41. Перпендикулярные прямые (упражнения 6.1–6.18) — с. 99
6.1. Используя транспортир, постройте две перпендикулярные прямые.
Проводим прямую a и отмечаем на ней точку O. Совмещаем центр транспортира с точкой O, а нулевую отметку — с прямой a. Отмечаем точку у деления 90° и проводим через неё и точку O прямую b. Угол между a и b равен 90°, поэтому a ⊥ b (рисунок).
6.2. Определите на глаз, какие пары прямых на рисунке 6.5 перпендикулярны, и запишите. Проверьте с помощью чертёжного треугольника, верно ли найдены пары перпендикулярных прямых. [Рисунок 6.5: прямые s, t, m, c, a, n, z, b.]
Перпендикулярны пары: a ⊥ c (горизонтальная и вертикальная), s ⊥ t, n ⊥ z, b ⊥ m.
Проверка: прикладываем катет чертёжного треугольника к одной прямой из пары — второй катет должен совпасть со второй прямой. Измерение углов по рисунку подтверждает эти четыре пары; остальные пары прямых пересекаются под углом, заметно отличающимся от 90° (например, n и m образуют угол около 85°, a и z — около 79°).
Оговорка: ответ определён по рисунку на скане, поэтому для надёжности его стоит проверить угольником на самой странице.
Проверка: прикладываем катет чертёжного треугольника к одной прямой из пары — второй катет должен совпасть со второй прямой. Измерение углов по рисунку подтверждает эти четыре пары; остальные пары прямых пересекаются под углом, заметно отличающимся от 90° (например, n и m образуют угол около 85°, a и z — около 79°).
Оговорка: ответ определён по рисунку на скане, поэтому для надёжности его стоит проверить угольником на самой странице.
6.3. а) Проведите прямую NM, отметьте точку K (рис. 6.6). Используя чертёжный треугольник, проведите через эту точку перпендикулярную прямую к прямой NM. Сколько прямых, перпендикулярных отрезку NM, можно провести через точку K? б) Проведите прямую NM, отметьте точку P (см. рис. 6.6). Используя чертёжный треугольник, проведите перпендикулярную прямую к прямой NM через точку P. Можно ли провести перпендикулярную прямую через точку P к отрезку NM?
а) Один катет треугольника кладём на прямую NM, второй катет подводим к точке K и проводим по нему прямую. Через точку K можно провести только одну прямую, перпендикулярную NM (на клетчатой бумаге при движении 7 клеток вправо и 2 вверх вдоль NM перпендикуляр идёт на 2 клетки влево и 7 вверх). Основание перпендикуляра лежит на самом отрезке NM.
б) Так же проводим через точку P прямую, перпендикулярную прямой NM. Её основание лежит за точкой N, то есть на продолжении отрезка NM, а не на самом отрезке. Поэтому перпендикулярную к прямой NM прямую через P провести можно (она единственная), но она пересекает не отрезок NM, а его продолжение за точку N.
Оговорка: положение точек K, M, N, P взято по клеткам рисунка 6.6 (N(3; 3), M(10; 5), K(10; 1), P(1; 5) в клетках от левого нижнего угла сетки).
б) Так же проводим через точку P прямую, перпендикулярную прямой NM. Её основание лежит за точкой N, то есть на продолжении отрезка NM, а не на самом отрезке. Поэтому перпендикулярную к прямой NM прямую через P провести можно (она единственная), но она пересекает не отрезок NM, а его продолжение за точку N.
Оговорка: положение точек K, M, N, P взято по клеткам рисунка 6.6 (N(3; 3), M(10; 5), K(10; 1), P(1; 5) в клетках от левого нижнего угла сетки).
6.4. Найдите и запишите, какие из отрезков на рисунке 6.7 перпендикулярны. [Рисунок 6.7: отрезки XY, VZ, SC, LK, OP, AB.]
Перпендикулярны отрезки XY и AB: XY ⊥ AB. Остальные пары отрезков образуют углы, заметно отличающиеся от 90° (например, VZ и OP — около 85°, VZ и SC — около 82°).
