Математика · 6 КЛАСС

Упражнение 1-10, часть 2 — Применяем математику (к § 5)

Страница 97 · Учебник Виленкин 6 класс · Часть 2

Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов · Просвещение, 2023 · 3-е издание, переработанное

Оглавление

Применяем математику (к § 5) — с. 97

Применяем математику. 1. Рассчитайте собственную скорость экскурсионного теплохода, если за 5 ч ему надо проплыть путь по течению реки, а за 7 ч вернуться обратно. Скорость течения реки 3 км/ч.
Пусть собственная скорость v км/ч. По течению v + 3, против течения v − 3. Путь один и тот же: 5(v + 3) = 7(v − 3); 5v + 15 = 7v − 21; 2v = 36; v = 18.
Проверка: 5 · 21 = 105 км и 7 · 15 = 105 км.
Ответ: 18 км/ч.
Применяем математику. 2. Два рефрижератора из двух городов, расстояние между которыми 770 км, должны доставить груз одновременно через 5 ч на комбинат, расположенный между этими городами, выехав также одновременно навстречу друг другу. Средняя скорость на трассе одного рефрижератора на 20 км/ч больше средней скорости другого. С какими средними скоростями они должны двигаться, чтобы прибыть в пункт назначения, соблюдая данные условия?
Пусть скорость одного v км/ч, другого v + 20 км/ч. За 5 ч вместе они проезжают весь путь между городами: 5v + 5(v + 20) = 770; 10v + 100 = 770; v = 67.
Второй: 67 + 20 = 87. Проверка: 5 · 67 + 5 · 87 = 335 + 435 = 770.
Ответ: 67 км/ч и 87 км/ч.
Применяем математику. 3. Задача Э. Безу. По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?
Пусть отработано x дней, тогда не отработано 30 − x. Заработано 48x, вычтено 12(30 − x), итог 0: 48x = 12(30 − x); 48x = 360 − 12x; 60x = 360; x = 6.
Проверка: 6 · 48 = 288 и 24 · 12 = 288.
Ответ: 6 дней.
Применяем математику. 4. Старинная задача. На ферме 1000 кроликов и фазанов, у них 3150 ног. Сколько кроликов и сколько фазанов на ферме?
У кролика 4 ноги, у фазана 2. Пусть кроликов x, тогда фазанов 1000 − x. 4x + 2(1000 − x) = 3150; 2x = 1150; x = 575.
Фазанов 1000 − 575 = 425. Проверка: 4 · 575 + 2 · 425 = 2300 + 850 = 3150.
Ответ: 575 кроликов и 425 фазанов.
Применяем математику. 5. При несвоевременной оплате счетов за жилищно-коммунальные услуги, платежей по кредиту начисляются пени за первые 30 дней по формуле P = 1/300 · M · N · S, где M — сумма долга в рублях, N — количество дней просрочки, S — ставка рефинансирования Центрального банка в процентах. Рассчитайте пени за 25 дней просрочки, которую должен заплатить гражданин при сумме долга в 4000 р. и ставке рефинансирования 7,5 %.
Ставка 7,5 % — это 0,075. P = 1/300 · 4000 · 25 · 0,075 = 7500 : 300 = 25.
Ответ: 25 р.
Оговорка: если подставить S = 7,5 как число без перевода процентов, по формуле выйдет 2500 р. — больше половины долга за 25 дней, что нереально; поэтому ставка взята в виде десятичной дроби.
Применяем математику. 6. Турист рассчитал, что если он будет идти к железнодорожной станции со скоростью 4 км/ч, то опоздает к поезду на полчаса, а если он будет идти со скоростью 5 км/ч, то придёт на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстояние должен пройти турист?
Пусть расстояние s км. Время при скорости 4 км/ч больше времени при скорости 5 км/ч на 30 мин + 6 мин = 36 мин = 0,6 ч.
s/4 − s/5 = 0,6; s/20 = 0,6; s = 12.
Проверка: до отправления поезда остаётся 12/4 − 0,5 = 2,5 ч; при скорости 5 км/ч идти 12/5 = 2,4 ч, то есть на 0,1 ч = 6 мин меньше.
Ответ: 12 км.
Применяем математику. 7. В растворе содержится 30 % соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70 % соли. Какова первоначальная масса раствора? Сколько граммов соли было в растворе первоначально?
Пусть масса раствора m г, соли в нём 0,3m г. После добавления соли: 0,3m + 120 = 0,7(m + 120); 0,3m + 120 = 0,7m + 84; 0,4m = 36; m = 90.
Соли было 0,3 · 90 = 27 г. Проверка: (27 + 120) : (90 + 120) = 147 : 210 = 0,7.
Ответ: 90 г раствора, в нём 27 г соли.
Применяем математику. 8. Старинная задача. Из трёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, а вместе 66 рупий. Сколько дал каждый?
Пусть первый дал x рупий, тогда второй 2x, третий 3 · 2x = 6x. x + 2x + 6x = 66; 9x = 66; x = 22/3 = 7 1/3.
Второй дал 14 2/3, третий 44. Проверка: 7 1/3 + 14 2/3 + 44 = 66.
Ответ: 7 1/3 рупии, 14 2/3 рупии и 44 рупии.
Применяем математику. 9. Прибыль, полученная фирмой за первое полугодие, составила 126 млн р., причём за первый квартал было получено на 10 % меньше, чем за второй. Какую прибыль получила фирма во втором квартале?
Пусть во втором квартале получено x млн р. Тогда в первом 0,9x. x + 0,9x = 126; 1,9x = 126; x = 126 : 1,9 = 1260/19 = 66 6/19 ≈ 66,3 млн р.
Оговорка: при буквальном чтении («на 10 % меньше, чем за второй») ответ получается нецелым. Если 10 % считать от прибыли первого квартала (второй больше первого на 10 %), то x + x : 1,1 = 126 даёт 66 млн р. во втором квартале и 60 млн р. в первом.
Ответ: примерно 66,3 млн р. (66 млн р. при втором чтении).
Применяем математику. 10. Два акционера владеют 75 % всех акций агрохолдинга в отношении 11 : 9. Остальные 100 000 акций принадлежат работникам агрохолдинга. Определите количество акций у каждого акционера.
Работникам принадлежит 100 % − 75 % = 25 % акций — это 100 000 штук. Всего акций: 100 000 : 0,25 = 400 000; акционерам принадлежит 75 % = 300 000 акций.
Всего частей 11 + 9 = 20; одна часть 300 000 : 20 = 15 000.
Первый акционер: 11 · 15 000 = 165 000; второй: 9 · 15 000 = 135 000.
Ответ: 165 000 и 135 000 акций.