12. Действие умножения смешанных чисел (упражнения 2.259–2.281) — с. 83
2.282. Найдите массу свинцового шарика, объём которого равен 3 1/3 см³, если масса 1 см³ свинца равна 11 17/50 г.
Масса равна объёму, умноженному на массу единицы объёма: 3 1/3 · 11 17/50 = 10/3 · 567/50 = 567/15 = 37 12/15 = 37 4/5 г (37,8 г). Ответ: 37 4/5 г.
2.283. Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли два поезда и встретились через 3 3/5 ч. Найдите расстояние между городами, если скорость одного поезда равна 75 км/ч, а скорость другого составляет 9/10 от скорости первого поезда.
Скорость второго поезда: 75 · 9/10 = 67,5 км/ч. Скорость сближения: 75 + 67,5 = 142,5 км/ч. Расстояние равно скорости сближения, умноженной на время до встречи: 142,5 · 3 3/5 = 142,5 · 3,6 = 513 км. Ответ: 513 км.
2.284. С одной кочки одновременно спрыгнули лягушка и жаба и отправились в одном направлении. Длина прыжка жабы равна 7 1/5 см, что в 3 1/3 раза меньше прыжка лягушки. На каком расстоянии (в метрах) друг от друга окажутся жаба и лягушка, сделав по 20 прыжков?
Прыжок лягушки в 3 1/3 раза длиннее: 7 1/5 · 3 1/3 = 36/5 · 10/3 = 24 см. За один прыжок лягушка уходит вперёд на 24 − 7,2 = 16,8 см больше жабы. За 20 прыжков: 16,8 · 20 = 336 см = 3,36 м. Ответ: 3,36 м (3 18/50 = 3 9/25 м).
2.285. Двое друзей вышли навстречу друг другу и встретились в условленном месте. Какое расстояние было изначально между ними, если первый шёл 1 1/4 ч со скоростью 5 3/4 км/ч, а второй — 1 2/15 ч со скоростью 6 1/2 км/ч?
Первый прошёл 1 1/4 · 5 3/4 = 5/4 · 23/4 = 115/16 = 7 3/16 км. Второй прошёл 1 2/15 · 6 1/2 = 17/15 · 13/2 = 221/30 = 7 11/30 км. Расстояние между ними — сумма: 7 3/16 + 7 11/30. НОК(16; 30) = 240: 45/240 + 88/240 = 133/240; 7 + 7 = 14. Ответ: 14 133/240 км (примерно 14,55 км).
2.286. Урожайность гороха составила 18 1/2 ц с га, а кукурузы — 54 3/4 ц с га. На сколько центнеров больше собрали кукурузы, чем гороха, если площадь поля, засеянного горохом, 27 1/2 га, а площадь поля, засеянного кукурузой, в 2 1/4 раза меньше?
Площадь кукурузного поля: 27 1/2 : 2 1/4 = 55/2 · 4/9 = 110/9 = 12 2/9 га. Урожай гороха: 18 1/2 · 27 1/2 = 37/2 · 55/2 = 2035/4 = 508 3/4 ц. Урожай кукурузы: 54 3/4 · 12 2/9 = 219/4 · 110/9 = 24090/36 = 669 1/6 ц. Разность: 669 1/6 − 508 3/4 = 669 2/12 − 508 9/12 = 668 14/12 − 508 9/12 = 160 5/12. Ответ: кукурузы собрали на 160 5/12 ц больше (примерно на 160,4 ц).
2.287. Вычислите: а) 7/16 · 4/9 − 2/15; б) 8/15 · (2 1/2)² − 5/9; в) ((1 1/6)² − 7/18) · 2 4/7 − 1 2/5; г) (11/16 + 7/24 − 5/12) + (3/4)².
Порядок действий: степень, скобки, умножение, затем сложение и вычитание.
а) 7/16 · 4/9 = 7/36; 7/36 − 2/15 = 35/180 − 24/180 = 11/180.
б) (2 1/2)² = (5/2)² = 25/4; 8/15 · 25/4 = 10/3; 10/3 − 5/9 = 30/9 − 5/9 = 25/9 = 2 7/9.
в) (1 1/6)² = 49/36; 49/36 − 7/18 = 49/36 − 14/36 = 35/36; 35/36 · 2 4/7 = 35/36 · 18/7 = 5/2 = 2 1/2; 2 1/2 − 1 2/5 = 2 5/10 − 1 4/10 = 1 1/10.
г) 11/16 + 7/24 − 5/12 = 33/48 + 14/48 − 20/48 = 27/48 = 9/16; (3/4)² = 9/16; 9/16 + 9/16 = 18/16 = 1 1/8.
