрезок MK перпендикулярен оси y. Верно ли, что выполняется равенство CM = CK?
Ответ поясните.
Берём, например, M(−3; 2) и K(3; 2). Отрезок MK горизонтален, поэтому перпендикулярен вертикальной оси y (угольник это подтверждает); он пересекает ось y в точке C(0; 2).
CM = 3 клетки и CK = 3 клетки: расстояния от оси y до точек с противоположными абсциссами равны, поэтому CM = CK (для любых таких точек). Рисунок.
CM = 3 клетки и CK = 3 клетки: расстояния от оси y до точек с противоположными абсциссами равны, поэтому CM = CK (для любых таких точек). Рисунок.
6.60. Отметьте на координатной плоскости точки T и E, имеющие одинаковые абсциссы, но противоположные ординаты. Проверьте, верно ли, что TE ⊥ OA и AT = AE, где O — начало координат, A — точка пересечения TE с осью абсцисс.
Берём, например, T(3; 2) и E(3; −2). Отрезок TE вертикален, ось абсцисс горизонтальна, значит, TE ⊥ OA (угольник это подтверждает). Он пересекает ось x в точке A(3; 0).
AT = 2 клетки и AE = 2 клетки, поэтому AT = AE (для любых таких точек: расстояния от оси x до точек с противоположными ординатами равны). Рисунок.
AT = 2 клетки и AE = 2 клетки, поэтому AT = AE (для любых таких точек: расстояния от оси x до точек с противоположными ординатами равны). Рисунок.