14. Применение распределительного свойства умножения (упражнения 2.364–2.389) — с. 96
2.382. Вычислите. а) 90 − 73; · 4; − 26; : 7; ? б) 750 : 250; · 140; + 360; : 20; ? в) 0,7 · 6; − 3,6; + 5; : 14; ? г) 5,4 : 0,9; · 0,4; + 1,6; : 10; ? д) 0,48 : 0,6; + 4,2; : 2,5; · 10; ?
Действия в столбце выполняем по порядку сверху вниз.
а) 90 − 73 = 17; 17 · 4 = 68; 68 − 26 = 42; 42 : 7 = 6.
б) 750 : 250 = 3; 3 · 140 = 420; 420 + 360 = 780; 780 : 20 = 39.
в) 0,7 · 6 = 4,2; 4,2 − 3,6 = 0,6; 0,6 + 5 = 5,6; 5,6 : 14 = 0,4.
г) 5,4 : 0,9 = 6; 6 · 0,4 = 2,4; 2,4 + 1,6 = 4; 4 : 10 = 0,4.
д) 0,48 : 0,6 = 0,8; 0,8 + 4,2 = 5; 5 : 2,5 = 2; 2 · 10 = 20.
Ответ: а) 6; б) 39; в) 0,4; г) 0,4; д) 20.
а) 90 − 73 = 17; 17 · 4 = 68; 68 − 26 = 42; 42 : 7 = 6.
б) 750 : 250 = 3; 3 · 140 = 420; 420 + 360 = 780; 780 : 20 = 39.
в) 0,7 · 6 = 4,2; 4,2 − 3,6 = 0,6; 0,6 + 5 = 5,6; 5,6 : 14 = 0,4.
г) 5,4 : 0,9 = 6; 6 · 0,4 = 2,4; 2,4 + 1,6 = 4; 4 : 10 = 0,4.
д) 0,48 : 0,6 = 0,8; 0,8 + 4,2 = 5; 5 : 2,5 = 2; 2 · 10 = 20.
Ответ: а) 6; б) 39; в) 0,4; г) 0,4; д) 20.
2.383. Найдите произведение: а) 4/9 · 9/7 · 7/17 · 17/28; б) 13/17 · 15/19 · 17/13 · 19/15; в) 7 · 1/7 · 8 · 1/8 · 9 · 1/9 · 10 · 1/10.
Во всех примерах числители и знаменатели сокращаются.
а) Сокращаем 9, 7 и 17: остаётся 4/28 = 1/7.
б) Сокращаем 13, 15, 17 и 19: остаётся 1.
в) Каждое число умножено на обратное ему (7 · 1/7 = 1, 8 · 1/8 = 1 и т. д.): 1 · 1 · 1 · 1 = 1.
Ответ: а) 1/7; б) 1; в) 1.
а) Сокращаем 9, 7 и 17: остаётся 4/28 = 1/7.
б) Сокращаем 13, 15, 17 и 19: остаётся 1.
в) Каждое число умножено на обратное ему (7 · 1/7 = 1, 8 · 1/8 = 1 и т. д.): 1 · 1 · 1 · 1 = 1.
Ответ: а) 1/7; б) 1; в) 1.
2.384. Выполните действия: а) (1/3)³; б) (1/2)³ + 1/4; в) (1 − 4/5)³.
а) (1/3)³ = 1/27.
б) (1/2)³ = 1/8; 1/8 + 1/4 = 1/8 + 2/8 = 3/8.
в) 1 − 4/5 = 1/5; (1/5)³ = 1/125.
Оговорка: показатели степени на скане читаются как 3.
б) (1/2)³ = 1/8; 1/8 + 1/4 = 1/8 + 2/8 = 3/8.
в) 1 − 4/5 = 1/5; (1/5)³ = 1/125.
Оговорка: показатели степени на скане читаются как 3.
2.385. Найдите число, от которого отняли 1/3 и получили: а) 1; б) 1/6; в) 5/6; г) 23/24; д) 1 5/6.
Неизвестное уменьшаемое равно разности плюс вычитаемое: x = (результат) + 1/3.
а) 1 + 1/3 = 1 1/3.
б) 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2.
в) 5/6 + 2/6 = 7/6 = 1 1/6.
г) 23/24 + 8/24 = 31/24 = 1 7/24.
д) 1 5/6 + 2/6 = 1 7/6 = 2 1/6.
