12. Действие умножения смешанных чисел (упражнения 2.259–2.281) — с. 86
2.310. Вычислите: а) 4/9 · (3 3/14 · 2 4/5)²; б) ((2/3)³ + 5/9) · 9/11; в) (2 1/2 − 11/14) · (1 4/9 + 2 5/6 − 2 3/4).
а) 3 3/14 · 2 4/5 = 45/14 · 14/5 = 9; 9² = 81; 4/9 · 81 = 36.
б) (2/3)³ = 8/27; 5/9 = 15/27; сумма 23/27; 23/27 · 9/11 = 23/33.
в) 2 1/2 − 11/14 = 35/14 − 11/14 = 24/14 = 12/7. Во второй скобке НОК = 36: 1 16/36 + 2 30/36 − 2 27/36 = 3 46/36 − 2 27/36 = 1 19/36 = 55/36. Произведение 12/7 · 55/36 = 55/21 = 2 13/21.
Ответ: а) 36; б) 23/33; в) 2 13/21.
Оговорка: показатель степени у (2/3) в б) на скане читается как 3.
б) (2/3)³ = 8/27; 5/9 = 15/27; сумма 23/27; 23/27 · 9/11 = 23/33.
в) 2 1/2 − 11/14 = 35/14 − 11/14 = 24/14 = 12/7. Во второй скобке НОК = 36: 1 16/36 + 2 30/36 − 2 27/36 = 3 46/36 − 2 27/36 = 1 19/36 = 55/36. Произведение 12/7 · 55/36 = 55/21 = 2 13/21.
Ответ: а) 36; б) 23/33; в) 2 13/21.
Оговорка: показатель степени у (2/3) в б) на скане читается как 3.
2.311. Запишите в виде обыкновенной дроби: а) 38 %; б) 65 %; в) 70 %; г) 90 %.
n % = n/100, затем сокращаем.
а) 38/100 = 19/50.
б) 65/100 = 13/20.
в) 70/100 = 7/10.
г) 90/100 = 9/10.
а) 38/100 = 19/50.
б) 65/100 = 13/20.
в) 70/100 = 7/10.
г) 90/100 = 9/10.
2.312. Запишите в виде процентов: а) 0,34; б) 0,6; в) 0,09; г) 4/5; д) 9/20; е) 11/50.
Умножаем на 100 %.
а) 0,34 = 34 %.
б) 0,6 = 60 %.
в) 0,09 = 9 %.
г) 4/5 = 0,8 = 80 %.
д) 9/20 = 45/100 = 45 %.
е) 11/50 = 22/100 = 22 %.
а) 0,34 = 34 %.
б) 0,6 = 60 %.
в) 0,09 = 9 %.
г) 4/5 = 0,8 = 80 %.
д) 9/20 = 45/100 = 45 %.
е) 11/50 = 22/100 = 22 %.
2.313. Автомобиль догоняет автобус. Сейчас расстояние между ними 7 км. Скорость автобуса 45,5 км/ч, а скорость автомобиля 59,5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через t ч, если t = 0,1; t = 0,25; t = 0,5?
Автомобиль быстрее, поэтому расстояние каждый час сокращается на 59,5 − 45,5 = 14 км. Через t часов расстояние равно 7 − 14t (км).
t = 0,1: 7 − 1,4 = 5,6 км.
t = 0,25: 7 − 3,5 = 3,5 км.
t = 0,5: 7 − 7 = 0 км — автомобиль как раз догонит автобус.
Ответ: 5,6 км; 3,5 км; 0 км.
t = 0,1: 7 − 1,4 = 5,6 км.
t = 0,25: 7 − 3,5 = 3,5 км.
t = 0,5: 7 − 7 = 0 км — автомобиль как раз догонит автобус.
Ответ: 5,6 км; 3,5 км; 0 км.
2.314. Найдите корень уравнения: а) 11,4b − (2,7b + 3,2b) + 2,35 = 6,2; б) 15d − (12,1d − 0,7d) + 5,6 = 20; в) 3x + 1/6 − (3 1/2 x − 1 1/4 x) = 4 2/3.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.
а) 2,7b + 3,2b = 5,9b; 11,4b − 5,9b = 5,5b; 5,5b + 2,35 = 6,2; 5,5b = 3,85; b = 0,7. Проверка: 11,4 · 0,7 − 5,9 · 0,7 + 2,35 = 7,98 − 4,13 + 2,35 = 6,2 ✓.
б) 12,1d − 0,7d = 11,4d; 15d − 11,4d = 3,6d; 3,6d + 5,6 = 20; 3,6d = 14,4; d = 4. Проверка: 60 − 45,6 + 5,6 = 20 ✓.
в) 3 1/2 x − 1 1/4 x = 2 1/4 x; 3x − 2 1/4 x = 3/4 x; 3/4 x + 1/6 = 4 2/3; 3/4 x = 4 2/3 − 1/6 = 4 1/2; x = 9/2 : 3/4 = 6. Проверка: 18 + 1/6 − (21 − 7 1/2) = 18 1/6 − 13 1/2 = 4 2/3 ✓.
Ответ: а) b = 0,7; б) d = 4; в) x = 6.
а) 2,7b + 3,2b = 5,9b; 11,4b − 5,9b = 5,5b; 5,5b + 2,35 = 6,2; 5,5b = 3,85; b = 0,7. Проверка: 11,4 · 0,7 − 5,9 · 0,7 + 2,35 = 7,98 − 4,13 + 2,35 = 6,2 ✓.
