41. Перпендикулярные прямые (упражнения 6.1–6.18) — с. 100
6.9. Найдите семь последовательных целых чисел, сумма которых равна нулю.
Числа −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3: противоположные числа в сумме дают нуль, остаётся 0. Проверка: −3 − 2 − 1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 0.
Пусть среднее число x, тогда сумма x − 3, x − 2, x − 1, x, x + 1, x + 2, x + 3 равна 7x = 0, откуда x = 0 — другого набора нет.
Пусть среднее число x, тогда сумма x − 3, x − 2, x − 1, x, x + 1, x + 2, x + 3 равна 7x = 0, откуда x = 0 — другого набора нет.
6.10. С виноградника собрали 200 ц винограда. Из них 40 % отправили в город на продажу, 1/4 оставшегося винограда отправили в детские оздоровительные комплексы, а остальные — на плодоперерабатывающее предприятие. Сколько тонн винограда отправили на плодоперерабатывающее предприятие?
В город отправили 200 · 0,4 = 80 ц, осталось 200 − 80 = 120 ц. Детям отправили 120 : 4 = 30 ц. На предприятие 120 − 30 = 90 ц = 9 т (1 т = 10 ц).
Ответ: 9 т.
Ответ: 9 т.
6.11. В первый день туристы прошли 50 % намеченного пути, во второй день — 60 % пути, пройденного в первый день, а в третий день они преодолели последние 6 км пути. Сколько километров составлял весь маршрут туристов?
Пусть весь путь равен S. В первый день пройдено 0,5S, во второй 0,6 · 0,5S = 0,3S. За два дня 0,8S, значит, последние 6 км — это 0,2S.
S = 6 : 0,2 = 30.
Ответ: 30 км.
S = 6 : 0,2 = 30.
Ответ: 30 км.
6.12. Старинная задача. В клетке сидят фазаны и кролики. У них 11 голов и 34 ноги. Сколько кроликов и сколько фазанов в клетке?
Пусть кроликов x, тогда фазанов 11 − x. У кролика 4 ноги, у фазана 2: 4x + 2(11 − x) = 34; 2x = 12; x = 6.
Фазанов 11 − 6 = 5. Проверка: 6 · 4 + 5 · 2 = 24 + 10 = 34.
Ответ: 6 кроликов и 5 фазанов.
Фазанов 11 − 6 = 5. Проверка: 6 · 4 + 5 · 2 = 24 + 10 = 34.
Ответ: 6 кроликов и 5 фазанов.
6.13. Выполните действия:
1. (2,25 · 4/9 − 2,25 : 2 1/4) · 5,7 − 5,7;
2. (3,25 · 4/13 − 3,25 : 3 1/4) · 9,3 − 9,3.
1) 2,25 · 4/9 = 1; 2 1/4 = 2,25, поэтому 2,25 : 2 1/4 = 1. В скобках 1 − 1 = 0; 0 · 5,7 − 5,7 = −5,7.
2) 3,25 · 4/13 = 1; 3 1/4 = 3,25, поэтому 3,25 : 3 1/4 = 1. В скобках 0; 0 · 9,3 − 9,3 = −9,3.
2) 3,25 · 4/13 = 1; 3 1/4 = 3,25, поэтому 3,25 : 3 1/4 = 1. В скобках 0; 0 · 9,3 − 9,3 = −9,3.
6.14. Проведите через точки A, B и C прямые, перпендикулярные прямой m (рис. 6.8). [Рисунок 6.8: три клетчатых поля а), б), в) с прямой m и точками A, B, C.]
Прикладываем один катет чертёжного треугольника к прямой m, сдвигаем треугольник (по линейке) так, чтобы второй катет прошёл через точку, и проводим прямую. Через каждую точку проходит единственная прямая, перпендикулярная m. Результаты — на рисунке: красная прямая — через A, синяя — через B, оранжевая — через C. Перпендикуляры к одной прямой параллельны друг другу. В в) точки A и B лежат на одной перпендикулярной прямой, поэтому красная и синяя прямые совпадают.
Оговорка: положение прямой m и точек взято с рисунка 6.8 (наклон m: в а) 3 клетки вверх на 8 вправо, в б) около 13 клеток вниз на 7 вправо, в в) 45°); чертёж выполнен по этим данным.
