14. Применение распределительного свойства умножения (упражнения 2.364–2.389) — с. 97
2.390. а) Было собрано 180 кг яблок. На приготовление сока израсходовали 7/12 всех яблок, а остальные яблоки оставили в свежем виде на зиму. Сколько килограммов яблок было оставлено на зиму? б) В саду посажены 24 куста чёрной и красной смородины. Красная смородина составила 0,25 всех кустов. Сколько кустов чёрной смородины было посажено в саду?
а) На сок пошло 180 · 7/12 = 105 кг, осталось 180 − 105 = 75 кг. (Или сразу: на зиму 1 − 7/12 = 5/12 всех яблок, 180 · 5/12 = 75 кг.)
б) Чёрная смородина составляет 1 − 0,25 = 0,75 всех кустов: 24 · 0,75 = 18 кустов (красной 24 · 0,25 = 6).
Ответ: а) 75 кг; б) 18 кустов.
б) Чёрная смородина составляет 1 − 0,25 = 0,75 всех кустов: 24 · 0,75 = 18 кустов (красной 24 · 0,25 = 6).
Ответ: а) 75 кг; б) 18 кустов.
2.391. В библиотеке 2450 книг. Книги для детей составляют 0,4 всех книг. Сколько книг для детей в библиотеке?
Сколько в библиотеке книг для взрослых?
Детских книг: 2450 · 0,4 = 980. Для взрослых: 2450 − 980 = 1470 (или 2450 · 0,6 = 1470). Ответ: 980 книг для детей и 1470 для взрослых.
2.392. В субботу Катя прочитала 4/9 всей книги, причём до обеда она прочитала 3/5 прочитанного за субботу. Какую часть книги прочитала Катя до обеда в субботу?
До обеда Катя прочитала 3/5 от 4/9 книги: 4/9 · 3/5 = 12/45 = 4/15 книги. Ответ: 4/15 книги.
2.393. Музыкальный телевизионный конкурс проходил в три этапа. По результатам первого этапа 40 % участников не прошли на второй этап, а по результатам второго этапа 75 % оставшихся участников не попали на третий этап. Сколько процентов участников конкурса состязалось на третьем этапе?
Всех участников принимаем за 100 %. После первого этапа остались 100 % − 40 % = 60 %. После второго этапа остались 100 % − 75 % = 25 % от этих 60 %: 60 · 0,25 = 15 %. Ответ: 15 % участников дошли до третьего этапа.
2.394. Со склада выдали в первый раз для штукатурки стен 4/9 имеющейся сухой смеси, а во второй раз — 0,4 оставшейся смеси. Сколько килограммов смеси выдали во второй раз, если на складе первоначально было 4500 кг?
После первой выдачи осталось 1 − 4/9 = 5/9 смеси: 4500 · 5/9 = 2500 кг. Во второй раз выдали 0,4 от остатка: 2500 · 0,4 = 1000 кг. Ответ: 1000 кг.
2.395. Выполните действия: а) 27/35 · 7/9 − 9/24 · 6/45; б) 1 41/44 · 11/17 − 27/40 · 5/18; в) 12 1/10 · 2 4/11 + 2 24/31 · 7 3/4; г) 13 2/7 − 5 5/8 · (1 2/9 − 39/45); д) (3/5)³; е) (7/8)².
а) 27/35 · 7/9 = 3/5; 9/24 · 6/45 = 1/20; 3/5 − 1/20 = 12/20 − 1/20 = 11/20.
б) 1 41/44 = 85/44; 85/44 · 11/17 = 5/4; 27/40 · 5/18 = 3/16; 5/4 − 3/16 = 20/16 − 3/16 = 17/16 = 1 1/16.
в) 121/10 · 26/11 = 143/5 = 28,6; 2 24/31 = 86/31; 7 3/4 = 31/4; 86/31 · 31/4 = 43/2 = 21,5; 28,6 + 21,5 = 50,1 = 50 1/10.
г) 1 2/9 − 39/45 = 11/9 − 13/15 = 55/45 − 39/45 = 16/45; 5 5/8 · 16/45 = 45/8 · 16/45 = 2; 13 2/7 − 2 = 11 2/7.
д) (3/5)³ = 27/125.
е) (7/8)² = 49/64.