б) 12,1d − 0,7d = 11,4d; 15d − 11,4d = 3,6d; 3,6d + 5,6 = 20; 3,6d = 14,4; d = 4. Проверка: 60 − 45,6 + 5,6 = 20 ✓.
в) 3 1/2 x − 1 1/4 x = 2 1/4 x; 3x − 2 1/4 x = 3/4 x; 3/4 x + 1/6 = 4 2/3; 3/4 x = 4 2/3 − 1/6 = 4 1/2; x = 9/2 : 3/4 = 6. Проверка: 18 + 1/6 − (21 − 7 1/2) = 18 1/6 − 13 1/2 = 4 2/3 ✓.
Ответ: а) b = 0,7; б) d = 4; в) x = 6.
2.315. Выполните действия: 24,062 − 8,04 : (0,763 + 1,237) − 6,25 · 2,74.
Порядок: скобки, деление и умножение, потом вычитания. 0,763 + 1,237 = 2; 8,04 : 2 = 4,02; 6,25 · 2,74 = 17,125. 24,062 − 4,02 = 20,042; 20,042 − 17,125 = 2,917. Ответ: 2,917.
Проверочная работа (п. 12).
1. Увеличьте: а) 4/7 в 3 раза; б) 1 3/8 в 5 раз; в) 2/9 в 18 раз; г) 2 6/13 в 13 раз.
Увеличить в несколько раз — значит умножить.
а) 4/7 · 3 = 12/7 = 1 5/7.
б) 1 3/8 · 5 = 11/8 · 5 = 55/8 = 6 7/8.
в) 2/9 · 18 = 4.
г) 2 6/13 · 13 = 32/13 · 13 = 32.
а) 4/7 · 3 = 12/7 = 1 5/7.
б) 1 3/8 · 5 = 11/8 · 5 = 55/8 = 6 7/8.
в) 2/9 · 18 = 4.
г) 2 6/13 · 13 = 32/13 · 13 = 32.
Проверочная работа (п. 12).
2. Сколько метров составляет: а) 1/10 км; б) 2/5 км; в) 4/15 км; г) 1 7/30 км; д) 6 3/55 км?
В 1 км 1000 м, поэтому дробь км умножаем на 1000.
а) 1/10 · 1000 = 100 м.
б) 2/5 · 1000 = 400 м.
в) 4/15 · 1000 = 4000/15 = 266 2/3 м.
г) 1 7/30 · 1000 = 37/30 · 1000 = 1233 1/3 м.
д) 6 3/55 · 1000 = 333/55 · 1000 = 6054 6/11 м (примерно 6054,55 м).
а) 1/10 · 1000 = 100 м.
б) 2/5 · 1000 = 400 м.
в) 4/15 · 1000 = 4000/15 = 266 2/3 м.
г) 1 7/30 · 1000 = 37/30 · 1000 = 1233 1/3 м.
д) 6 3/55 · 1000 = 333/55 · 1000 = 6054 6/11 м (примерно 6054,55 м).
Проверочная работа (п. 12).
3. Найдите значение выражения: а) 2x + 1/3 y при x = 2 1/4, y = 9; б) 2 3/4 x − 1 2/7 y при x = 1 5/11, y = 1 2/3.
а) 2 · 2 1/4 + 1/3 · 9 = 4 1/2 + 3 = 7 1/2.
б) 2 3/4 · 1 5/11 = 11/4 · 16/11 = 4; 1 2/7 · 1 2/3 = 9/7 · 5/3 = 15/7 = 2 1/7; 4 − 2 1/7 = 1 6/7.
Ответ: а) 7 1/2; б) 1 6/7.
б) 2 3/4 · 1 5/11 = 11/4 · 16/11 = 4; 1 2/7 · 1 2/3 = 9/7 · 5/3 = 15/7 = 2 1/7; 4 − 2 1/7 = 1 6/7.
Ответ: а) 7 1/2; б) 1 6/7.
Проверочная работа (п. 12).
4. Упростите и найдите значение выражения: 4 3/5 m + 9 6/7 n − 3 1/5 m − 5 2/7 n при m = 1 11/14, n = 2 5/8.
Приводим подобные слагаемые: (4 3/5 − 3 1/5)m + (9 6/7 − 5 2/7)n = 1 2/5 m + 4 4/7 n. При m = 25/14 и n = 21/8: 7/5 · 25/14 = 5/2 = 2 1/2; 32/7 · 21/8 = 12. Сумма 2 1/2 + 12 = 14 1/2. Ответ: упрощённое выражение 1 2/5 m + 4 4/7 n, значение 14 1/2.
Проверочная работа (п. 12).
5. Автобус от станции до деревни едет 2 2/5 ч со скоростью 60 5/6 км/ч. Каково расстояние между станцией и деревней?
s = vt = 60 5/6 · 2 2/5 = 365/6 · 12/5 = 73 · 2 = 146 км. Ответ: 146 км.
Проверочная работа (п. 12).
6. В комнате, ширина которой равна 3 1/4 м, а длина — 4 1/3 м, необходимо покрасить пол. Сколько краски понадобится, если для покраски 1 м² пола нужно 120 г краски?
Площадь пола: 3 1/4 · 4 1/3 = 13/4 · 13/3 = 169/12 = 14 1/12 м². Краски: 169/12 · 120 = 169 · 10 = 1690 г (1 кг 690 г). Ответ: 1690 г.