12. Действие умножения смешанных чисел (упражнения 2.259–2.281) — с. 82
2.268. Какой путь преодолеет всадник за 1/2 мин; 2/3 мин, если его скорость 9/40 км/мин?
Путь равен скорости, умноженной на время. За 1/2 мин: 9/40 · 1/2 = 9/80 км. За 2/3 мин: 9/40 · 2/3 = 3/20 км. Ответ: 9/80 км (112,5 м) и 3/20 км (150 м).
2.269. Найдите произведение дробей 34/10 и 67/100. Представьте эти дроби в десятичной записи и выполните умножение. Сравните результаты.
34/10 · 67/100 = 2278/1000 = 2 278/1000 = 2,278 (в виде смешанного числа 2 139/500).
В десятичной записи 34/10 = 3,4 и 67/100 = 0,67; 3,4 · 0,67 = 2,278. Результаты равны, так как это одно и то же число, записанное разными способами.
В десятичной записи 34/10 = 3,4 и 67/100 = 0,67; 3,4 · 0,67 = 2,278. Результаты равны, так как это одно и то же число, записанное разными способами.
2.270. Вычислите значение произведения 3/4 · 22/25. Выполните проверку, представив множители в виде десятичных дробей.
3/4 · 22/25 = 3 · 11/(2 · 25) = 33/50 = 0,66.
Проверка: 3/4 = 0,75; 22/25 = 0,88; 0,75 · 0,88 = 0,66. Результаты совпали ✓.
Проверка: 3/4 = 0,75; 22/25 = 0,88; 0,75 · 0,88 = 0,66. Результаты совпали ✓.
2.271. Представьте десятичную дробь в виде обыкновенной и выполните умножение: а) 0,25 · 4/5; б) 0,9 · 5/9.
а) 0,25 = 1/4; 1/4 · 4/5 = 1/5 (0,2).
б) 0,9 = 9/10; 9/10 · 5/9 = 5/10 = 1/2 (0,5).
Ответ: а) 1/5; б) 1/2.
б) 0,9 = 9/10; 9/10 · 5/9 = 5/10 = 1/2 (0,5).
Ответ: а) 1/5; б) 1/2.
2.272. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и выполните умножение: а) 1/20 · 0,7; б) 6/25 · 7,5.
а) 1/20 = 5/100 = 0,05; 0,05 · 0,7 = 0,035.
б) 6/25 = 24/100 = 0,24; 0,24 · 7,5 = 1,8.
Ответ: а) 0,035; б) 1,8.
б) 6/25 = 24/100 = 0,24; 0,24 · 7,5 = 1,8.
Ответ: а) 0,035; б) 1,8.
2.273. Найдите значение выражения: а) 7/9 · 3/4 · 5/21; б) 2/5 · 11/15 · 3/22; в) 4/5 · 7/20 · 25/28; г) 125/149 · 8/11 · 121/1000.
Записываем одну дробь и сокращаем крест-накрест.
а) 7 · 3 · 5/(9 · 4 · 21): 7 и 21 сокращаются на 7, 3 и 9 — на 3; остаётся 1 · 1 · 5/(3 · 4 · 3) = 5/36.
б) 2 · 11 сокращается с 22, 3 и 15 — на 3: 1 · 1 · 1/(5 · 5 · 1) = 1/25.
в) 4 · 7 · 25/(5 · 20 · 28): 4 · 7 = 28 сокращается с 28; 25/(5 · 20) = 25/100 = 1/4.
г) 125 · 8 = 1000 сокращается с 1000; 121/11 = 11; остаётся 11/149.
Ответ: а) 5/36; б) 1/25; в) 1/4; г) 11/149.
а) 7 · 3 · 5/(9 · 4 · 21): 7 и 21 сокращаются на 7, 3 и 9 — на 3; остаётся 1 · 1 · 5/(3 · 4 · 3) = 5/36.
б) 2 · 11 сокращается с 22, 3 и 15 — на 3: 1 · 1 · 1/(5 · 5 · 1) = 1/25.
в) 4 · 7 · 25/(5 · 20 · 28): 4 · 7 = 28 сокращается с 28; 25/(5 · 20) = 25/100 = 1/4.
г) 125 · 8 = 1000 сокращается с 1000; 121/11 = 11; остаётся 11/149.
Ответ: а) 5/36; б) 1/25; в) 1/4; г) 11/149.