Ответ: а) 11/20; б) 1 1/16; в) 50 1/10; г) 11 2/7; д) 27/125; е) 49/64.
Оговорка: показатели степени в д) и е) читаются на скане как 3 и 2.
б) 1 41/44 = 85/44; 85/44 · 11/17 = 5/4; 27/40 · 5/18 = 3/16; 5/4 − 3/16 = 20/16 − 3/16 = 17/16 = 1 1/16.
в) 121/10 · 26/11 = 143/5 = 28,6; 2 24/31 = 86/31; 7 3/4 = 31/4; 86/31 · 31/4 = 43/2 = 21,5; 28,6 + 21,5 = 50,1 = 50 1/10.
г) 1 2/9 − 39/45 = 11/9 − 13/15 = 55/45 − 39/45 = 16/45; 5 5/8 · 16/45 = 45/8 · 16/45 = 2; 13 2/7 − 2 = 11 2/7.
д) (3/5)³ = 27/125.
е) (7/8)² = 49/64.
Ответ: а) 11/20; б) 1 1/16; в) 50 1/10; г) 11 2/7; д) 27/125; е) 49/64.
Оговорка: показатели степени в д) и е) читаются на скане как 3 и 2.
2.396. Вычислите:
1. (4,51 : 1,1 + 5,3) · (8,4 − 10,23 : 3,1);
2. (4,05 : 2,7 − 1,2) · (2,5 + 8,37 : 2,7).
1) 4,51 : 1,1 = 4,1; 4,1 + 5,3 = 9,4; 10,23 : 3,1 = 3,3; 8,4 − 3,3 = 5,1; 9,4 · 5,1 = 47,94.
2) 4,05 : 2,7 = 1,5; 1,5 − 1,2 = 0,3; 8,37 : 2,7 = 3,1; 2,5 + 3,1 = 5,6; 0,3 · 5,6 = 1,68.
Ответ: 1) 47,94; 2) 1,68.
2) 4,05 : 2,7 = 1,5; 1,5 − 1,2 = 0,3; 8,37 : 2,7 = 3,1; 2,5 + 3,1 = 5,6; 0,3 · 5,6 = 1,68.
Ответ: 1) 47,94; 2) 1,68.
2.397. Найдите произведение: а) 8 4/15 · 2; б) 3 9/14 · 7; в) 7 4/27 · 5; г) 8 · 2 1/8; д) 5 5/6 · 3; е) 7 7/11 · 11.
Умножаем целую и дробную части отдельно.
а) 16 + 8/15 = 16 8/15.
б) 21 + 9/2 = 21 + 4 1/2 = 25 1/2.
в) 35 + 20/27 = 35 20/27.
г) 16 + 1 = 17.
д) 15 + 5/2 = 17 1/2.
е) 77 + 7 = 84.
а) 16 + 8/15 = 16 8/15.
б) 21 + 9/2 = 21 + 4 1/2 = 25 1/2.
в) 35 + 20/27 = 35 20/27.
г) 16 + 1 = 17.
д) 15 + 5/2 = 17 1/2.
е) 77 + 7 = 84.
2.398. Вычислите: а) (4 3/4 − 3 1/12) · 4; б) (5 14/19 − 5 1/38) · 38; в) 7 4/19 · 6 1/4 + 4 15/19 · 6 1/4; г) 3 1/14 · 17 7/29 − 3 1/14 · 3 7/29; д) (1 1/2 + 2 1/16) · 2 10/11; е) 2 2/3 · (2 1/16 − 1 7/8).
а) 4 3/4 − 3 1/12 = 4 9/12 − 3 1/12 = 1 8/12 = 1 2/3; 1 2/3 · 4 = 6 2/3.
б) 5 14/19 − 5 1/38 = 28/38 − 1/38 = 27/38; 27/38 · 38 = 27.
в) Общий множитель 6 1/4: (7 4/19 + 4 15/19) · 6 1/4 = 12 · 6 1/4 = 75 (7 4/19 + 4 15/19 = 11 19/19 = 12).
г) Общий множитель 3 1/14: 3 1/14 · (17 7/29 − 3 7/29) = 3 1/14 · 14 = 43.
д) 1 1/2 + 2 1/16 = 3 9/16 = 57/16; 2 10/11 = 32/11; 57/16 · 32/11 = 114/11 = 10 4/11.
