12. Действие умножения смешанных чисел (упражнения 2.259–2.281) — с. 85
2.300. Решите уравнение: а) t − 4 7/12 = 2 5/8; б) 15 4/9 − z = 10 5/12.
а) t — уменьшаемое, поэтому t = 2 5/8 + 4 7/12. НОК(8; 12) = 24: 15/24 + 14/24 = 29/24 = 1 5/24; 2 + 4 + 1 = 7. t = 7 5/24. Проверка: 7 5/24 − 4 14/24 = 6 29/24 − 4 14/24 = 2 15/24 = 2 5/8 ✓.
б) z — вычитаемое, поэтому z = 15 4/9 − 10 5/12. НОК = 36: 16/36 и 15/36; 15 16/36 − 10 15/36 = 5 1/36. Проверка: 15 4/9 − 5 1/36 = 10 5/12 ✓ (15 16/36 − 5 1/36 = 10 15/36).
Ответ: а) t = 7 5/24; б) z = 5 1/36.
б) z — вычитаемое, поэтому z = 15 4/9 − 10 5/12. НОК = 36: 16/36 и 15/36; 15 16/36 − 10 15/36 = 5 1/36. Проверка: 15 4/9 − 5 1/36 = 10 5/12 ✓ (15 16/36 − 5 1/36 = 10 15/36).
Ответ: а) t = 7 5/24; б) z = 5 1/36.
2.301. Упростите выражение: 1) 2,8x + 3,6y + 1,7x + 5,9y; 2) 6,4m + 1,7n + 2,8m + 3,4n.
Приводим подобные слагаемые (с одинаковой буквой), складывая коэффициенты.
1) (2,8 + 1,7)x + (3,6 + 5,9)y = 4,5x + 9,5y.
2) (6,4 + 2,8)m + (1,7 + 3,4)n = 9,2m + 5,1n.
1) (2,8 + 1,7)x + (3,6 + 5,9)y = 4,5x + 9,5y.
2) (6,4 + 2,8)m + (1,7 + 3,4)n = 9,2m + 5,1n.
2.302. Найдите произведение: а) 14/17 · 34/63; б) 35/8 · 16/7; в) 51/103 · 103/119; г) 4/15 · 30/49 · 7/8; д) 24 · 11/48; е) 6 · 3 5/6; ж) 3 5/14 · 7; з) 5 4/45 · 9 · 15.
Сокращаем всё, что можно, до умножения.
а) 14 и 63 — на 7, 34 и 17 — на 17: 2 · 2/(1 · 9) = 4/9.
б) 35 и 7 — на 7, 16 и 8 — на 8: 5 · 2/(1 · 1) = 10.
в) 103 сокращается; 51/119 = 3/7 (оба делятся на 17). Ответ 3/7.
г) 4/15 · 30/49 · 7/8: 4 и 8 → 1 и 2; 30 и 15 → 2 и 1; 7 и 49 → 1 и 7: 1 · 2/(2 · 7) = 1/7.
д) 24 · 11/48 = 11/2 = 5 1/2.
е) 6 · 3 5/6 = 6 · 23/6 = 23.
ж) 3 5/14 · 7 = 47/14 · 7 = 47/2 = 23 1/2.
з) 5 4/45 · 9 · 15 = 229/45 · 135 = 229 · 3 = 687.
Ответ: а) 4/9; б) 10; в) 3/7; г) 1/7; д) 5 1/2; е) 23; ж) 23 1/2; з) 687.
а) 14 и 63 — на 7, 34 и 17 — на 17: 2 · 2/(1 · 9) = 4/9.
б) 35 и 7 — на 7, 16 и 8 — на 8: 5 · 2/(1 · 1) = 10.
в) 103 сокращается; 51/119 = 3/7 (оба делятся на 17). Ответ 3/7.
