42. Параллельные прямые (упражнения 6.19–6.44) — с. 102
Вопросы к п. 42.
Как могут располагаться на плоскости две прямые?
Какие прямые называются параллельными?
Какие отрезки называются параллельными?
Как читают запись r ∥ s?
Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?
Пересекутся ли две прямые, перпендикулярные одной прямой?
Две прямые на плоскости либо пересекаются, либо не пересекаются.
Параллельные прямые — две прямые на плоскости, которые не пересекаются.
Параллельные отрезки — отрезки, лежащие на параллельных прямых.
Запись r ∥ s читают: «прямая r параллельна прямой s».
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Нет: две прямые, перпендикулярные третьей прямой, не пересекаются, то есть параллельны.
Параллельные прямые — две прямые на плоскости, которые не пересекаются.
Параллельные отрезки — отрезки, лежащие на параллельных прямых.
Запись r ∥ s читают: «прямая r параллельна прямой s».
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Нет: две прямые, перпендикулярные третьей прямой, не пересекаются, то есть параллельны.
6.19. Проведите прямую l и отметьте точки M и K по разные стороны от этой прямой. Проведите через точки M и K прямые, параллельные прямой l.
Прикладываем чертёжный треугольник одним катетом к прямой l, к его гипотенузе (или другому катету) прикладываем линейку и сдвигаем треугольник вдоль линейки до точки M — проводим прямую. Так же через K. Обе прямые параллельны l (и друг другу), рисунок.
6.20. Определите на глаз параллельные прямые на рисунке 6.15, а потом проверьте с помощью линейки и чертёжного треугольника параллельность этих прямых. Запишите их. [Рисунок 6.15: прямые l, d, p, c, a, q, r.]
Параллельны пары: l ∥ d и c ∥ a. Прямые q и r не параллельны (наклон r заметно больше), p ни с чем не параллельна.
Проверка: с помощью линейки и угольника: сдвигаем угольник вдоль линейки — катет, наложенный на l, при сдвиге совпадёт с d; так же для c и a.
Оговорка: пары определены измерением наклона линий на скане.
Проверка: с помощью линейки и угольника: сдвигаем угольник вдоль линейки — катет, наложенный на l, при сдвиге совпадёт с d; так же для c и a.
Оговорка: пары определены измерением наклона линий на скане.
6.21. Нарисуйте квадрат и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную его диагонали. Обозначьте точки пересечения прямых буквами. Какой четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках получился?
Чертим квадрат ABCD с диагоналями AC и BD. Через A и C проводим прямые, параллельные BD, а через B и D — прямые, параллельные AC. Точки пересечения K, L, M, N (рисунок).
Противоположные стороны KLMN попарно параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны, поэтому стороны перпендикулярны друг другу; стороны равны, так как каждая равна диагонали исходного квадрата
Ответ: получился квадрат KLMN.
Противоположные стороны KLMN попарно параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны, поэтому стороны перпендикулярны друг другу; стороны равны, так как каждая равна диагонали исходного квадрата
Ответ: получился квадрат KLMN.
6.22. Нарисуйте четырёхугольник. Отметьте точками A, B, C и D середины сторон. Проведите отрезки AB, BC, CD и AD. Проверьте, будут ли параллельны противоположные стороны четырёхугольника ABCD.
Середины сторон находим по линейке (делим каждую сторону пополам) и соединяем по порядку (рисунок). Проверка угольником и линейкой показывает: AB ∥ CD и BC ∥ AD — каждая сторона нового четырёхугольника параллельна одной из диагоналей исходного.
Ответ: да, противоположные стороны ABCD параллельны (это параллелограмм).
Ответ: да, противоположные стороны ABCD параллельны (это параллелограмм).
6.23. Нарисуйте треугольник ABC и проведите через его вершины A, B и C прямые, параллельные противоположным сторонам. Обозначьте вершины получившегося треугольника A₁, B₁ и C₁ так, чтобы точки A и A₁ лежали по разные стороны от прямой BC, а точки B и B₁ — от прямой AC. Сравните длины сторон AB и A₁B₁, AC и A₁C₁, BC и B₁C₁. Сделайте предположение.
Строим прямые через A ∥ BC, через B ∥ AC, через C ∥ AB (рисунок). Измерение показывает: A₁B₁ = 2 · AB, A₁C₁ = 2 · AC, B₁C₁ = 2 · BC.
Предположение: стороны треугольника A₁B₁C₁ вдвое длиннее соответствующих сторон треугольника ABC; точки A, B, C — середины сторон треугольника A₁B₁C₁.
Предположение: стороны треугольника A₁B₁C₁ вдвое длиннее соответствующих сторон треугольника ABC; точки A, B, C — середины сторон треугольника A₁B₁C₁.
6.24. Нарисуйте четырёхугольник так, чтобы две его стороны были параллельны, а две другие не параллельны.
Например, берём два параллельных отрезка разной длины и соединяем их концы: две стороны параллельны, две другие — нет (рисунок, слева). Такой четырёхугольник называется трапецией.
6.25. Нарисуйте трапецию ABCD так, чтобы стороны AD и BC были параллельны, а стороны AB и CD были равны.
Чертим основания AD ∥ BC, боковые стороны AB и CD берём равной длины (рисунок, в середине). Такая трапеция — равнобедренная (равнобокая).
6.26. Нарисуйте трапецию ABCD так, чтобы стороны AD и BC были параллельны, а сторона AB была перпендикулярна стороне BC. Будет ли сторона AB перпендикулярна AD?
Сделайте предположение.
Чертим BC ∥ AD и AB ⊥ BC (рисунок, справа). Проверка угольником: угол A тоже прямой.
Ответ: да, AB ⊥ AD, так как прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Такая трапеция называется прямоугольной.
Ответ: да, AB ⊥ AD, так как прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Такая трапеция называется прямоугольной.
6.27.
1. Нарисуйте четырёхугольник так, чтобы его противоположные стороны были параллельны и при этом в нём: а) не было прямых углов; б) были прямые углы.
2. Как называют параллелограмм, у которого есть прямые углы?
Сколько прямых углов может быть в параллелограмме?
1) а) Параллелограмм с косыми углами; б) параллелограмм с прямыми углами (рисунок).
2) Параллелограмм с прямым углом называют прямоугольником. Если в параллелограмме один угол прямой, то и остальные прямые, поэтому прямых углов в параллелограмме может быть 0 или 4 (не 1, 2 или 3).
2) Параллелограмм с прямым углом называют прямоугольником. Если в параллелограмме один угол прямой, то и остальные прямые, поэтому прямых углов в параллелограмме может быть 0 или 4 (не 1, 2 или 3).