12. Действие умножения смешанных чисел (упражнения 2.259–2.281) — с. 81
Вопросы к п. 12.
Сформулируйте правило умножения дроби на натуральное число. Сформулируйте алгоритм умножения двух дробей. Как выполнить умножение смешанных чисел?
Назовите свойства умножения дробей. Чему равно произведение смешанного числа и нуля; смешанного числа и единицы?
Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо умножить на него числитель, а знаменатель оставить прежним: 3/7 · 4 = 12/7.
Чтобы умножить дробь на дробь, надо перемножить числители и перемножить знаменатели и записать первое произведение числителем, а второе знаменателем: 2/3 · 5/7 = 10/21 (перед умножением полезно сократить: общие множители числителя и знаменателя).
Чтобы умножить смешанные числа, надо записать их в виде неправильных дробей и применить алгоритм умножения дробей; полученную неправильную дробь затем записывают смешанным числом: 1 1/2 · 2 1/3 = 3/2 · 7/3 = 7/2 = 3 1/2.
Умножение дробей обладает переместительным свойством (a · b = b · a) и сочетательным свойством ((a · b) · c = a · (b · c)); для него справедливо и распределительное свойство относительно сложения и вычитания.
Произведение смешанного числа и нуля равно нулю (13 5/7 · 0 = 0), а произведение смешанного числа и единицы равно самому этому числу (3 1/4 · 1 = 3 1/4).
Чтобы умножить дробь на дробь, надо перемножить числители и перемножить знаменатели и записать первое произведение числителем, а второе знаменателем: 2/3 · 5/7 = 10/21 (перед умножением полезно сократить: общие множители числителя и знаменателя).
Чтобы умножить смешанные числа, надо записать их в виде неправильных дробей и применить алгоритм умножения дробей; полученную неправильную дробь затем записывают смешанным числом: 1 1/2 · 2 1/3 = 3/2 · 7/3 = 7/2 = 3 1/2.
Умножение дробей обладает переместительным свойством (a · b = b · a) и сочетательным свойством ((a · b) · c = a · (b · c)); для него справедливо и распределительное свойство относительно сложения и вычитания.
Произведение смешанного числа и нуля равно нулю (13 5/7 · 0 = 0), а произведение смешанного числа и единицы равно самому этому числу (3 1/4 · 1 = 3 1/4).
2.259. Найдите произведение: а) 5/6 · 3; б) 16/21 · 14; в) 1/2 · 50; г) 13 · 8/13; д) 1 · 4/5; е) 11/15 · 0.
Числитель умножаем на натуральное число, перед этим сокращаем, если можно.
а) 5 · 3/6 = 5/2 = 2 1/2.
б) 16 · 14/21 = 16 · 2/3 = 32/3 = 10 2/3.
в) 1 · 50/2 = 25.
г) 13 · 8/13 = 8 (13 сокращается).
д) умножение на 1 не меняет числа: 4/5.
е) умножение на 0 даёт 0.
Ответ: а) 2 1/2; б) 10 2/3; в) 25; г) 8; д) 4/5; е) 0.
а) 5 · 3/6 = 5/2 = 2 1/2.
б) 16 · 14/21 = 16 · 2/3 = 32/3 = 10 2/3.
в) 1 · 50/2 = 25.
г) 13 · 8/13 = 8 (13 сокращается).
д) умножение на 1 не меняет числа: 4/5.
е) умножение на 0 даёт 0.
Ответ: а) 2 1/2; б) 10 2/3; в) 25; г) 8; д) 4/5; е) 0.
2.260. Найдите периметр квадрата со стороной 5/16 дм.
У квадрата четыре равные стороны, поэтому P = 4 · 5/16 = 20/16 = 5/4 = 1 1/4 дм. Ответ: 1 1/4 дм.
2.261. Мастер изготавливает 1 деталь за 2/15 ч. За сколько часов он изготовит 3, 5, 15 таких же деталей?
Время на несколько деталей равно времени на одну деталь, умноженному на их число.
3 детали: 2/15 · 3 = 6/15 = 2/5 ч.
5 деталей: 2/15 · 5 = 10/15 = 2/3 ч.
15 деталей: 2/15 · 15 = 2 ч.
Ответ: 2/5 ч; 2/3 ч; 2 ч.
3 детали: 2/15 · 3 = 6/15 = 2/5 ч.
5 деталей: 2/15 · 5 = 10/15 = 2/3 ч.
15 деталей: 2/15 · 15 = 2 ч.
Ответ: 2/5 ч; 2/3 ч; 2 ч.
2.262. В треугольнике PQR сторона PQ равна 4/25 см, QR больше PQ в 3 раза, а PR меньше QR на 3/25 см. Найдите периметр треугольника.
QR = 3 · 4/25 = 12/25 см. PR = 12/25 − 3/25 = 9/25 см. Периметр P = 4/25 + 12/25 + 9/25 = 25/25 = 1 см. Ответ: 1 см.