2.274. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 7/12 м, ширина — 5/14 м, а высота — 18/25 м.
V = 7/12 · 5/14 · 18/25. Сокращаем: 7 и 14 → 1 и 2; 5 и 25 → 1 и 5; 18 и 12 → 3 и 2. Остаётся 1 · 1 · 3/(2 · 2 · 5) = 3/20. Ответ: 3/20 м³ (0,15 м³).
2.275. Представьте в виде произведения двух дробей число: а) 1/8; б) 5/9; в) 15/14; г) 1 7/18.
Разложим числитель и знаменатель на множители и распределим их между двумя дробями (ответ не единственный).
а) 1/8 = 1/2 · 1/4.
б) 5/9 = 5/3 · 1/3.
в) 15/14 = 3/2 · 5/7.
г) 1 7/18 = 25/18 = 5/6 · 5/3.
Проверка: а) 1/8 ✓; б) 5/9 ✓; в) 15/14 ✓; г) 25/18 ✓.
а) 1/8 = 1/2 · 1/4.
б) 5/9 = 5/3 · 1/3.
в) 15/14 = 3/2 · 5/7.
г) 1 7/18 = 25/18 = 5/6 · 5/3.
Проверка: а) 1/8 ✓; б) 5/9 ✓; в) 15/14 ✓; г) 25/18 ✓.
2.276. Выполните действия: а) (4/9 + 5/12) · 18/31; б) 6/25 · (11/15 − 9/20); в) (4 − 3 7/15) · 5/8; г) (5 − 4 4/7) · (7 1/6 − 6 5/12); д) (1 1/24 − 5/12) · (4 1/8 − 3 5/24); е) (1 2/15 − 11/15) · (5 3/18 − 4 1/27).
Сначала действия в скобках.
а) 4/9 + 5/12 = 16/36 + 15/36 = 31/36; 31/36 · 18/31 = 1/2.
б) 11/15 − 9/20 = 44/60 − 27/60 = 17/60; 6/25 · 17/60 = 17/(25 · 10) = 17/250.
в) 4 − 3 7/15 = 8/15; 8/15 · 5/8 = 1/3.
г) 5 − 4 4/7 = 3/7; 7 1/6 − 6 5/12 = 6 14/12 − 6 5/12 = 9/12 = 3/4; 3/7 · 3/4 = 9/28.
д) 1 1/24 − 5/12 = 25/24 − 10/24 = 15/24 = 5/8; 4 1/8 − 3 5/24 = 4 3/24 − 3 5/24 = 22/24 = 11/12; 5/8 · 11/12 = 55/96.
е) 1 2/15 − 11/15 = 17/15 − 11/15 = 6/15 = 2/5; 5 3/18 − 4 1/27 = 5 9/54 − 4 2/54 = 1 7/54 = 61/54; 2/5 · 61/54 = 61/135.
Ответ: а) 1/2; б) 17/250; в) 1/3; г) 9/28; д) 55/96; е) 61/135.
а) 4/9 + 5/12 = 16/36 + 15/36 = 31/36; 31/36 · 18/31 = 1/2.
б) 11/15 − 9/20 = 44/60 − 27/60 = 17/60; 6/25 · 17/60 = 17/(25 · 10) = 17/250.
в) 4 − 3 7/15 = 8/15; 8/15 · 5/8 = 1/3.
г) 5 − 4 4/7 = 3/7; 7 1/6 − 6 5/12 = 6 14/12 − 6 5/12 = 9/12 = 3/4; 3/7 · 3/4 = 9/28.
д) 1 1/24 − 5/12 = 25/24 − 10/24 = 15/24 = 5/8; 4 1/8 − 3 5/24 = 4 3/24 − 3 5/24 = 22/24 = 11/12; 5/8 · 11/12 = 55/96.
е) 1 2/15 − 11/15 = 17/15 − 11/15 = 6/15 = 2/5; 5 3/18 − 4 1/27 = 5 9/54 − 4 2/54 = 1 7/54 = 61/54; 2/5 · 61/54 = 61/135.
Ответ: а) 1/2; б) 17/250; в) 1/3; г) 9/28; д) 55/96; е) 61/135.
2.277. Найдите значение произведения: а) 5 · 2 3/5; б) 4 3/8 · 16; в) 1 2/9 · 9; г) 1 · 7 8/11; д) 2 2/13 · 0; е) 0 · 1 6/17.
