14. Применение распределительного свойства умножения (упражнения 2.364–2.389) — с. 95
2.371. Найдите корень уравнения: а) (3/4 − 3/5 y) · 20 = 3; б) (6/7 x − 1/3) · 21 = 32; в) 5/7 x + 2/7 x = 23; г) 11/15 n + 3/5 n − 1/3 n = 9.
а) Делим на 20: 3/4 − 3/5 y = 3/20; вычитаемое 3/5 y = 3/4 − 3/20 = 15/20 − 3/20 = 12/20 = 3/5; y = 3/5 : 3/5 = 1. Проверка: (3/4 − 3/5) · 20 = 3/20 · 20 = 3 ✓.
б) 6/7 x − 1/3 = 32/21; 6/7 x = 32/21 + 7/21 = 39/21 = 13/7; x = 13/7 : 6/7 = 13/6 = 2 1/6. Проверка: (6/7 · 13/6 − 1/3) · 21 = (13/7 − 1/3) · 21 = 39 − 7 = 32 ✓.
в) (5/7 + 2/7)x = x, значит x = 23.
г) Приводим подобные: 11/15 + 9/15 − 5/15 = 15/15 = 1; n = 9.
Ответ: а) y = 1; б) x = 2 1/6; в) x = 23; г) n = 9.
б) 6/7 x − 1/3 = 32/21; 6/7 x = 32/21 + 7/21 = 39/21 = 13/7; x = 13/7 : 6/7 = 13/6 = 2 1/6. Проверка: (6/7 · 13/6 − 1/3) · 21 = (13/7 − 1/3) · 21 = 39 − 7 = 32 ✓.
в) (5/7 + 2/7)x = x, значит x = 23.
г) Приводим подобные: 11/15 + 9/15 − 5/15 = 15/15 = 1; n = 9.
Ответ: а) y = 1; б) x = 2 1/6; в) x = 23; г) n = 9.
2.372. Бобр живёт 15 лет, лев — в 1 2/3 раза дольше бобра, а дельфин — в 3 раза дольше льва. Сколько лет составляет продолжительность жизни дельфина?
Лев: 15 · 1 2/3 = 15 · 5/3 = 25 лет. Дельфин: 25 · 3 = 75 лет. Ответ: 75 лет.
2.373. На дачном участке есть сад и огород прямоугольной формы. Длина сада 13 7/10 м, а ширина 9 м. Ширина огорода 9 м, а длина 10 7/10 м. На сколько площадь огорода меньше площади сада?
Площадь сада: 13 7/10 · 9 = 117 + 63/10 = 123,3 м². Площадь огорода: 10 7/10 · 9 = 90 + 63/10 = 96,3 м². Разность 123,3 − 96,3 = 27 м². Удобнее так: ширины одинаковы, значит разность равна 9 · (13 7/10 − 10 7/10) = 9 · 3 = 27 м². Ответ: на 27 м².
2.374. Маршрут равен s км. В первый день туристы прошли 1/4 маршрута. Какую часть маршрута осталось пройти?
Найдите значение получившегося выражения при s = 56; s = 232; s = 188 4/5.
Осталось 1 − 1/4 = 3/4 маршрута, то есть 3/4 · s км. При s = 56: 56 · 3/4 = 42 км. При s = 232: 232 · 3/4 = 174 км. При s = 188 4/5: 188 4/5 · 3/4 = 944/5 · 3/4 = 708/5 = 141 3/5 км. Ответ: 3/4 маршрута, 3/4 s; 42 км; 174 км; 141 3/5 км.
2.375. В первый день Маша прочитала 3/14 всей повести, во второй день — 1/7 всей повести. Сколько страниц прочитала Маша за два дня, если вся повесть занимает a страниц?
Составьте выражение для решения задачи, упростите его и найдите значение при a = 42; a = 70; a = 98.
Выражение: 3/14 a + 1/7 a. Упрощаем: (3/14 + 2/14)a = 5/14 a. При a = 42: 5/14 · 42 = 15; при a = 70: 5/14 · 70 = 25; при a = 98: 5/14 · 98 = 35. Ответ: 5/14 a страниц; 15, 25 и 35 страниц.
2.376. В двухкомнатной квартире жилой площадью a м² одна комната составляет 0,48 жилой площади, а другая составляет 5/8 площади первой комнаты. Чему равна площадь двух комнат вместе?
Найдите значение получившегося выражения при a = 45; a = 70.
Первая комната: 0,48a. Вторая: 5/8 · 0,48a = 0,3a. Вместе: 0,48a + 0,3a = 0,78a м². При a = 45: 0,78 · 45 = 35,1 м². При a = 70: 0,78 · 70 = 54,6 м². Ответ: 0,78a м²; 35,1 м² и 54,6 м².
2.377. На заправке было b тыс. л бензина. В первый день продали 3/8 этого бензина, во второй — 0,4 того количества, которое продали в первый день. Сколько бензина осталось на заправке?
Найдите значение получившегося выражения при b = 6,4; b = 56 1/4.