Оговорка: ответ найден по измерению углов на скане; на странице его стоит проверить чертёжным треугольником.
Оговорка: ответ найден по измерению углов на скане; на странице его стоит проверить чертёжным треугольником.
6.5. Постройте прямой угол A. Отметьте на сторонах угла точки B и D так, что AB = AD, и проведите через них прямые, перпендикулярные сторонам угла. Отметьте точку C пересечения этих прямых. Как называется четырёхугольник ABCD?
Строим прямой угол A, откладываем на его сторонах равные отрезки AB и AD. Через B проводим прямую, перпендикулярную AB, через D — прямую, перпендикулярную AD; они пересекаются в точке C (рисунок).
У четырёхугольника ABCD три прямых угла (A, B и D), значит, и четвёртый угол C прямой, то есть ABCD — прямоугольник. Смежные стороны AB и AD равны, поэтому все стороны равны.
Ответ: ABCD — квадрат.
У четырёхугольника ABCD три прямых угла (A, B и D), значит, и четвёртый угол C прямой, то есть ABCD — прямоугольник. Смежные стороны AB и AD равны, поэтому все стороны равны.
Ответ: ABCD — квадрат.
6.6. Начертите четырёхугольник MNPK, у которого: а) MN ⊥ NP; б) MN ⊥ MK и NP ⊥ MN; в) MN ⊥ NP, MN ⊥ MK и PK ⊥ NP.
Чертим по условиям, прямые углы строим чертёжным треугольником (рисунок).
а) Достаточно одного прямого угла N между сторонами MN и NP; вершину K выбираем произвольно.
б) Прямые углы при вершинах M и N: стороны MK и NP перпендикулярны MN (они параллельны друг другу), K и P выбираем на этих сторонах произвольно.
в) Прямые углы при вершинах M, N и P — у такого четырёхугольника и четвёртый угол K прямой, это прямоугольник.
а) Достаточно одного прямого угла N между сторонами MN и NP; вершину K выбираем произвольно.
б) Прямые углы при вершинах M и N: стороны MK и NP перпендикулярны MN (они параллельны друг другу), K и P выбираем на этих сторонах произвольно.
в) Прямые углы при вершинах M, N и P — у такого четырёхугольника и четвёртый угол K прямой, это прямоугольник.
6.7. Решите уравнение: а) 3a − 4 = 2a + 6; б) 4/7 x + 3/7 = 1/7 x; в) 1,7y − 1 = 1,3y + 1,4; г) 4/7 x = 4/21 x − 8/21.
а) 3a − 2a = 6 + 4; a = 10.
б) 4/7 x − 1/7 x = −3/7; 3/7 x = −3/7; x = −1.
в) 1,7y − 1,3y = 1,4 + 1; 0,4y = 2,4; y = 6.
г) 4/7 x − 4/21 x = −8/21; (12/21 − 4/21)x = −8/21; 8/21 x = −8/21; x = −1.
б) 4/7 x − 1/7 x = −3/7; 3/7 x = −3/7; x = −1.
в) 1,7y − 1,3y = 1,4 + 1; 0,4y = 2,4; y = 6.
г) 4/7 x − 4/21 x = −8/21; (12/21 − 4/21)x = −8/21; 8/21 x = −8/21; x = −1.
6.8. Развивай мышление. В клетках прямоугольника расставьте числа 11, −12, 13, −14, 15, −16, 17, −18, 19 так, чтобы их произведения были больше 0 по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям. [Таблица 3 × 3.]
Произведение положительно, когда число отрицательных множителей чётно. Отрицательных чисел четыре: −12, −14, −16, −18. Поставим их в углы, а положительные числа — на остальные места.
Тогда в верхней и нижней строках, в левом и правом столбцах и в обеих диагоналях по два отрицательных числа, а в средней строке и среднем столбце — ни одного: все восемь произведений положительны (рисунок). Расстановка не единственная.
Тогда в верхней и нижней строках, в левом и правом столбцах и в обеих диагоналях по два отрицательных числа, а в средней строке и среднем столбце — ни одного: все восемь произведений положительны (рисунок). Расстановка не единственная.