Ответ: а) 11/180; б) 2 7/9; в) 1 1/10; г) 1 1/8.
а) 7/16 · 4/9 = 7/36; 7/36 − 2/15 = 35/180 − 24/180 = 11/180.
б) (2 1/2)² = (5/2)² = 25/4; 8/15 · 25/4 = 10/3; 10/3 − 5/9 = 30/9 − 5/9 = 25/9 = 2 7/9.
в) (1 1/6)² = 49/36; 49/36 − 7/18 = 49/36 − 14/36 = 35/36; 35/36 · 2 4/7 = 35/36 · 18/7 = 5/2 = 2 1/2; 2 1/2 − 1 2/5 = 2 5/10 − 1 4/10 = 1 1/10.
г) 11/16 + 7/24 − 5/12 = 33/48 + 14/48 − 20/48 = 27/48 = 9/16; (3/4)² = 9/16; 9/16 + 9/16 = 18/16 = 1 1/8.
Ответ: а) 11/180; б) 2 7/9; в) 1 1/10; г) 1 1/8.
2.288. Вычислите. а) 0,9 · 0,9; − 0,6; : 7; + 0,03; ? б) 5,6 : 8; · 3; + 5,6; : 0,11; ? в) 0,72 : 3,6; + 3,3; : 5; · 0,7; ? г) 9/14 · 7; + 2,25; : 0,5; ? д) 9/4 : 3; + 1,75; · 0,5; ?
Выполняем действия в цепочке по порядку сверху вниз.
а) 0,9 · 0,9 = 0,81; 0,81 − 0,6 = 0,21; 0,21 : 7 = 0,03; 0,03 + 0,03 = 0,06.
б) 5,6 : 8 = 0,7; 0,7 · 3 = 2,1; 2,1 + 5,6 = 7,7; 7,7 : 0,11 = 70.
в) 0,72 : 3,6 = 0,2; 0,2 + 3,3 = 3,5; 3,5 : 5 = 0,7; 0,7 · 0,7 = 0,49.
г) 9/14 · 7 = 9/2 = 4,5; 4,5 + 2,25 = 6,75; 6,75 : 0,5 = 13,5.
д) 9/4 : 3 = 3/4 = 0,75; 0,75 + 1,75 = 2,5; 2,5 · 0,5 = 1,25.
Ответ: а) 0,06; б) 70; в) 0,49; г) 13,5; д) 1,25.
Оговорка: у д) последнее действие на скане читается как умножение на 0,5.
а) 0,9 · 0,9 = 0,81; 0,81 − 0,6 = 0,21; 0,21 : 7 = 0,03; 0,03 + 0,03 = 0,06.
б) 5,6 : 8 = 0,7; 0,7 · 3 = 2,1; 2,1 + 5,6 = 7,7; 7,7 : 0,11 = 70.
в) 0,72 : 3,6 = 0,2; 0,2 + 3,3 = 3,5; 3,5 : 5 = 0,7; 0,7 · 0,7 = 0,49.
г) 9/14 · 7 = 9/2 = 4,5; 4,5 + 2,25 = 6,75; 6,75 : 0,5 = 13,5.
д) 9/4 : 3 = 3/4 = 0,75; 0,75 + 1,75 = 2,5; 2,5 · 0,5 = 1,25.
Ответ: а) 0,06; б) 70; в) 0,49; г) 13,5; д) 1,25.
Оговорка: у д) последнее действие на скане читается как умножение на 0,5.
2.289. Найдите числа, которых не хватает в цепочке и на схеме. а) 1/2 → (+ 1/8) → ○ → (+ 1 3/4) → ○ → (− 1 5/8) → □; б) от 2/7 три стрелки: + 3/14, − 5/21, − 3/28.
а) 1/2 + 1/8 = 4/8 + 1/8 = 5/8. Далее 5/8 + 1 3/4 = 5/8 + 1 6/8 = 1 11/8 = 2 3/8. Далее 2 3/8 − 1 5/8 = 1 11/8 − 1 5/8 = 6/8 = 3/4. В кружках 5/8 и 2 3/8, в квадрате 3/4.
б) 2/7 + 3/14 = 4/14 + 3/14 = 7/14 = 1/2. 2/7 − 5/21 = 6/21 − 5/21 = 1/21. 2/7 − 3/28 = 8/28 − 3/28 = 5/28. Ответ: 1/2; 1/21; 5/28.
б) 2/7 + 3/14 = 4/14 + 3/14 = 7/14 = 1/2. 2/7 − 5/21 = 6/21 − 5/21 = 1/21. 2/7 − 3/28 = 8/28 − 3/28 = 5/28. Ответ: 1/2; 1/21; 5/28.