е) 2 1/16 − 1 7/8 = 2 1/16 − 1 14/16 = 3/16; 8/3 · 3/16 = 1/2.
Ответ: а) 6 2/3; б) 27; в) 75; г) 43; д) 10 4/11; е) 1/2.
б) 5 14/19 − 5 1/38 = 28/38 − 1/38 = 27/38; 27/38 · 38 = 27.
в) Общий множитель 6 1/4: (7 4/19 + 4 15/19) · 6 1/4 = 12 · 6 1/4 = 75 (7 4/19 + 4 15/19 = 11 19/19 = 12).
г) Общий множитель 3 1/14: 3 1/14 · (17 7/29 − 3 7/29) = 3 1/14 · 14 = 43.
д) 1 1/2 + 2 1/16 = 3 9/16 = 57/16; 2 10/11 = 32/11; 57/16 · 32/11 = 114/11 = 10 4/11.
е) 2 1/16 − 1 7/8 = 2 1/16 − 1 14/16 = 3/16; 8/3 · 3/16 = 1/2.
Ответ: а) 6 2/3; б) 27; в) 75; г) 43; д) 10 4/11; е) 1/2.
2.399. Упростите и найдите значение выражения: а) 4/7 x + 5/14 x при x = 5 1/4; 9/13; б) 5/16 y + y − 3/8 y при y = 1 1/15; 1 7/8; в) 17/42 c − 2/7 c + 7/18 c при c = 3 1/2; 2 5/8; г) 3/4 n + 2/3 n − 4/18 n при n = 1 13/23; 6/41.
а) (8/14 + 5/14)x = 13/14 x. При x = 5 1/4 = 21/4: 13/14 · 21/4 = 39/8 = 4 7/8. При x = 9/13: 13/14 · 9/13 = 9/14.
б) (5/16 + 16/16 − 6/16)y = 15/16 y. При y = 1 1/15 = 16/15: 15/16 · 16/15 = 1. При y = 1 7/8 = 15/8: 15/16 · 15/8 = 225/128 = 1 97/128.
в) НОК(42; 7; 18) = 126: 51/126 − 36/126 + 49/126 = 64/126 = 32/63, получаем 32/63 c. При c = 7/2: 32/63 · 7/2 = 16/9 = 1 7/9. При c = 21/8: 32/63 · 21/8 = 4/3 = 1 1/3.
г) 4/18 = 2/9; НОК(4; 3; 9) = 36: 27/36 + 24/36 − 8/36 = 43/36 = 1 7/36, получаем 43/36 n. При n = 36/23: 43/23 = 1 20/23. При n = 6/41: 43/36 · 6/41 = 43/246.
Ответ: а) 13/14 x: 4 7/8 и 9/14; б) 15/16 y: 1 и 1 97/128; в) 32/63 c: 1 7/9 и 1 1/3; г) 43/36 n: 1 20/23 и 43/246.
б) (5/16 + 16/16 − 6/16)y = 15/16 y. При y = 1 1/15 = 16/15: 15/16 · 16/15 = 1. При y = 1 7/8 = 15/8: 15/16 · 15/8 = 225/128 = 1 97/128.
в) НОК(42; 7; 18) = 126: 51/126 − 36/126 + 49/126 = 64/126 = 32/63, получаем 32/63 c. При c = 7/2: 32/63 · 7/2 = 16/9 = 1 7/9. При c = 21/8: 32/63 · 21/8 = 4/3 = 1 1/3.
г) 4/18 = 2/9; НОК(4; 3; 9) = 36: 27/36 + 24/36 − 8/36 = 43/36 = 1 7/36, получаем 43/36 n. При n = 36/23: 43/23 = 1 20/23. При n = 6/41: 43/36 · 6/41 = 43/246.
Ответ: а) 13/14 x: 4 7/8 и 9/14; б) 15/16 y: 1 и 1 97/128; в) 32/63 c: 1 7/9 и 1 1/3; г) 43/36 n: 1 20/23 и 43/246.
2.400. Поезд шёл 5 ч со скоростью 50 3/4 км/ч и 5 ч со скоростью 50 1/4 км/ч. Сколько километров прошёл поезд за эти 10 ч?
Путь = 5 · 50 3/4 + 5 · 50 1/4 = 5 · (50 3/4 + 50 1/4) = 5 · 101 = 505 км. Ответ: 505 км.