г) 4/15 · 30/49 · 7/8: 4 и 8 → 1 и 2; 30 и 15 → 2 и 1; 7 и 49 → 1 и 7: 1 · 2/(2 · 7) = 1/7.
д) 24 · 11/48 = 11/2 = 5 1/2.
е) 6 · 3 5/6 = 6 · 23/6 = 23.
ж) 3 5/14 · 7 = 47/14 · 7 = 47/2 = 23 1/2.
з) 5 4/45 · 9 · 15 = 229/45 · 135 = 229 · 3 = 687.
Ответ: а) 4/9; б) 10; в) 3/7; г) 1/7; д) 5 1/2; е) 23; ж) 23 1/2; з) 687.
2.303. Выполните умножение: а) 3 3/4 · 1 3/5; б) 1 7/23 · 3 5/6; в) 1 15/29 · 1 9/20; г) 8 23/34 · 17/59; д) 2 1/3 · 1 1/5 · 1 1/7; е) 1 1/9 · 3 6/7 · 3 6/13.
Переводим в неправильные дроби и сокращаем.
а) 15/4 · 8/5 = 3 · 2 = 6.
б) 30/23 · 23/6 = 5.
в) 44/29 · 29/20 = 44/20 = 11/5 = 2 1/5.
г) 8 23/34 = 295/34; 295/34 · 17/59 = 5/2 = 2 1/2 (295 = 5 · 59, 34 = 2 · 17).
д) 7/3 · 6/5 · 8/7 = 16/5 = 3 1/5.
е) 10/9 · 27/7 · 45/13 = 10 · 3 · 45/(7 · 13) = 1350/91 = 14 76/91.
Ответ: а) 6; б) 5; в) 2 1/5; г) 2 1/2; д) 3 1/5; е) 14 76/91.
а) 15/4 · 8/5 = 3 · 2 = 6.
б) 30/23 · 23/6 = 5.
в) 44/29 · 29/20 = 44/20 = 11/5 = 2 1/5.
г) 8 23/34 = 295/34; 295/34 · 17/59 = 5/2 = 2 1/2 (295 = 5 · 59, 34 = 2 · 17).
д) 7/3 · 6/5 · 8/7 = 16/5 = 3 1/5.
е) 10/9 · 27/7 · 45/13 = 10 · 3 · 45/(7 · 13) = 1350/91 = 14 76/91.
Ответ: а) 6; б) 5; в) 2 1/5; г) 2 1/2; д) 3 1/5; е) 14 76/91.
2.304. Найдите значение выражения: а) 3/7 a при a = 3/7; a = 1/2; a = 2 1/7; a = 2 1/3; a = 28/33; б) 5/12 b при b = 1/5; b = 5/12; b = 1 1/5; b = 2 2/5.
Подставляем значения и умножаем.
а) 3/7 · 3/7 = 9/49; 3/7 · 1/2 = 3/14; 3/7 · 15/7 = 45/49; 3/7 · 7/3 = 1; 3/7 · 28/33 = 4/11.
б) 5/12 · 1/5 = 1/12; 5/12 · 5/12 = 25/144; 5/12 · 6/5 = 1/2; 5/12 · 12/5 = 1.
а) 3/7 · 3/7 = 9/49; 3/7 · 1/2 = 3/14; 3/7 · 15/7 = 45/49; 3/7 · 7/3 = 1; 3/7 · 28/33 = 4/11.
б) 5/12 · 1/5 = 1/12; 5/12 · 5/12 = 25/144; 5/12 · 6/5 = 1/2; 5/12 · 12/5 = 1.
2.305. Масса 1 м³ древесины равна 14/25 т. Найдите массу 3/4 м³, 5/7 м³ и 1 1/4 м³ древесины.
Массу умножаем на объём: 14/25 · 3/4 = 21/50 т (0,42 т); 14/25 · 5/7 = 2/5 т (0,4 т); 14/25 · 5/4 = 7/10 т (0,7 т). Ответ: 21/50 т; 2/5 т; 7/10 т.
