14. Применение распределительного свойства умножения (упражнения 2.364–2.389) — с. 94
Вопрос к п. 14.
Расскажите о двух способах умножения смешанного числа на натуральное число.
Первый способ: записать смешанное число неправильной дробью и умножить дробь на натуральное число (числитель на число). Например, 3 1/22 · 11 = 67/22 · 11 = 67/2 = 33 1/2.
Второй способ — по распределительному свойству: смешанное число представляют суммой целой и дробной частей и умножают на число каждую часть отдельно, а результаты складывают: (3 + 1/22) · 11 = 3 · 11 + 1/22 · 11 = 33 + 1/2 = 33 1/2. То есть: 1) умножаем на число целую часть; 2) умножаем на число дробную часть; 3) складываем результаты. Оба способа дают один и тот же ответ.
Второй способ — по распределительному свойству: смешанное число представляют суммой целой и дробной частей и умножают на число каждую часть отдельно, а результаты складывают: (3 + 1/22) · 11 = 3 · 11 + 1/22 · 11 = 33 + 1/2 = 33 1/2. То есть: 1) умножаем на число целую часть; 2) умножаем на число дробную часть; 3) складываем результаты. Оба способа дают один и тот же ответ.
2.364. Выполните действия: а) (4/9 + 7/36) · 36; б) (17/18 − 5/6) · 18; в) (5/12 + 11/18) · 36; г) (10/11 − 19/33) · 66; д) (15/24 + 7/36) · 12; е) (25/26 − 27/65) · 91.
Применяем распределительное свойство: каждую дробь в скобках умножаем на число, оно делится на знаменатели.
а) 4/9 · 36 + 7/36 · 36 = 16 + 7 = 23.
б) 17/18 · 18 − 5/6 · 18 = 17 − 15 = 2.
в) 5/12 · 36 + 11/18 · 36 = 15 + 22 = 37.
г) 10/11 · 66 − 19/33 · 66 = 60 − 38 = 22.
д) 15/24 · 12 + 7/36 · 12 = 15/2 + 7/3 = 7 1/2 + 2 1/3 = 9 5/6.
е) 25/26 · 91 − 27/65 · 91 = 175/2 − 189/5 = 87,5 − 37,8 = 49,7 = 49 7/10.
Ответ: а) 23; б) 2; в) 37; г) 22; д) 9 5/6; е) 49 7/10.
а) 4/9 · 36 + 7/36 · 36 = 16 + 7 = 23.
б) 17/18 · 18 − 5/6 · 18 = 17 − 15 = 2.
в) 5/12 · 36 + 11/18 · 36 = 15 + 22 = 37.
г) 10/11 · 66 − 19/33 · 66 = 60 − 38 = 22.
д) 15/24 · 12 + 7/36 · 12 = 15/2 + 7/3 = 7 1/2 + 2 1/3 = 9 5/6.
е) 25/26 · 91 − 27/65 · 91 = 175/2 − 189/5 = 87,5 − 37,8 = 49,7 = 49 7/10.
Ответ: а) 23; б) 2; в) 37; г) 22; д) 9 5/6; е) 49 7/10.
2.365. Найдите произведение: а) 3 1/9 · 5; б) 8 2/9 · 4; в) 4 · 2 1/5; г) 8 · 2 1/11; д) 5 1/5 · 5; е) 3 3/7 · 7; ж) 6 · 10 1/6; з) 11 1/3 · 3; и) 23 5/8 · 8; к) 11 7/15 · 15.
Умножаем отдельно целую и дробную части (дробную часто удаётся сократить).
а) 3 · 5 + 1/9 · 5 = 15 + 5/9 = 15 5/9.
б) 8 · 4 + 2/9 · 4 = 32 + 8/9 = 32 8/9.
в) 4 · 2 + 4 · 1/5 = 8 + 4/5 = 8 4/5.
г) 8 · 2 + 8/11 = 16 8/11.