а) 1 + 1/3 = 1 1/3.
б) 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2.
в) 5/6 + 2/6 = 7/6 = 1 1/6.
г) 23/24 + 8/24 = 31/24 = 1 7/24.
д) 1 5/6 + 2/6 = 1 7/6 = 2 1/6.
2.386. Как из числа, записанного в квадратике, получить числа, записанные в кружках?
(в схемах а и б в квадратике 2/5)
Числа в кружках получаются умножением 2/5 на подходящее число: множитель равен (число в кружке) : 2/5.
а) 1/4 = 2/5 · 5/8; 4/25 = 2/5 · 2/5; 1/3 = 2/5 · 5/6; 0 = 2/5 · 0; 2 1/2 = 2/5 · 6 1/4; 8/25 = 2/5 · 4/5; 7/5 = 2/5 · 3 1/2; 1 = 2/5 · 2 1/2.
б) 3 = 2/5 · 7 1/2; 5/16 = 2/5 · 25/32; 2 2/3 = 2/5 · 6 2/3; 3/40 = 2/5 · 3/16; 1 = 2/5 · 2 1/2; 3/13 = 2/5 · 15/26; 0 = 2/5 · 0; 2 1/3 = 2/5 · 5 5/6.
Проверка, например: 2/5 · 5/8 = 1/4 ✓; 2/5 · 6 2/3 = 2/5 · 20/3 = 8/3 = 2 2/3 ✓.
Оговорка: на схеме операции не подписаны; ответ получен умножением (допустимы и другие способы получения чисел).
а) 1/4 = 2/5 · 5/8; 4/25 = 2/5 · 2/5; 1/3 = 2/5 · 5/6; 0 = 2/5 · 0; 2 1/2 = 2/5 · 6 1/4; 8/25 = 2/5 · 4/5; 7/5 = 2/5 · 3 1/2; 1 = 2/5 · 2 1/2.
б) 3 = 2/5 · 7 1/2; 5/16 = 2/5 · 25/32; 2 2/3 = 2/5 · 6 2/3; 3/40 = 2/5 · 3/16; 1 = 2/5 · 2 1/2; 3/13 = 2/5 · 15/26; 0 = 2/5 · 0; 2 1/3 = 2/5 · 5 5/6.
Проверка, например: 2/5 · 5/8 = 1/4 ✓; 2/5 · 6 2/3 = 2/5 · 20/3 = 8/3 = 2 2/3 ✓.
Оговорка: на схеме операции не подписаны; ответ получен умножением (допустимы и другие способы получения чисел).
2.387. Подсчитайте на своих моделях число граней, вершин, рёбер у треугольной пирамиды; у четырёхугольной пирамиды. А сколько граней, вершин, рёбер у семиугольной пирамиды?
У пирамиды с n-угольным основанием: граней n + 1 (n боковых и основание), вершин n + 1 (n в основании и вершина пирамиды), рёбер 2n (n в основании и n боковых).
Треугольная (n = 3): 4 грани, 4 вершины, 6 рёбер.
Четырёхугольная (n = 4): 5 граней, 5 вершин, 8 рёбер.
Семиугольная (n = 7): 8 граней, 8 вершин, 14 рёбер.
Треугольная (n = 3): 4 грани, 4 вершины, 6 рёбер.
Четырёхугольная (n = 4): 5 граней, 5 вершин, 8 рёбер.
Семиугольная (n = 7): 8 граней, 8 вершин, 14 рёбер.
2.388. Корабли возвращаются в порт приписки после каждого рейса. У первого корабля рейс длится 6 дней, у второго — 5 дней, а у третьего — 20 дней. Через сколько дней корабли опять встретятся в порту, если в первый рейс они вышли одновременно?
Корабли будут в порту одновременно через число дней, которое делится на 6, на 5 и на 20, то есть кратное каждому из этих чисел; ближайший такой момент — наименьшее общее кратное. НОК(6; 5; 20): 20 = 2² · 5, 6 = 2 · 3, 5 — получаем 2² · 3 · 5 = 60. Ответ: через 60 дней.
2.389. Юрий Долгорукий основал Москву в 1147 г., а Пётр I — Санкт-Петербург в 1703 г. Какой город моложе и на сколько лет?
Позже основан Санкт-Петербург (1703 > 1147), значит, он моложе. 1703 − 1147 = 556. Ответ: Санкт-Петербург моложе Москвы на 556 лет.