2.306. Масса 1 см³ алюминия равна 2 7/9 г. Найдите массу алюминиевой пластины, измерения которой равны 1 1/4 см, 2 2/3 см, 1 4/5 м. Ответ округлите до сотых долей килограмма.
Измерения надо выразить в одних единицах: 1 4/5 м = 180 см. Объём: 1 1/4 · 2 2/3 · 180 = 5/4 · 8/3 · 180 = 600 см³. Масса: 600 · 2 7/9 = 600 · 25/9 = 5000/3 = 1666 2/3 г ≈ 1,6667 кг. Округляем до сотых долей килограмма: 1,67 кг. Ответ: примерно 1,67 кг.
2.307. Велосипедист едет со скоростью 12 3/4 км/ч. Какое расстояние он проедет за 2 ч, 2/3 ч и 1 7/17 ч?
Путь = скорость · время, 12 3/4 = 51/4.
За 2 ч: 51/4 · 2 = 51/2 = 25 1/2 км.
За 2/3 ч: 51/4 · 2/3 = 17/2 = 8 1/2 км.
За 1 7/17 ч (= 24/17 ч): 51/4 · 24/17 = 3 · 6 = 18 км.
Ответ: 25 1/2 км; 8 1/2 км; 18 км.
За 2 ч: 51/4 · 2 = 51/2 = 25 1/2 км.
За 2/3 ч: 51/4 · 2/3 = 17/2 = 8 1/2 км.
За 1 7/17 ч (= 24/17 ч): 51/4 · 24/17 = 3 · 6 = 18 км.
Ответ: 25 1/2 км; 8 1/2 км; 18 км.
2.308. Деревянный брус имеет форму прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 6 м, 3/20 м и 1/10 м. Для выполнения строительных работ было куплено 40 штук такого бруса по цене 12 400 р. за 1 м³. На какую сумму был закуплен брус?
Объём одного бруса: 6 · 3/20 · 1/10 = 18/200 = 9/100 м³. Объём 40 брусьев: 9/100 · 40 = 3 3/5 = 3,6 м³. Стоимость: 12 400 · 3,6 = 44 640 р. Ответ: 44 640 рублей.
2.309. Найдите значение выражения: а) (1 1/2)³ − 2 2/3 · 1 1/4; б) (3,5 − 2,9) · (4 1/22 − 3 7/33); в) (5 3/14 − 4 4/7) · (3 11/15 − 1 2/5).
а) (3/2)³ = 27/8; 2 2/3 · 1 1/4 = 8/3 · 5/4 = 10/3; 27/8 − 10/3 = 81/24 − 80/24 = 1/24.
б) 3,5 − 2,9 = 0,6 = 3/5. 4 1/22 − 3 7/33 = 4 3/66 − 3 14/66 = 3 69/66 − 3 14/66 = 55/66 = 5/6. 3/5 · 5/6 = 1/2.
в) 5 3/14 − 4 4/7 = 5 3/14 − 4 8/14 = 9/14. 3 11/15 − 1 2/5 = 3 11/15 − 1 6/15 = 2 5/15 = 2 1/3 = 7/3. 9/14 · 7/3 = 3/2 = 1 1/2.
Ответ: а) 1/24; б) 1/2; в) 1 1/2.
б) 3,5 − 2,9 = 0,6 = 3/5. 4 1/22 − 3 7/33 = 4 3/66 − 3 14/66 = 3 69/66 − 3 14/66 = 55/66 = 5/6. 3/5 · 5/6 = 1/2.
в) 5 3/14 − 4 4/7 = 5 3/14 − 4 8/14 = 9/14. 3 11/15 − 1 2/5 = 3 11/15 − 1 6/15 = 2 5/15 = 2 1/3 = 7/3. 9/14 · 7/3 = 3/2 = 1 1/2.
Ответ: а) 1/24; б) 1/2; в) 1 1/2.