д) 5 · 5 + 1/5 · 5 = 25 + 1 = 26.
е) 3 · 7 + 3/7 · 7 = 21 + 3 = 24.
ж) 6 · 10 + 6 · 1/6 = 60 + 1 = 61.
з) 11 · 3 + 1/3 · 3 = 33 + 1 = 34.
и) 23 · 8 + 5/8 · 8 = 184 + 5 = 189.
к) 11 · 15 + 7/15 · 15 = 165 + 7 = 172.
а) 3 · 5 + 1/9 · 5 = 15 + 5/9 = 15 5/9.
б) 8 · 4 + 2/9 · 4 = 32 + 8/9 = 32 8/9.
в) 4 · 2 + 4 · 1/5 = 8 + 4/5 = 8 4/5.
г) 8 · 2 + 8/11 = 16 8/11.
д) 5 · 5 + 1/5 · 5 = 25 + 1 = 26.
е) 3 · 7 + 3/7 · 7 = 21 + 3 = 24.
ж) 6 · 10 + 6 · 1/6 = 60 + 1 = 61.
з) 11 · 3 + 1/3 · 3 = 33 + 1 = 34.
и) 23 · 8 + 5/8 · 8 = 184 + 5 = 189.
к) 11 · 15 + 7/15 · 15 = 165 + 7 = 172.
2.366. Найдите значение выражения: а) (4 5/9 + 4/9) · 9; б) (2 3/4 + 7 1/3) · 6; в) (10 − 2 1/11) · 11; г) (8 − 1 2/5 · 3) · 25.
а) 4 5/9 + 4/9 = 5; 5 · 9 = 45.
б) 2 3/4 + 7 1/3 = 2 9/12 + 7 4/12 = 10 1/12; 10 1/12 · 6 = 60 + 1/2 = 60 1/2. (Или распределительным свойством: 2 3/4 · 6 + 7 1/3 · 6 = 16 1/2 + 44 = 60 1/2.)
в) 10 − 2 1/11 = 7 10/11; 7 10/11 · 11 = 77 + 10 = 87.
г) Сначала умножение в скобках: 1 2/5 · 3 = 4 1/5; 8 − 4 1/5 = 3 4/5; 3 4/5 · 25 = 75 + 20 = 95.
Ответ: а) 45; б) 60 1/2; в) 87; г) 95.
б) 2 3/4 + 7 1/3 = 2 9/12 + 7 4/12 = 10 1/12; 10 1/12 · 6 = 60 + 1/2 = 60 1/2. (Или распределительным свойством: 2 3/4 · 6 + 7 1/3 · 6 = 16 1/2 + 44 = 60 1/2.)
в) 10 − 2 1/11 = 7 10/11; 7 10/11 · 11 = 77 + 10 = 87.
г) Сначала умножение в скобках: 1 2/5 · 3 = 4 1/5; 8 − 4 1/5 = 3 4/5; 3 4/5 · 25 = 75 + 20 = 95.
Ответ: а) 45; б) 60 1/2; в) 87; г) 95.
2.367. Выполните действия: а) 7 1/13 · 5 5/7 + 7 1/13 · 7 2/7; б) 7 3/4 · 10 3/8 − 3 3/8 · 7 3/4; в) 4 3/5 · 4 3/5 + 4 3/5 · 2/5.
Выносим общий множитель за скобки.
а) 7 1/13 · (5 5/7 + 7 2/7) = 7 1/13 · 13 = 91 + 1 = 92 (5 5/7 + 7 2/7 = 12 + 1 = 13).
б) 7 3/4 · (10 3/8 − 3 3/8) = 7 3/4 · 7 = 49 + 21/4 = 54 1/4.
в) 4 3/5 · (4 3/5 + 2/5) = 4 3/5 · 5 = 20 + 3 = 23.
Ответ: а) 92; б) 54 1/4; в) 23.
а) 7 1/13 · (5 5/7 + 7 2/7) = 7 1/13 · 13 = 91 + 1 = 92 (5 5/7 + 7 2/7 = 12 + 1 = 13).