2.263. Вычислите: а) 3/4 ч · 2; б) 9/12 ч · 4; в) 7/15 ч · 15; г) 11/15 ч · 7.
а) 3/4 · 2 = 6/4 = 3/2 = 1 1/2 ч (1 ч 30 мин).
б) 9/12 · 4 = 36/12 = 3 ч.
в) 7/15 · 15 = 7 ч.
г) 11/15 · 7 = 77/15 = 5 2/15 ч (5 ч 8 мин).
Ответ: а) 1 1/2 ч; б) 3 ч; в) 7 ч; г) 5 2/15 ч.
б) 9/12 · 4 = 36/12 = 3 ч.
в) 7/15 · 15 = 7 ч.
г) 11/15 · 7 = 77/15 = 5 2/15 ч (5 ч 8 мин).
Ответ: а) 1 1/2 ч; б) 3 ч; в) 7 ч; г) 5 2/15 ч.
2.264. Найдите произведение: а) 2/3 · 5/11; б) 2/9 · 5/11; в) 7/12 · 5/6; г) 5/7 · 5/6; д) 1/2 · 5/9; е) 11/12 · 7/9.
Перемножаем числители и знаменатели.
а) 2 · 5/(3 · 11) = 10/33.
б) 2 · 5/(9 · 11) = 10/99.
в) 7 · 5/(12 · 6) = 35/72.
г) 5 · 5/(7 · 6) = 25/42.
д) 1 · 5/(2 · 9) = 5/18.
е) 11 · 7/(12 · 9) = 77/108.
Сокращений нет, все дроби несократимы.
а) 2 · 5/(3 · 11) = 10/33.
б) 2 · 5/(9 · 11) = 10/99.
в) 7 · 5/(12 · 6) = 35/72.
г) 5 · 5/(7 · 6) = 25/42.
д) 1 · 5/(2 · 9) = 5/18.
е) 11 · 7/(12 · 9) = 77/108.
Сокращений нет, все дроби несократимы.
2.265. Выполните умножение: а) 3/7 · 2/3; б) 7/10 · 4/15; в) 15/16 · 10/11; г) 38/45 · 18/19; д) 12/25 · 5/16; е) 9/26 · 13/18.
Сначала сокращаем, потом умножаем.
а) 3 сокращается: 1 · 2/(7 · 1) = 2/7.
б) 7 · 4/(10 · 15) = 7 · 2/(5 · 15) = 14/75.
в) 10 и 16 сокращаются на 2; общих множителей у 15 и 11 нет: 15 · 5/(8 · 11) = 75/88.
г) 38 и 19 сокращаются (38 = 2 · 19), 18 и 45 сокращаются на 9: 2 · 2/(5 · 1) = 4/5.
д) 12 и 16 сокращаются на 4, 5 и 25 — на 5: 3 · 1/(5 · 4) = 3/20.
е) 9 и 18 сокращаются на 9, 13 и 26 — на 13: 1 · 1/(2 · 2) = 1/4.
Ответ: а) 2/7; б) 14/75; в) 75/88; г) 4/5; д) 3/20; е) 1/4.
а) 3 сокращается: 1 · 2/(7 · 1) = 2/7.
б) 7 · 4/(10 · 15) = 7 · 2/(5 · 15) = 14/75.
в) 10 и 16 сокращаются на 2; общих множителей у 15 и 11 нет: 15 · 5/(8 · 11) = 75/88.
г) 38 и 19 сокращаются (38 = 2 · 19), 18 и 45 сокращаются на 9: 2 · 2/(5 · 1) = 4/5.
д) 12 и 16 сокращаются на 4, 5 и 25 — на 5: 3 · 1/(5 · 4) = 3/20.
е) 9 и 18 сокращаются на 9, 13 и 26 — на 13: 1 · 1/(2 · 2) = 1/4.
Ответ: а) 2/7; б) 14/75; в) 75/88; г) 4/5; д) 3/20; е) 1/4.
2.266. Выполните действие: а) (1/4)²; б) (3/5)³; в) (9/11)²; г) (5/6)³.
Степень — это произведение одинаковых множителей; при возведении дроби в степень в эту степень возводят и числитель, и знаменатель.
а) (1/4)² = 1/4 · 1/4 = 1/16.
б) (3/5)³ = 27/125.
в) (9/11)² = 81/121.
г) (5/6)³ = 125/216.
Оговорка: показатель степени у б) и г) на скане читается как 3.
а) (1/4)² = 1/4 · 1/4 = 1/16.
б) (3/5)³ = 27/125.
в) (9/11)² = 81/121.
г) (5/6)³ = 125/216.
Оговорка: показатель степени у б) и г) на скане читается как 3.
2.267. Ребро куба равно 5/8 дм. Найдите объём куба.
V = a³ = (5/8)³ = 125/512 дм³. Ответ: 125/512 дм³.