Оговорка: положение прямой m и точек взято с рисунка 6.8 (наклон m: в а) 3 клетки вверх на 8 вправо, в б) около 13 клеток вниз на 7 вправо, в в) 45°); чертёж выполнен по этим данным.
6.15. Развивай воображение. Начертите два перпендикулярных отрезка так, чтобы они: а) пересеклись; б) не пересеклись. Выполните это задание для лучей. Могут ли два отрезка (луча) на плоскости располагаться по-другому?
а) Отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых, пересекаются, если точка пересечения прямых принадлежит обоим отрезкам (рисунок слева).
б) Если точка пересечения прямых не лежит хотя бы на одном из отрезков, отрезки не пересекаются, хотя лежат на перпендикулярных прямых (рисунок). Для лучей так же: лучи пересекаются, когда точка пересечения прямых лежит на обоих лучах, и не пересекаются в противном случае.
Да, по-другому отрезки (лучи) тоже могут располагаться: пересекаться под углом, не равным 90°; не пересекаться, лежа на непересекающихся прямых (параллельные отрезки); лежать на одной прямой.
б) Если точка пересечения прямых не лежит хотя бы на одном из отрезков, отрезки не пересекаются, хотя лежат на перпендикулярных прямых (рисунок). Для лучей так же: лучи пересекаются, когда точка пересечения прямых лежит на обоих лучах, и не пересекаются в противном случае.
Да, по-другому отрезки (лучи) тоже могут располагаться: пересекаться под углом, не равным 90°; не пересекаться, лежа на непересекающихся прямых (параллельные отрезки); лежать на одной прямой.
6.16. Ширина газона 8 м, а длина 20 м. Ширину увеличили на 30 %. Как изменилась площадь газона?
Площадь сначала 8 · 20 = 160 м². Новая ширина 8 · 1,3 = 10,4 м, площадь 10,4 · 20 = 208 м². Увеличение 208 − 160 = 48 м², то есть 48 : 160 = 0,3 = 30 %.
Ответ: площадь увеличилась на 48 м², то есть на 30 % (при неизменной длине).
Ответ: площадь увеличилась на 48 м², то есть на 30 % (при неизменной длине).
6.17. В двух корзинках было поровну яблок. В первую корзинку доложили 8 яблок, а из второй забрали 4 яблока. После этого в первой корзинке стало в 5 раз больше яблок, чем во второй. Сколько яблок было в каждой корзинке?
Пусть в каждой корзинке было x яблок. Стало x + 8 и x − 4. x + 8 = 5(x − 4); x + 8 = 5x − 20; 4x = 28; x = 7.
Проверка: 15 = 5 · 3.
Ответ: по 7 яблок.
Проверка: 15 = 5 · 3.
Ответ: по 7 яблок.
6.18. Вычислите: а) 21 + 9,7 · (3,4 − 3,7); б) (134,31 : 3,3 + 4,4) : 1,1 + 8,8; в) (0,7 − 7/20) · 2 2/9 − 0,4 : 1,8; г) (2,28 − 1 7/25) : 4/9 − 0,375 : 1/6.
а) 21 + 9,7 · (−0,3) = 21 − 2,91 = 18,09.
б) 134,31 : 3,3 = 40,7; 40,7 + 4,4 = 45,1; 45,1 : 1,1 = 41; 41 + 8,8 = 49,8.
в) 0,7 − 7/20 = 0,35 = 7/20; 7/20 · 20/9 = 7/9; 0,4 : 1,8 = 2/9; 7/9 − 2/9 = 5/9.
г) 2,28 − 1 7/25 = 2,28 − 1,28 = 1; 1 : 4/9 = 9/4 = 2,25; 0,375 : 1/6 = 2,25; 2,25 − 2,25 = 0.
б) 134,31 : 3,3 = 40,7; 40,7 + 4,4 = 45,1; 45,1 : 1,1 = 41; 41 + 8,8 = 49,8.
в) 0,7 − 7/20 = 0,35 = 7/20; 7/20 · 20/9 = 7/9; 0,4 : 1,8 = 2/9; 7/9 − 2/9 = 5/9.
г) 2,28 − 1 7/25 = 2,28 − 1,28 = 1; 1 : 4/9 = 9/4 = 2,25; 0,375 : 1/6 = 2,25; 2,25 − 2,25 = 0.