б) 7 3/4 · (10 3/8 − 3 3/8) = 7 3/4 · 7 = 49 + 21/4 = 54 1/4.
в) 4 3/5 · (4 3/5 + 2/5) = 4 3/5 · 5 = 20 + 3 = 23.
Ответ: а) 92; б) 54 1/4; в) 23.
2.368. Упростите выражение: а) 3/7 a + 2/7 a; б) 9/14 n − 3/14 n; в) 7/9 c − 11/18 c; г) 7/8 x − 5/6 x; д) 4/13 p + 9/13 p; е) 4/11 a + a; ж) z − 1/9 z; з) 1 3/4 t − 7/8 t.
Выносим букву за скобки и действуем с коэффициентами.
а) (3/7 + 2/7)a = 5/7 a.
б) (9/14 − 3/14)n = 6/14 n = 3/7 n.
в) (14/18 − 11/18)c = 3/18 c = 1/6 c.
г) (21/24 − 20/24)x = 1/24 x.
д) (4/13 + 9/13)p = 13/13 p = p.
е) (4/11 + 1)a = 1 4/11 a.
ж) (1 − 1/9)z = 8/9 z.
з) (1 3/4 − 7/8)t = (1 6/8 − 7/8)t = 7/8 t.
а) (3/7 + 2/7)a = 5/7 a.
б) (9/14 − 3/14)n = 6/14 n = 3/7 n.
в) (14/18 − 11/18)c = 3/18 c = 1/6 c.
г) (21/24 − 20/24)x = 1/24 x.
д) (4/13 + 9/13)p = 13/13 p = p.
е) (4/11 + 1)a = 1 4/11 a.
ж) (1 − 1/9)z = 8/9 z.
з) (1 3/4 − 7/8)t = (1 6/8 − 7/8)t = 7/8 t.
2.369. Упростите выражение: а) 3/5 x + 2/15 x − 4/15 x; б) 3/4 a − 5/8 a + 7/8 a; в) 7/24 z + (11/12 z − 2/3 z); г) 9/14 c − (3/14 c + 2/7 c).
а) 9/15 + 2/15 − 4/15 = 7/15, получаем 7/15 x.
б) 6/8 − 5/8 + 7/8 = 8/8 = 1, получаем a.
в) Скобки можно опустить: 7/24 + 22/24 − 16/24 = 13/24, получаем 13/24 z.
г) Раскрываем скобки со знаком «−»: 9/14 − 3/14 − 4/14 = 2/14 = 1/7, получаем 1/7 c.
б) 6/8 − 5/8 + 7/8 = 8/8 = 1, получаем a.
в) Скобки можно опустить: 7/24 + 22/24 − 16/24 = 13/24, получаем 13/24 z.
г) Раскрываем скобки со знаком «−»: 9/14 − 3/14 − 4/14 = 2/14 = 1/7, получаем 1/7 c.
2.370. Ваня за одну минуту проходит 83 2/3 м. Какое расстояние он пройдёт за 3 мин; 20 мин; 1 ч?
Путь = скорость · время. 83 2/3 = 83 + 2/3.
За 3 мин: 83 2/3 · 3 = 249 + 2 = 251 м.
За 20 мин: 83 2/3 · 20 = 1660 + 40/3 = 1660 + 13 1/3 = 1673 1/3 м.
За 1 ч = 60 мин: 83 2/3 · 60 = 4980 + 40 = 5020 м.
Ответ: 251 м; 1673 1/3 м; 5020 м.
За 3 мин: 83 2/3 · 3 = 249 + 2 = 251 м.
За 20 мин: 83 2/3 · 20 = 1660 + 40/3 = 1660 + 13 1/3 = 1673 1/3 м.
За 1 ч = 60 мин: 83 2/3 · 60 = 4980 + 40 = 5020 м.
Ответ: 251 м; 1673 1/3 м; 5020 м.