Целое число можно умножать отдельно на целую и дробную части.
а) 5 · 2 3/5 = 5 · 13/5 = 13.
б) 4 3/8 · 16 = 35/8 · 16 = 70.
в) 1 2/9 · 9 = 11/9 · 9 = 11.
г) на 1 умножаем — число не меняется: 7 8/11.
д) 0.
е) 0.
Ответ: а) 13; б) 70; в) 11; г) 7 8/11; д) 0; е) 0.
а) 5 · 2 3/5 = 5 · 13/5 = 13.
б) 4 3/8 · 16 = 35/8 · 16 = 70.
в) 1 2/9 · 9 = 11/9 · 9 = 11.
г) на 1 умножаем — число не меняется: 7 8/11.
д) 0.
е) 0.
Ответ: а) 13; б) 70; в) 11; г) 7 8/11; д) 0; е) 0.
2.278. Выполните действие: а) 2 3/4 · 3/7; б) 5/9 · 1 2/3; в) 3 4/5 · 5/11; г) 3 1/9 · 3/7; д) 1 5/8 · 8/13; е) 13/24 · 1 11/13.
Смешанное число записываем неправильной дробью.
а) 11/4 · 3/7 = 33/28 = 1 5/28.
б) 5/9 · 5/3 = 25/27.
в) 19/5 · 5/11 = 19/11 = 1 8/11.
г) 28/9 · 3/7 = 4/3 = 1 1/3.
д) 13/8 · 8/13 = 1.
е) 13/24 · 24/13 = 1.
Ответ: а) 1 5/28; б) 25/27; в) 1 8/11; г) 1 1/3; д) 1; е) 1.
а) 11/4 · 3/7 = 33/28 = 1 5/28.
б) 5/9 · 5/3 = 25/27.
в) 19/5 · 5/11 = 19/11 = 1 8/11.
г) 28/9 · 3/7 = 4/3 = 1 1/3.
д) 13/8 · 8/13 = 1.
е) 13/24 · 24/13 = 1.
Ответ: а) 1 5/28; б) 25/27; в) 1 8/11; г) 1 1/3; д) 1; е) 1.
2.279. Выполните умножение: а) 1 1/3 · 1 2/5; б) 2 4/9 · 3 3/11; в) 1 1/8 · 1 7/9; г) 1 4/21 · 4 1/5; д) 2 2/7 · 1 3/4; е) 1 1/5 · 1 17/18.
а) 4/3 · 7/5 = 28/15 = 1 13/15.
б) 22/9 · 36/11 = 2 · 4 = 8.
в) 9/8 · 16/9 = 2.
г) 25/21 · 21/5 = 5.
д) 16/7 · 7/4 = 4.
е) 6/5 · 35/18 = 7/3 = 2 1/3.
Ответ: а) 1 13/15; б) 8; в) 2; г) 5; д) 4; е) 2 1/3.
б) 22/9 · 36/11 = 2 · 4 = 8.
в) 9/8 · 16/9 = 2.
г) 25/21 · 21/5 = 5.
д) 16/7 · 7/4 = 4.
е) 6/5 · 35/18 = 7/3 = 2 1/3.
Ответ: а) 1 13/15; б) 8; в) 2; г) 5; д) 4; е) 2 1/3.
2.280. Найдите значение s по формуле пути s = vt, если: а) v = 7 1/4 км/ч, t = 3 1/2 ч; б) v = 2 2/5 м/мин, t = 1 1/4 мин.
а) s = 7 1/4 · 3 1/2 = 29/4 · 7/2 = 203/8 = 25 3/8 км.
б) s = 2 2/5 · 1 1/4 = 12/5 · 5/4 = 3 м.
Ответ: а) 25 3/8 км; б) 3 м.
б) s = 2 2/5 · 1 1/4 = 12/5 · 5/4 = 3 м.
Ответ: а) 25 3/8 км; б) 3 м.
2.281. Используя формулу объёма прямоугольного параллелепипеда V = abc, найдите значение V при a = 2 1/2 м, b = 1 2/5 м, c = 3/7 м.
V = 2 1/2 · 1 2/5 · 3/7 = 5/2 · 7/5 · 3/7 = 3/2 = 1 1/2. Ответ: V = 1 1/2 м³.