В первый день: 3/8 b. Во второй: 0,4 · 3/8 b = 0,15b. Продано 3/8 b + 0,15b = 0,375b + 0,15b = 0,525b. Осталось b − 0,525b = 0,475b = 19/40 b тыс. л. При b = 6,4: 0,475 · 6,4 = 3,04 тыс. л (3 1/25). При b = 56 1/4: 19/40 · 225/4 = 4275/160 = 26 23/32 тыс. л (≈ 26,72). Ответ: 19/40 b тыс. л; 3,04 тыс. л; 26 23/32 тыс. л.
2.378. Кладовщик в первый раз выдал 45 % имеющегося творога, во второй раз — 60 % остатка. Сколько килограммов творога осталось на складе, если первоначально было n кг?
Найдите значение получившегося выражения при n = 2300; n = 700; n = 90.
После первой выдачи осталось 100 % − 45 % = 55 % = 0,55n. Во второй раз выдали 60 % остатка, осталось 40 % остатка: 0,55n · 0,4 = 0,22n кг. При n = 2300: 0,22 · 2300 = 506 кг; при n = 700: 154 кг; при n = 90: 19,8 кг. Ответ: 0,22n кг; 506 кг; 154 кг; 19,8 кг.
2.379. Найдите значение выражения: а) (2 1/4 + 1 5/6) · (4 − 3 38/49); б) (2 + 3 11/18) · (20 − 17 9/16); в) (2 + 1 8/9) · (3 4/5 − 38/55); г) 5 13/15 · 5/11 − 7 1/5 · 1/6.
а) 2 1/4 + 1 5/6 = 3 + 3/12 + 10/12 = 4 1/12 = 49/12; 4 − 3 38/49 = 11/49; 49/12 · 11/49 = 11/12.
б) 2 + 3 11/18 = 5 11/18 = 101/18; 20 − 17 9/16 = 2 7/16 = 39/16; 101/18 · 39/16 = 101 · 13/(6 · 16) = 1313/96 = 13 65/96.
в) 2 + 1 8/9 = 3 8/9 = 35/9; 3 4/5 − 38/55 = 209/55 − 38/55 = 171/55; 35/9 · 171/55 = 7 · 19/11 = 133/11 = 12 1/11.
г) 5 13/15 = 88/15; 88/15 · 5/11 = 8/3; 7 1/5 · 1/6 = 36/5 · 1/6 = 6/5; 8/3 − 6/5 = 40/15 − 18/15 = 22/15 = 1 7/15.
Ответ: а) 11/12; б) 13 65/96; в) 12 1/11; г) 1 7/15.
б) 2 + 3 11/18 = 5 11/18 = 101/18; 20 − 17 9/16 = 2 7/16 = 39/16; 101/18 · 39/16 = 101 · 13/(6 · 16) = 1313/96 = 13 65/96.
в) 2 + 1 8/9 = 3 8/9 = 35/9; 3 4/5 − 38/55 = 209/55 − 38/55 = 171/55; 35/9 · 171/55 = 7 · 19/11 = 133/11 = 12 1/11.
г) 5 13/15 = 88/15; 88/15 · 5/11 = 8/3; 7 1/5 · 1/6 = 36/5 · 1/6 = 6/5; 8/3 − 6/5 = 40/15 − 18/15 = 22/15 = 1 7/15.
Ответ: а) 11/12; б) 13 65/96; в) 12 1/11; г) 1 7/15.
2.380. Значение какого выражения больше: (7 − 6 4/7) · (4 − 2 1/4) или 7 · 6 4/7 − 4 · 2 1/4?
Первое выражение: 7 − 6 4/7 = 3/7; 4 − 2 1/4 = 1 3/4 = 7/4; 3/7 · 7/4 = 3/4.
Второе выражение: 7 · 6 4/7 = 42 + 4 = 46; 4 · 2 1/4 = 8 + 1 = 9; 46 − 9 = 37.
37 > 3/4, поэтому больше значение второго выражения (на 36 1/4).
Оговорка: второе выражение прочитано на скане как 7 · 6 4/7 − 4 · 2 1/4.
Второе выражение: 7 · 6 4/7 = 42 + 4 = 46; 4 · 2 1/4 = 8 + 1 = 9; 46 − 9 = 37.
37 > 3/4, поэтому больше значение второго выражения (на 36 1/4).
Оговорка: второе выражение прочитано на скане как 7 · 6 4/7 − 4 · 2 1/4.
2.381. Найдите значение выражения: а) 4 3/5 n + m при n = 1 4/23, m = 6 13/30; б) 5 1/7 (n + m) при n = 1 7/9, m = 2 1/9.
а) 4 3/5 · 1 4/23 = 23/5 · 27/23 = 27/5 = 5 2/5; 5 2/5 + 6 13/30 = 5 12/30 + 6 13/30 = 11 25/30 = 11 5/6.
б) n + m = 1 7/9 + 2 1/9 = 3 8/9 = 35/9; 5 1/7 · 35/9 = 36/7 · 35/9 = 20.
Ответ: а) 11 5/6; б) 20.
б) n + m = 1 7/9 + 2 1/9 = 3 8/9 = 35/9; 5 1/7 · 35/9 = 36/7 · 35/9 = 20.
Ответ: а) 11 5/6; б) 20.